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《平行四边形的判定》教案

教材分析：

本节教材是研究平行四边形问题的第三课时，主要研究的课题是三角形中位线定理的得出和证明。

本节知识初中数学“空间与图形”部分一节十分重要的内容，在今后的证明、计算、作图中会得到广泛的应用，是判断线段之间的数量关系、位置关系的重要工具。

另外，在本节内容中还渗透有转化的数学思想、数学建模思想，对进一步培养学生的动手能力、逻辑思维能力有着很重要的作用。

学生分析：

对于八年级学生而言，已掌握有较多的基础知识，有着较高的数学思维品质和理论探究水平，但他们的动手实验、自主探索数学的兴趣却不是很浓。

基于此，我激励学生多动手，在剪拼图形的过程中，自我感知、发现三角形中位线的定义以及三角形中位线定理的证明方法，以此转变学生的学习方式及对数学的认识。

教学目标

【知识与能力】引导学生准确地建立三角形的中位线概念，掌握三角形的中位线定理，并能运用综合法证明它；能运用三角形的中位线定理进行简单的计算和证明，并解决一些实际应用问题。

【过程与方法】通过动手操作、观察、思考体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程，进一步发展推理论证的能力；体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。

【情感态度与价值观】通过对三角形中位线定理的自主探究、猜想、验证，让学生获得亲自参与研究、探索的情感体验，增强学习数学的热情；感受证明的严谨性，体会事物之间的内在联系；通过与人交流合作、解决问题的过程，使学生认识自我，建立自信，树立正确的价值观。

重点、难点

【重点】观察思考，了解三角形的中位线定义及定理；进一步发展学生的逻辑思维能力，促使学生能用综合法证明三角形的中位线定理。

【难点】准确、合理地找出证明方法有条理地对三角形的中位线定理予以证明。

教学准备

剪刀、任意三角形纸片、刻度尺、量角器、多媒体。

教学过程：

教学方法：

启发诱导——自主探究

一、创设情境，问题引入

师：

请同学们拿出准备好的任意三角形纸片，用剪刀在纸片上只剪一刀，将分成的两块拼出一个平行四边形。

要求：

同学之间可以交流合作，并请画出剪拼前后的示意图。

生：

分成学习小组，各组内部交流讨论，积极剪拼，画出示意图。

说明：

创设操作探究环境，营造合作气氛，为学生提供自主探索的平台。

教师请小组推举发言代表中的生1、生2两位同学到讲台上描述、演示剪拼方案。

并根据学生演示情况，用电脑模拟演示一种剪拼操作全过程，生成图形如下：

（学生们仔细聆听，以好奇的心态欣赏电脑演示全过程）

说明：

在实验操作中，演示保留各静态图形，为后面提出问题和解决问题作铺垫。

师：

若上图中剪下的位置，我们称为三角形的中位线，那么一个三角形有几条中位线

生3：

三条。

师：

你能通过图形给出三角形的中位线定义吗

生3：

三角形的中位线就是连接三角形两边中点的线段。

师：

很好，观察仔细，描述准确，请坐下。

（板书课题）

说明：

把下定义的任务让给学生，是为了对学生进行抽象、概括能力的训练和培养，发展其直观感知能力。

二、实验操作，探究发现

师：

通过大家的努力，我们明白了三角形的中位线定义，

对它予以研究，我们还可以得出什么结论呢（停顿片

刻，意在激疑）现在，请大家回想前面的剪拼过程，并

观察下图，试猜想中位线DE和第三边BC有什么关系

（提示：

位置关系和数量关系）

生4：

DE//BC和DE＝

说明：

教师作为引导者，提出思考问题的方向，不全面“灌知”，符合新课标精神。

师：

这一猜想是否准确呢请同学们用量角器和刻度尺进一步验证该结论。

（学生们立即画图，投入到热烈的自主探索气氛之中。

时过不久，学生陆续发言，肯定了生4的结论是正确的）

说明：

在得出猜想的基础上，用新的操作方法予以检验，体现了“做数学”的思想。

师：

那么，谁能用一句话概括我们的发现呢

生5：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

（学生边回答，教师边板书，并刻意在命题前空下两格）

说明：

仍然把提炼教学内容的任务交给学生，学生回答不够精炼不要紧，教师可从旁指导，以培养学生的归纳、概括能力。

三、发散思维，严谨证明

师：

我们通过实践操作检验了这一猜想的正确性，真是实践出真知呀，但我们不能时时处处都这样啊，你能对这一猜想加以证明吗（请同学们独立思考）

说明：

有开有合，在此提出独立思考的要求，可发现不同学生的不同思维特点，并为得出不同的解法创造契机。

（全体学生陷入沉思之中。

其间有的学生重新拼接，动手思索；有的学生画出草图，皱眉苦思；有的学生面对多媒体演示图形，认真思考……几分钟后，学生开始窃窃私语）

师：

下面请同学们举手发言，说说你的想法。

生6：

首先，得写出已知，求证。

师：

哦，思考缜密，很好！

请继续说。

（师边说边补写出）

说明：

从教师的语气中可听出刚开始并没有意识到学生会这么答，可见，我们的学生多么聪明。

生6：

我由D、E分别是AB、AC的中点，想到

，

，所以

，而AD、AE与AB、AC分别所夹的角是同一个角，所以△ADE与△ABC相似，那么∠ADE与∠B就相等，DE与BC就平行了。

另外，可得出

所以DE＝

师：

太好了，你真聪明，能从中点条件产生比值，联想到在八年级学过的相似形知识，使问题得以解决。

同学们，我们一起来为他鼓掌。

（一时间，掌声响遍教室，师生精神为之一振，生6也在掌声中自豪地坐了下去。

）

说明：

教师对学生调用知识的思路作以简单剖析，并给予积极评价，使师生情感交融、和谐，体现了教师驾驶课堂的能力。

师：

同学们还有其它的证法吗（语声刚落，已有学生举手，争抢发言）

生7：

我是这样想的，通过我们刚才剪拼图形的过程，我联想到作辅助线构造出平行四边形来解决，就像您用电脑演示的第三个图形那样。

师：

哦，是这样想的呀，好！

说说理由。

（边说边根据学生回答用鼠标点出如下图形）

生7：

过点C作AB的平行线CF与DE的延长线交于点F，则有∠F＝∠ADE，又有∠CEF＝∠AED，AE＝CE，所以△CFE≌△ADE，那么CF＝AD、EF＝ED，而AD＝BD，所以CF＝BD，那么，四边形DBCF就是平行四边形，所以说DF与BC平行且相等，而DF＝2DE，所以证得DE//BC且DE＝

师：

同学们说正确吗

生：

（兴奋的齐声回答）正确

师：

那好，我们也用掌声来感谢他为我们作的发言。

说明：

至此，已有两名学生口述了两种不同的证法，口语表达能力培养的意图很明显。

师：

下面请两位同学到讲台上把刚才两位同学的说理过程板书一遍，毛遂自荐者请上台。

（学生踊跃举手。

最后生8、生9上台板书，其他学生在演草纸上书写）

（教师在巡视中，对学生书写中的问题予以指导纠正）

说明：

进行到这里，是让学生口述说理的自然延续，不仅培养学生严谨的思维，更要注意证明的严密性。

师：

在对两位同学的板书作以评讲后发言，同学们都较好地掌握了这一猜想的证明。

这就是我们此堂课所要学习的重点内容：

三角形的中位线定理（在前面书写的命题前用红色粉笔补写出“定理”二字）。

。

说明：

教师补写出前面刻意留下的两个字：

“定理”，凸显内容主题，使得整堂课自然流畅。

通过阅读，用课本中的证法，进一步规范学生的书写过程。

四、辨析训练，巩固新知

师：

请同学们把书翻到练习题，思考解答下方的随堂练习题。

（稍停后，学生回答）

生10：

因为在△ABC中，M、N分别是AC、BC的中点，所以MN是△ABC的中位线，那么

，即AB＝2MN，所以当小明测出MN的长，就可以算出AB长了。

说明：

学以致用，解决较为简单的实际问题。

师：

回答正确，你真棒！

下面请同学们再把书翻到第80页，自己阅读此页上半部分。

（学生默默阅读、思考）

师：

请问，图中的四个小三角形为什么全等呢

（学生积极发言，能准确回答）

说明：

灵活处理教材，使教材功用最大化。

师：

同学们回答的很好，下面再看一例（课件显示）。

例：

如图，等腰三角形中AB＝AC＝6，BC＝4，D、E、F

分别为AB、BC、AC的中点，则四边形DECF是什么形状

的图形它的周长是多少

（学生沉思片刻后，踊跃发言）

生11：

四边形DECF是平行四边形，它的周长是10。

五、指导应用，鼓励创新

师：

（打开几何画板软件边操作边口述，并显示题目）画任意四边形ABCD，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接各中点，得到四边形EFGH，不断运动A点，请猜想四边形EFGH是什么四边形并证明你的猜想，与同伴进行交流。

说明：

运用先进的教学手段，实物动态化，很好地展现出数学结论的确定性。

（学生积极思考，讨论分析）

生12：

四边形EFGH是平行四边形。

连接AC后，我们就知道HG、EF分别是△DAC和△BAC的中位线，由刚学的知识就可得出HG//AC//EF，且HG＝

，所以HG与EF平行且相等，那么四边形EFGH就是平行四边形了。

（待口述完毕，教师用鼠标点出相应证明过程）

师：

你能学以致用，联想到连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题加以研究、解决，真聪明。

像这样，在我们研究四边形问题时，通过作辅助线，把其转化为三角形问题的方法，在今后的学习中，运用还较多，请同学们细心体会这种思考问题的方法。

说明：

必要的学习指导是一堂优质、高效的课必不可少的环节。

此处，教师清晰明了地提出了研究数学问题的常用思想和方法。

教师用电脑显示上例变式题：

在原例基础上，顺次连接四边形EFGH的各边中点，那么，所得四边形是什么形状的图形如果再顺次连接所得四边形的各边中点，并像这样，无限连接下去，问所得四边形的形状会发生改变吗

全部学生齐声回答：

仍然是平行四边形；不会发生改变，还是平行四边形。

说明：

对原例加以拓展，并渗透了极限化的思想。

六、品尝收获，自我评价

师：

这堂课中，同学们都能积极动手、勤于思考，回答问题清晰明白，这一切使老师很高兴，我相信大家一定会有很多收获。

现在请同学们回想一下，今天你学到了什么又有何感受呢

说明：

对同学们的表现作以积极评价，再让学生自主评价，体验收获的快乐。

生：

我认识了三角形的中位线，并知道了它平行于第三边，且等于第三边的一半，我觉得三角形很神奇；

生：

我用了一种与课本证法不一样的方法证明了三角形的中位线定理，很高兴；

生：

我认识到三角形的中位线定理在证明和计算中的作用很大，数学有奥妙；

生：

我觉得从实验操作的过程中可以寻找到解决问题的方法；

生：

我认识到读题时，如题中有中点条件，不只要联想到三角形的中线，还要想到三角形的中位线；

生：

数学学起来真有意思，我从同学们的发言中学到很多，希望老师能让我们多交流。

说明：

实现了不同的学生在数学上有不同的发展

师：

好，老师从大家的笑脸上体会到大家的心情很高兴，只要我们积极思考，彼此多交流，你会觉得数学真是一门奇妙的学科，学起来真有意思。

七、课后延伸，分类达标

教师安排作业

基础题：

习题第3、4两题。

补充练习：

已知：

△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．

开放题：

请同学们根据所示图形，结合本节课所学习的内容

或从前学过的数学知识，自己编一道数学题。

给出解答过程

并说明理由。

说明：

开放题是由课本变式出来的，问题解决方法多样化，同时也体现出数学从生活中来，又用到生活中去的新课程理念。

教学反思

通过这节课，我认识到：

教学中要注意基本概念的教学。

由于数学中的概念简洁、抽象，如何让其形象化，使其生成过程显得自然，对学生把握它的本质很重要。

这就要求教师要时时刻刻留心生活中的数学素材，尽可能多的将其引进课堂，这样可方便学生更好地掌握基本概念，为今后的学习打下坚实的基础。

课堂教学中，要给予学生充足的动手操作、自主探索的时空。

新课程要求教学以学生为主体，鼓励学生自主学习，体验知识的形成过程，改变学生的学习方式，教师在中间是一个组织者、引导者与合作者。

本节课中，我尝试着改变传统的教学模式组织学生开展剪拼活动，从中提出问题，把时间大量的留给学生，引导他们去发现、猜想、验证，并适当地运用了接受式的学习方式，较顺利地完成了教学任务。

这是贯彻课改新理念的有益尝试。