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一阶动态电路分析
第3章电路的暂态分析
【教学提示】
暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。
本章
介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由
RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。
最后讨论了RC的实际应用电路一-
积分和微分电路。
【教学要求】
了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念
理解电路的换路定律和时间常数的物理意义
了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法掌握一阶电路暂态分析的三要素法
了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件
3.1暂态分析的基本概念
暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。
1•稳态
在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态（steadystate）。
2•换路
当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。
把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路（switchingcircuit）。
3•暂态
换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。
这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态（transientstate）。
4•激励
激励（excitation）又称输入，是指从电源输入的信号。
激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5•响应
电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。
按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：
（1）零输入响应（zeroinputresponse）:
零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。
（2）零状态响应（zerostaterespons©:
零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部激励所引起的响应。
（3）全响应（completerespons©:
在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部激励所引起的响应。
3.一阶电路
电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其KVL方程为一阶微分方程,
这类电路称为一阶电路，它包括RC电路和RL电路。
尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。
一方面可以利用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形（锯齿波、三角波等）。
另一方面，也
要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。
因此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。
3.2换路定律
换路定律是电路暂态分析中的主要定律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。
3.2.1换路定律
电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件一电感或电容。
当换路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不能突变。
因为若能量突变，由p=如=8可得功率为无穷大，而功率是有限的。
因此，能量不能突
dt
变。
而电感的磁场能为WL^1LiL2，电容中的电场能WC=」Cuc2，能量不能突变，这就意味着电
22
感中的电流和电容上的电压不能突变。
所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为电路的换路定律（switchinglaw）。
若t=0_表示换路前终了瞬间，t=0+表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：
uC（0丿二uC（0■）
iL（0）iL（0）
322初始值的确定
1•初始值的求解步骤
换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后UC或iL的初始值，再由这两个初始值来确定
换路后电路的其他电压或电流的初始值。
以下为求初始值的求解步骤：
1）由t=o_的等效电路求出uCo丿或iL（0_）。
（2）由换路定律确定uC（O丄或iL（04。
（3）由t=0•的等效电路，利用uC0）或iL（0）求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。
2.等效电路的画法
在t=0罰t=0•时，等效电路的画法应根据以下几点：
（1）换路前电容或电感上没有储能：
1t=0_的等效电路中，所有电量的值为0,f（0_）=0。
2t=0.的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。
这是因为t=0.时，由换路定律知u（0丿:
uC0.）=0,而此时电容中有电流，所以电容视为短路；iL（0）iL（0）=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。
2）换路前电容或电感上有储能且已达稳态，
1t=0_的等效电路中，电容视为开路，其电压为uC0丿；电感视为短路，其电流为i（L0丿；
这是因为电容与电感的伏安关系分别为iC_cduc，UL-LdiL，换路前达稳态时，iC0_）0，
dtdt
UL（0丿=0。
所以电容视为开路，其电压为UC0丿；电感视为短路，其电流为i（0丿。
2t=0的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为uC0h）；电感视为一个恒流源，电流为
iL（0）
这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，电压为u（E■）；
电感视为一个恒流源，电流为iL（0丄。
323稳态值的确定
换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当t》：
：
时，电路又达新的稳
^态。
若t—.「时电感或电容无储能，则uc（:
：
）=0,i（〜=0,其它电量的稳态值也为零。
若t—.:
时电感或电容有储能，因已达稳态，则i（旳0，U（也0而u（电0，i（〜0。
所以在tT旳的等效电路中，电容视为开路，其电压为uC如）；电感视为短路，其电流为i（X）。
【例3.1!
电路如图求S断开后，
再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。
E=12V，R1=4Q，R2=2Q，开关S断开前电路已达稳态。
3.2.1所示，已知
（1）uc（0』、iC0』、u禺0-）0
（2）ucg）、iC00）、uR产）。
EO
R2
+
U2
ic
Ri
图3.2.1
解：
（1）求初始值
①画出t=0—时的等效电路如图3.2.2（a）所示。
4Q
+
12V
（a）
+
图322
由题意知：
换路前电路已处于稳态，电容C视为开路，由等效电路得：
u（0）—12=4V
4+2
2由换路定律得：
uc（0J=u（0•）=4V
3画出t=0+时的等效电路如图322（b）所示，此时电容视为一个电压为4V的恒压源，则
ic（0J=_4二-2A
2
Ur2（0•）=4V
（2）求稳态值由题意知：
达稳态时，电容没有储能，则
uc（:
■）=0V
icD0A
UR2（：
：
）=0V
3.3RC电路的暂态分析
本节将通过最简单的RC电路来分析其响应，也就是研究RC电路的充放电规律。
3.3.1RC电路的零输入响应
+uc
图3.3.1Rc电路的零输入响应
RC电路与直流电源连接，
2”处，试分析换路后uc、
在图3.3.1所示（a）Rc一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，电源通过电阻R对电容器充电至uo,t=0时换路，即将开关S转换到“ic的变化规律。
因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。
分析rc电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
换路后等效电路如图3.3.1（b）,由KVL可得：
uc■UR=0
由于uR=Ri，将i二Cduc代入上式得微分方程:
dt
duc或ducuc小
Rcuc=0或0
dtdtRc
这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：
pt
uc=Ae
式中A和p是待定系数，A为常数，p为该微分方程特征方程的根。
将通解代入微分方程式得：
RCpAeptAept=0
整理后得到如下的特征方程：
RCp1=0
特征根为：
1p二RC
再来求常数A,可由初始条件确定，
由题意知换路前电容电压u（0）=Uo
根据换路定律得：
uc（0）=uC0）=Uo
令t=0将其代入微分方程的通解得：
A二uc（0）=Uo
将p和A的结果代入方程的通解得:
t
uc=UoeRC或
t
Uc=uc（o）e_RC
其随时间变化的曲线如图
3.3.2（a）所示。
由图可见，它的初始值为U,按指数规律衰减至零。
图3.3.2RC电路的响应曲线
由icduc可求出ic的变化规律:
dt
ic乂啦「巴
dtR
其随时间变化的曲线如图3.3.2（b）所示。
由图可见，它的初始值为Uo,按指数规律衰减至零。
通过分析uc、ic的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。
当上面的暂态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压uc和电流ic的稳态值均为零。
暂态过程进行
的快慢，取决于电路参数R和c的乘积。
企弋=RC，其中R的单位是欧姆（Q）,c的单位是法拉（F）,E的单位为秒（s）。
因为它具有时间的量纲，所以称为电路的时间常数，它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定，而与换路情况和外加电压无关。
当t=0时，uc=Uo
当t=T时，uc二Uoe'=O.368Uo
可见时间常数.等于电压uc衰减到初始值的33.8%所需要的时间，如图3.3.3所示。
同样也可列出其它时刻
表3.3.1T与UC的关系
t
0
T
2T
3t
4T
5t
uc
U0
0.36
0.13
0.05
0.01
0.00
8U0
5U0
U0
8U0
67U0
UC
从理论上讲，电容电压从uc=Uo过渡到新的稳态（uc=0）需要的时间为无穷大，但由上表可以看出，一般经过3.〜5■的时间就可以认为零输入响应衰减到零，暂态过程结束。
【例3.2】电路如图3.3.4所示，已知Ri=6Q,R2=3Q，C=0.0仆，|s=3A，S闭合前电路处于直流稳态，在t=0时S闭合，求t>0时ic、h、i2。
图3.3.4（a）
解：
（1）在t=0_时的等效电路中，电容视为开路，如图（b）所示。
Ri
R2
|sfe
（b）由图可得：
uc（0）IsR2=33=9（V）由换路定律得：
uc（0）=uC0」=9（V）
（2）换路后的电路如图（
c）所示。
RiR2
电路的时间常数t为i=RC=RlR2C=2汉0.01=0.02s
则由RC电路的零输入响应的通解得:
则:
ic
uc
_50t
uc=9eV
50t
=—4.5e—A
dt
50t
=—1.5e_A
=3e_
50t
R2
3.3.2RC电路的零状态响应
在图3.3.5所示RC一阶电路中，换路前开关S断开，电容无储能。
=t0时换路，换路后S闭合,RC电路与直流电源连接，试分析换路后uc、ic的变化规律。
因为换路前电容无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。
分析RC电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
换路后，电压源通过电阻R向电容c充电，电容上的电压UC将从初始值逐渐过渡到某一个稳态值。
由图中所示参考方向，根据KVL得：
Uc■Ur=E
由于ur=Ric，将ic=c血代入上式得微分方程：
dt
RCduCuc=E或-duc竺—
dtdtRCRC
这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它通解得一般形式为：
通解=齐次微分方程通解+特解
其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的Aept，特解是非齐次微分方程的一个特殊解，可以
取换路后的稳态值。
由题意可以得出，换路后的稳态值为E,故非齐次微分方程的通解为：
uc=Aept•E
其中p为该齐次微分方程的特征根。
1
P=
RC
积分常数A仍由初始值确定，将初始条件t=0时，Uc=0代入非齐次微分方程的通解，得：
A~E
于是求得零状态响应为：
tt
Uc--Ee_RCE=E（1_e一眄
其中，E为t》：
：
时电容两端电压UC（：
：
），零状态响应又可写为
tt
Uc=E（1_e®=uc（8）（1_e-RC）
due
ic=C
dt
R
换路前电容
【例3.3】在图335中，已知R=2Q,C=4卩F,E=10V，当t=0时，开关S闭合,初始储能为零，试求开关闭合后uc、ic的变化规律。
解：
换路前C无初始储能，故
u（0•）=Uc（O丿乂
换路后根据KVL得：
Ucu^=E
RCdUCuc=E
dt
求得:
t
3uc=E（1—eRC）=10（1-e'25101）
ic
_t
^Rc
3
-J25103t
二5e
3.3.3RC电路的全响应
在图3.3.7所示RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，RC电路与直流电源E2连接，压和电流方向为关联参考方向，试分析换路后Uc、ic的变化规律。
E1连接，而设电容的电
即
图3.3.7
由于换路前电路已稳定，电容已有储能。
换路后电路由电压源E2激励，所以该电路的响应为
全响应。
在t>0时，由KVL得：
Uc+Ur=E2
由于ur二Ric，将ic二Cduc代入上式得微分方程：
dt
RCducuc二E2或duc竺e2_
dtdtRcRc
求解的步骤和零状态响应是一样的，但电路的初始条件不同，会影响常数A的数值。
该微分方
程的通解为：
t
uc二AeRcE2
将初始条件t=0+时，Uc（0+）=E1代入微分方程的通解，得：
A=Ei—E2
于是求得全响应为：
t
uc=（Ei—E2）e辰-E2
整理得：
tt
uc二Eie苍E2（1-e芯）
tt
分析uc式可知，式中第一项e1eRc是电路的零输入响应，第二项E2（1_eRc）是零状态响应。
因此，电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。
全响应=零输入响应+零状态响应
由uc可以求出ic的响应。
t
ic兀咚=（_兰旦）e怎
dtRR
它们的变化曲线如图3.3.8所示。
图3.3.8RC电路的全响应
3.4RL电路的暂态分析
本节将通过最简单的RL电路来分析其响应，也就是研究RL电路的充放电规律。
3.4.1RL电路的零输入响应
在图3.4.1所示（a）RL一阶电路中，t=0时换路，将开关S闭合，试分析换路后iL、Ul的变化规律。
因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电感换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。
分析RL电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
设电感的电压和电流关联参考，换路后，由KVL可得：
UlUr=0
由于UR二RiL，将UL二L鱼代入上式得微分方程：
dt
iL=0或业RiL=0
dtL参照其解法可求得结果
t
.E-iLe
R
零状态响应又可写为
Rdt
此方程与电容放电的微分方程形式相同,
iL,进而求得uL。
其中，E为tis时通过电感的电流
R
式中
E
iLe
R
t
diL-
ul=LEeT
dt
它也具有时间的量纲，是RL电路的时间常数。
它们随时间变化的曲线如图3.4.2所示。
L
R
.越大，iL和uL衰减的越慢。
图3.4.2RL电路的响应曲线
可见，电感电流与电容电压的衰减规律是一样的，都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。
而电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到R|s，然后再按指数规律逐渐衰减到零。
过渡过程
的快慢，取决于电路的时间常数
L
R
RL串联电路实际上是线圈的电路模型，如电动机的绕组、仪表的线圈等。
在使用的时候常会
遇到线圈从电源断开的问题，如图343所示电路，S断开前电路已处于稳态。
如果突然断开开关
S这时电感中电流的变化率diL很大，将使线圈两端产生很大的自感电动势e^-L-diL。
由于开
'dtdt
关两触头间的间隙很小，高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花，触头被烧坏。
为防止开断线圈电路时所产生的高压，常在电感线圈两端并联一个二极管。
开关S断开前，二
极管反向截止；开关S断开时，二极管导通，电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电，这样就避免了产生高压。
3.4.2RL电路的零状态响应
在图344所示RL一阶电路中，换路前电感无储能。
t=0时换路，S闭合，RL电路与直流电源
连接，试分析换路后iL、uL的变化规律。
iL
+UL
图3.4.4RL电路的零状态响应
因为换路前电感无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。
分析RL电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
设电感的电压和电流方向关联参考，换路后，由KVL可得：
UlUr=E
由于uR二RiL，将uL二L也代入上式得微分方程:
dt
皿iL=E或鱼RiL=RE
RdtdtLL
iL,进而求得UL。
此方程与电容充电的微分方程形式相同，参照电容充电的解法可求得结果
iL，
R
其中,
E为t）：
:
时通过电感的电流
R
iL（：
：
），因此零状态响应又可写为
tt
E■■~
il（1—e.）—e）
R
则
tdiL—
ul二LEeydt
它们随时间变化的曲线如图345所示。
t
图3.4.5RL电路的零状态响应曲线
可见，电感电流与电容电压的增长规律是一样的，都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。
电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到E,然后再按指数规律逐渐衰减到零。
过渡过程的快
慢，也取决于电路的时间常数
.二L。
R
3.4.3RL电路的全响应
在图346所示RL一阶电路中，换路前开关S合在a处，RL电路与直流电压源Ei连接，而且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“b”处，RL电路与直流电压源E2连接，试分析换路后UL、iL的变化规律。
图3.4.6RL电路的全响应
由于换路前电路已稳定，电感已有储能。
换路后电路由电流源|S2激励，所以该电路的响应为
全响应。
与求RC电路的全响应类似，RL电路的全响应也等于零输入响应于零状态响应的叠加。
由RL电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为：
iL
Eie
R
-4
T
t
E2-
7（i-e’
ul九血
dt
E2.
R
t
（氏
R
t
T
t
E2二
E2）eT
=EieTE2e
它们的变化曲线如图图
3.4.7所示。
图3.4.7
3.5一阶线性电路暂态分析的三要素法
上述RC和RL电路中，应用KVL列写待求量的微分方程式进行求解的方法，称为经典法。
对于一个简单的一阶电路，可以应用经典的方法来求解，但对于结构复杂的一阶电路如果用经典法则显得比较麻烦，下面我们介绍一阶线性电路暂态分析常用的方法一一三要素法。
总结RC、RL电路微分方程的求解过程，可以得出一阶电路暂态过程电压和电流解的形式是相同的，它们都由两部分组成。
u=u'u'
i=i'i''
其中，u'和r为非齐次微分方程的特解，它可以在电路处于稳定状态时求出，称为稳态分量。
u''和i''是对应齐次微分方程的通解，它具有确定的函数形式称为Ae
t
-，随着暂态过程的结束它将
趋于零，称为暂态分量。
如果将待求的电压或电流用
f（t）表示，其初始值和稳态值分别为
f（0）和f（：
：
），则其响应表
示为：
t
f（t）Ae"-
在t=0.时有
f（0）=f（：
：
）A
得：
A=f（0）_f（：
:
）
因此
t
f（t）二f（：
j[f（0・）_f（x）]e〜
式中f（：
：
）、f（0）和.称为一阶电路的三要素，求解时只要求出三个要素，就能直接求出电路的响应。
【例3.5.1】在图3.5.1所示电路中，已知E=10V，Ri=R2=5kQ，C=1nF，开关S闭合前电容无储能。
求开关S闭合后的电容电压uc和电流ic。
EO
+
UR2
ic
+
C
C——U
图3.5.1
解：
本题是求零状态响应，用三要素法求电容电压uC和电流iC的变化规律。
（1）先求uC（0丿、i（0』
由题意开关S闭合前电容无储能得：
由换路定律得:
uc（0）=uc（OJ=0
在t=o.时，电容视为短路
ic（O）—二10=2mA
Ri5
（2）再求uc（•：
■：
）、ic（•：
■：
）
t》时，电容视为开路，则：
一r25
uc（：
：
）2E10=5V
Ri+R25+5
ic（：
：
）=0A
（3）然后求时间常数.
.二RC21^c二
R1+R25+5
396
101109=2.510"S
（4）求Uc、ic
把上面的结果代入三要素公式
u（t）=uc
（二）［uco）
t
■uc（：
：
）］e
t
ic（t）=ic（：
J［ic（0）
」c（：
：
）］e
得:
=5-5e"05\
_^>do刍
uct）=5+[0-5]e
4乂0刍_4X105t
ic（t）0[2-0]e_t=2emA
它们的变化曲线如图3.5.1所示。
3.6微分电路与积分电路
在RC电路中，电路的时间常数.决定了暂态过程进行的快慢，如果对RC电路选择适当的时
间常数和输出端，便会得到输出电压uO和输入电压ui之间微分和积分的关系，本节所介绍的就是
由RC电路构成的微分电路与积分电路。
3.3.1微分电路
如图3.3.1所示Rc电路中，输入电压ui为一个矩形脉冲电压，脉冲幅度为u，脉冲宽度为tp。
输出电压uo取自R两端，且满足T<之间的关系。
为便于分析，我们分别取几个特殊时刻，t=0、t=t1、t=t2。
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