完整版高中概率与统计复习知识点与题型.docx

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概率与统计知识点与题型

3.1.1—3.1.2随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

（1）必然事件：

在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

（2）不可能事件：

在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；

（3）确定事件：

必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

（4）随机事件：

在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

（5）频数与频率：

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现

nA

的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn（A）=n为事件A出现的概率：

对于

给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，

把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

nA

（6）频率与概率的区别与联系：

随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n，它

具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3概率的基本性质

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：

P（A∪B）=P（A）+P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为

必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）

2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P（A）≤1；

2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：

P（A∪B）=P（A）+P（B）；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）；

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具

体包括三种不同的情形：

（1）事件A发生且事件B不发生；

（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A

与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；

（1）事件A发生B不发生；

（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.1—3.2.2古典概型及随机数的产生1、

（1）古典概型的使用条件：

试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

（2）古典概型的解题步骤；

1求出总的基本事件数；

A包含的基本事件数

2求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：

（1）几何概率模型：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：

构成事件A的区域长度（面积或体积）

P（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；

（1）几何概型的特点：

1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现

的可能性相等．

一、随机变量.

1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一

个随机试验.

2.离散型随机变量：

如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ab也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f（x）是连续函数或单调函数，则f（）也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：

x1,x2,,xi,

ξ取每一个值x1（i1,2,）的概率P（xi）pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

x1

x2

xi

P

p1

p2

pi

有性质①p10,i1,2,；②p1p2pi1.

注意：

若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：

[0,5]即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：

如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生

k次的概率是：

P（ξk）Cknpkqnk[其中k0,1,,n,q1p]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记Cknpkqnkb（k;np）.

⑵二项分布的判断与应用.

1二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

2当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4.几何分布：

“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P（Ak）q，那么P（ξk）P（A1A2Ak1Ak）.根据相互独立事件的概率乘法分式：

5.

P（ξk）P（A1）P（A2）P（Ak1）P（Ak）qk1p（k1,2,3,）于是得到随机变量ξ的概率分布列

1

2

3

k

P

q

qp

q2p

k1qp

我们称ξ服从几何分布，并记g（k,p）qk1p，其中q1p.k1,2,3

knk

ξ的分布列为P（ξk）CaCnb

Cab

⑶超几何分布与二项分布的关系

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：

把ab个产品编号，则抽取n次共有（ab）n个可能结果，等可能：

kknk

（ηk）含Cknakbnk个结果，故P（ηk）CnabnCkn（a）k（1a）nk,k0,1,2,,n，即～B（na）.[我

（ab）nababab们先为k个次品选定位置，共Ckn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以

证明：

当产品总数很大而抽取个数不多时，P（ξk）P（ηk），因此二项分布可作为超几何分布的近似，无

放回抽样可近似看作放回抽样.

、数学期望与方差

1.期望的含义：

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1

x2

xi

P

p1

p2

pi

则称Ex1p1x2p2xnpn为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了

离散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量ab的数学期望：

EE（ab）aEb

①当a0时，E（b）b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a1时，E（b）Eb，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和

ξ

0

1

P

q

p

3当b0时，E（a）aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积

⑵单点分布：

⑶两点分布：

Ec1c其分布列为：

P

（1）c.

E0q1pp，其分布列为：

（p+q=1）

⑷二项分布：

E

kk!

（nn!

k）!

pkqnknp其分布列为

B（n,p）.（P为发生的概率）

⑸几何分布：

E

3.方差、标准差的定义

当已知随机变量ξ的分布列为P（

xk）pk（k1,2,）时，则称

D.为ξ的根方差或标准

D（x1E）p1（x2E）2p2（xnE）2pn为ξ的方差.显然D0，故差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越．小．，．稳．

定性越高，波动越小

4.方差的性质

5.期望与方差的关系.

⑴如果E和E都存在，则E（）EE

三、正态分布

密度曲线简称为正态曲线

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线x对称.

3当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

4当x<时，曲线上升；当x>时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；

越小，曲线越

瘦高”，表示总体的分布越集中

3.⑴标准正态分布：

如果随机变量ξ

的概率函数为

x2

1

（x）e2（x

），则称

服从标准正态

N（0,1）有（x）P（

x），（x）1

（x）求出，而P

a<ξ≤b

的计算则是

P（ab）（b）（a）.

注意：

当标准正态分布的（x）的X取0时，有（x）

0.5当（x）的X取大于

（x）0.5.比如

（0.5）0.07930.5则0.5

必然小于

0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：

若

常用F（x）表示，且有P（ξ

x）F（x）

（xσ

σ

0的数时，有

y

S

Sx

a

N（,2）则ξ的分布函数通

S阴=0.5Sa=0.5+S

习题

1．6名同学排成两排，每排

3人，其中甲排在前排的概率是

A．1

12

B．1

2

C．

D．13

2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选

2名，恰好

2名男生或2名女生的概

率是

A．425

B.

2

15

C.

D.

7

15

3．甲乙两人独立的解同一道题

甲乙解对的概率分别是

p1,

p2,那么至少有1人解对的概率

A.p1p2

B.p1

p2C.1p1p2

D.1

（1

p1）（1p2）

4．从数字1,2,3,4,5

这五个数中,随机抽取2个不同的数

则这2个数的和为偶数的概率

（）

4

5

则所取的两数之和

A.1

5

5．有2n个数字，其中一半是奇

B.

3

5

，一半是偶数，从中任取两个数，

C.

D.

为偶数的概率是

n1

2n1

n1

2n1

11

B、C

22n

6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名

A、

女生的概率是

概率等于

1

9

．1

3

A．

B．C

D．

5

100

100

5

C92/C103

乘以C92/C103

所取两数满足

ai>bI的概率为（）

3

3

C

A、B

、

4

5

3个点可以构成一个三角形，如果随

9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每

机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（

）直径有5个

1

1

1

1

A.

B.

C.D.

4

3

2

5

10．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽

出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品（）

A.7个B.8个C.9个D.10个

11．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的

概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（）

A、0.48B、0.52C、0.8D、0.92

12.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是

13.掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是

14.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是

15.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：

年降水量/mm

[100,150）

[150,200）

[200,250）

[250,300]

概率

0.21

0.16

0.13

0.12

则年降水量在[200，300]（m,m）范围内的概率是

S

16、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率是。

2

17、有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为

18、在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为

19．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8．

（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；

（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率．

20．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为

9876

、、、，且各道工序互不影响

10987

（1）求该种零件的合格率

（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率

（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率（用最简分数表示结果）

21．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：

ε

0

1

2

η

0

1

2

P

6

1

3

P

5

3

2

10

10

10

10

10

10

则比较两名工人的技术水平的高低为.思路启迪：

一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.

22.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

1

2

3

4

5

P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5

期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A：

“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求的分布列及期望E．

参考答案：

1-5、BDDBC

6-11、CBBBCD

1

1

5

3

3

12.

13.

14.

15.0.2516

、17、

5

18

7

4

10

19：

解：

设甲投中的事件记为

A，乙投中的事件记为B，

1）所求事件的概率为：

18

P=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）

=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8

=0.94．

2）所求事件的概率为：

P=C320.72×0.3×C130.8×0.22=0．042336．

20：

解：

（1）该种零件合格率为P198763

1109875

3个，

32

2）该种零件的合格率为，则不合格率为，从加工好的零件中任意取

55

至少取到2件合格品的概率P2

C32（3）2

（2）C33（3）3

555

81

125

3）恰好连续2次抽到合格品的概率

21：

解：

工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：

E0611230.7

101010

262123

D（00.7）2（10.7）2（20.7）20.891

101010；

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

E0513220.7D（00.7）25（10.7）23（20.7）220.664

101010，101010

由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定

小结：

期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度22：

解（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．

知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

P（A）

（1

0.4）2

0.216，

P（A）

1

P（A）

10.216

0.784

Ⅱ）

的可能取值为200元，

250元，

300元

P（

200）

P（

1）0.4，

P（

250）

P（

2）P（

3）

0.2

0.2

0.4，

P（

300）

1

P（200）

P（

250）1

0.40.4

0.2．

的分布列为

200

250

300

P

0.4

0.4

0.2

E2000.42500.43000.2240（元）