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1、一阶动态电路分析第3章电路的暂态分析【教学提示】暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。本章介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了 RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。最后讨论了 RC的实际应用电路一-积分和微分电路。【教学要求】了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念理解电路的换路定律和时间常数的物理意义了解用经典法分析 RC电路、RL电路的方法 掌握一阶电路暂态分析的三要素法了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件3.1暂态分析的基本概念暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基

2、础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。1稳态在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状 态称为电路的稳定状态，简称稳态( steady state)。2换路当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会 引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。把上述引起电路工作状态发生变化的 情况称为电路的换路(switching circuit )。3暂态换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。这种转换不是瞬间完成的，而是有一 个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态( transient sta

3、te)。4激励激励(excitation )又称输入，是指从电源输入的信号。激励按类型不同可以分为直流激励、阶 跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。5响应电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。按照产生响应原因 的不同，响应又可以分为：(1) 零输入响应(zero input response):零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部 储能元件中初始储能而引起的响应。(2)零状态响应(zero state respo ns:零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零 的情况下，由外部激励所引起的响应。(3)全响应(complete respo ns:在换路

4、时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部 激励所引起的响应。3.一阶电路电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其 KVL方程为一阶微分方程,这类电路称为一阶电路，它包括 RC电路和RL电路。尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。一方面可以利 用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形(锯齿波、三角波等) 。另一方面，也要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。因 此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。3.2 换路定律换路定律是电路暂态分析中的主要定

5、律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。3.2.1 换路定律电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件一电感或电容。当换 路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不 能突变。因为若能量突变，由 p =如=8可得功率为无穷大，而功率是有限的。因此，能量不能突dt变。而电感的磁场能为 WL 1 LiL2，电容中的电场能 WC =Cuc2，能量不能突变，这就意味着电2 2感中的电流和电容上的电压不能突变。所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为 电路的换路定律(switching law )。若t=0_表示换路

6、前终了瞬间，t=0+表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：uC( 0 丿二uC(0 )iL(0)iL(0)322初始值的确定1初始值的求解步骤换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后 UC或iL的初始值，再由这两个初始值来确定换路后电路的其他电压或电流的初始值。以下为求初始值的求解步骤：1)由t=o _的等效电路求出u Co丿或iL ( 0_)。(2)由换路定律确定 u C(O丄或iL (04。(3) 由t =0 的等效电路，利用u C0)或i L(0 )求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。2.等效电路的画法在t =0罰t =0 时，等效电路的画法应根据以下几点：(1)换路前电容

7、或电感上没有储能：1t =0 _的等效电路中，所有电量的值为 0, f(0_) =0。2t =0 .的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。这是因为t =0 .时，由换路定律知u（0丿:u C0 .） =0,而此时电容中有电流，所以电容视为短 路；iL（0）iL（0）=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。2）换路前电容或电感上有储能且已达稳态，1t=0_的等效电路中，电容视为开路，其电压为 u C0丿；电感视为短路，其电流为i（L0丿；这是因为电容与电感的伏安关系分别为 iC _c duc， UL - L diL，换路前达稳态时，i C0_） 0，dt dtUL（0丿=0。所以电容视

8、为开路，其电压为 UC0丿；电感视为短路，其电流为i（0丿。2t=0的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为 uC0h）；电感视为一个恒流源，电流为iL（0）这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，电压为 u （E）；电感视为一个恒流源，电流为 i L（ 0丄。323稳态值的确定换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当 t：时，电路又达新的稳态。若t.时电感或电容无储能，则 uc（:：） =0, i （=0 ,其它电量的稳态值也为零。若t.:时电感或电容有储能，因已达稳态，则i （旳 0，U （也 0而u （电 0，i （ 0。所以在tT旳的等效

9、电路中，电容视为开路，其电压为 u C如）；电感视为短路，其电流为 i（X）。【例3.1!电路如图 求S断开后，再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。E=12V，R1=4 Q， R2=2 Q，开关S断开前电路已达稳态。3.2.1所示，已知（1）uc（0、iC0、u 禺0 -）0（2） ucg）、i C00）、u R产）。EOR2+U2icRi图 3.2.1解：（1）求初始值画出t=0时的等效电路如图3.2.2 （a）所示。4Q+12V(a)+图322由题意知：换路前电路已处于稳态，电容 C视为开路，由等效电路得：u( 0)12=4V4+22由换路定律得：uc(0 J = u(0 )=4V

10、3画出t=0+时的等效电路如图322( b)所示，此时电容视为一个电压为 4V的恒压源，则ic (0 J = _ 4 二-2A2Ur2( 0 )= 4 V(2)求稳态值 由题意知：达稳态时，电容没有储能，则u c(: )= 0Vic D 0AUR 2( ： ：)= 0 V3.3 RC电路的暂态分析本节将通过最简单的 RC电路来分析其响应，也就是研究 RC电路的充放电规律。3.3.1 RC电路的零输入响应+ uc图3.3.1 Rc电路的零输入响应RC电路与直流电源连接，2”处，试分析换路后uc、在图3.3.1所示(a) Rc 一阶电路中，换路前开关 S合在“ 1”处， 电源通过电阻R对电容器充电

11、至uo, t=0时换路，即将开关 S转换到“ ic的变化规律。因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为 零输入响应。分析rc电路的零输入响应也就是分析其放电规律。换路后等效电路如图 3.3.1 ( b),由KVL可得：uc UR =0由于uR = Ri，将i二C duc代入上式得微分方程:dtduc 或 duc uc 小Rc uc =0 或 0dt dt Rc这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：ptuc =Ae式中A和p是待定系数，A为常数，p为该微分方程特征方程的根。将通解代入微分方程式得：RCpAept Aept =0整理后得到如下的特

12、征方程：RCp 1=0特征根为：1 p 二 RC再来求常数A,可由初始条件确定，由题意知换路前电容电压 u（ 0 ） = U o根据换路定律得：uc(0)= u C0 ) =U o令t=0将其代入微分方程的通解得：A 二 u c( 0)=U o将p和A的结果代入方程的通解得:tuc =U oe RC 或tUc =uc（o）e _RC其随时间变化的曲线如图3.3.2（a）所示。由图可见，它的初始值为 U,按指数规律衰减至零。图3.3.2 RC电路的响应曲线由ic duc可求出ic的变化规律:dtic 乂啦巴dt R其随时间变化的曲线如图 3.3.2（b）所示。由图可见，它的初始值为 Uo,按指数

13、规律衰减至零。通过分析uc、ic的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。当上面的暂 态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压 uc和电流ic的稳态值均为零。暂态过程进行的快慢，取决于电路参数 R和c的乘积。企弋=RC，其中R的单位是欧姆（Q）, c的单位是法拉（F）, E的单位为秒（s）。因为它 具有时间的量纲，所以称为电路的时间常数，它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定，而与 换路情况和外加电压无关。当 t =0 时，uc =U o当 t= T时，uc 二Uoe =O.368Uo可见时间常数.等于电压uc衰减到初始值的33.8%所需要的时间，如图 3.3.3所示。同

14、样也可列出其它时刻表3.3.1 T与UC的关系t0T2 T3t4 T5tucU00.360.130.050.010.008U05U0U08U067U0UC从理论上讲，电容电压从 uc =Uo过渡到新的稳态（uc =0 ）需要的时间为无穷大，但由上表 可以看出，一般经过 3.5 的时间就可以认为零输入响应衰减到零，暂态过程结束。【例3.2】电路如图3.3.4所示，已知Ri=6 Q, R2=3 Q，C=0.0仆，|s=3A，S闭合前电路处于直 流稳态，在t=0时S闭合，求t 0时ic、h、i2。图 3.3.4 （a）解：（1）在t =0_时的等效电路中，电容视为开路，如图（ b）所示。RiR2|s

15、fe(b) 由图可得：uc(0 )IsR2 =3 3=9 ( V) 由换路定律得：uc(0 ) =uC0=9 (V)（2）换路后的电路如图（c）所示。Ri R2电路的时间常数 t为 i=RC= RlR2 C =2汉0.01 =0.02 s则由RC电路的零输入响应的通解得:则:icuc_50tuc =9e V50t=4.5e Adt50t=1.5e_ A=3e_50tR23.3.2 RC电路的零状态响应在图3.3.5所示RC 一阶电路中，换路前开关 S断开，电容无储能。=t0时换路，换路后S闭合, RC电路与直流电源连接，试分析换路后 uc、ic的变化规律。因为换路前电容无初始储能，即电路中储能

16、元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产 生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析 RC电路的零状态响应也就是分析其充电规律。换路后，电压源通过电阻 R向电容c充电，电容上的电压 UC将从初始值逐渐过渡到某一个稳 态值。由图中所示参考方向，根据 KVL得：Uc Ur = E由于ur =Ric，将ic =c血代入上式得微分方程：dtRC duC uc =E 或 -duc 竺 dt dt RC RC这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它通解得一般形式为：通解=齐次微分方程通解+特解其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的 Aept，特解是非齐次微分方程的一个特殊解，可以取换路后的稳态值。由题意可

17、以得出，换路后的稳态值为 E,故非齐次微分方程的通解为：uc =Aept E其中p为该齐次微分方程的特征根。1P =RC积分常数A仍由初始值确定，将初始条件 t = 0时，Uc =0代入非齐次微分方程的通解，得：A E于是求得零状态响应为：t tUc - -Ee _RC E =E （1 _e 一眄其中，E为t：时电容两端电压UC（：），零状态响应又可写为t tUc =E(1 _e =uc( 8)(1 _e -RC )duei c = CdtR换路前电容【例3.3】在图335中，已知R=2Q, C=4卩F, E=10V，当t=0时，开关S闭合, 初始储能为零，试求开关闭合后 uc、ic的变化规律

18、。解：换路前C无初始储能，故u（ 0 ）= Uc（O丿乂换路后根据KVL得：Uc u = ERCdUC uc =Edt求得:t3 uc = E (1 e RC) = 10(1 - e25 101)ic_tRc3-J25 103t二 5e3.3.3 RC电路的全响应在图3.3.7所示RC 一阶电路中，换路前开关 S合在“ 1”处，RC电路与直流电源 且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“ 2”处，RC电路与直流电源 E2连接， 压和电流方向为关联参考方向，试分析换路后 Uc、ic的变化规律。E1连接，而 设电容的电即图 3.3.7由于换路前电路已稳定，电容已有储能。换路后电路由电压源 E

19、2激励，所以该电路的响应为全响应。在t0时，由KVL得：Uc + Ur = E2由于ur二Ric，将ic二C duc代入上式得微分方程：dtRCduc uc 二 E2 或 duc 竺 e2_dt dt Rc Rc求解的步骤和零状态响应是一样的，但电路的初始条件不同，会影响常数 A的数值。该微分方程的通解为：tuc 二 Ae Rc E2将初始条件t = 0+时，Uc(0+)= E1代入微分方程的通解，得：A = Ei E2于是求得全响应为：tuc =(Ei E2)e 辰-E2整理得：t tuc 二 Eie 苍 E2(1 -e 芯)t t分析uc式可知，式中第一项e1 e Rc是电路的零输入响应，

20、第二项 E2(1 _e Rc )是零状态响应。 因此，电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。全响应=零输入响应+零状态响应由uc可以求出ic的响应。tic兀咚=(_兰旦)e怎dt R R它们的变化曲线如图 3.3.8所示。图3.3.8 RC电路的全响应3.4 RL电路的暂态分析本节将通过最简单的 RL电路来分析其响应，也就是研究 RL电路的充放电规律。3.4.1 RL电路的零输入响应在图3.4.1所示（a） RL 一阶电路中，t=0时换路，将开关S闭合，试分析换路后iL、Ul的变 化规律。因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电感换路前有初始储能，所以该电路的响应为 零

21、输入响应。分析 RL电路的零输入响应也就是分析其放电规律。设电感的电压和电流关联参考，换路后，由 KVL可得：Ul Ur =0由于UR二RiL，将UL二L鱼代入上式得微分方程：dtiL =0 或业 RiL =0dt L 参照其解法可求得结果t.E - iL eR零状态响应又可写为R dt此方程与电容放电的微分方程形式相同,iL,进而求得uL。其中，E为tis时通过电感的电流R式中EiL eRtdiL -ul = L Ee Tdt它也具有时间的量纲，是 RL电路的时间常数。它们随时间变化的曲线如图 3.4.2所示。LR.越大，iL和uL衰减的越慢。图3.4.2 RL电路的响应曲线可见，电感电流与

22、电容电压的衰减规律是一样的，都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。而电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到 R|s，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢，取决于电路的时间常数LRRL串联电路实际上是线圈的电路模型，如电动机的绕组、仪表的线圈等。在使用的时候常会遇到线圈从电源断开的问题，如图 343所示电路，S断开前电路已处于稳态。如果突然断开开关S这时电感中电流的变化率 diL很大，将使线圈两端产生很大的自感电动势 e-L -diL。由于开 dt dt关两触头间的间隙很小，高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花，触头被烧坏。为防止开断线圈电路时所产生的高压，常在电感线圈两端并联

23、一个二极管。开关 S断开前，二极管反向截止；开关S断开时，二极管导通，电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电，这样 就避免了产生高压。3.4.2 RL电路的零状态响应在图344所示RL 一阶电路中，换路前电感无储能。 t=0时换路，S闭合，RL电路与直流电源连接，试分析换路后iL、uL的变化规律。iL+ UL图3.4.4 RL电路的零状态响应因为换路前电感无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产 生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析 RL电路的零状态响应也就是分析其充电规律。设电感的电压和电流方向关联参考，换路后，由 KVL可得：Ul Ur = E由于uR二R

24、iL，将uL二L也代入上式得微分方程:dt皿 iL =E 或鱼 RiL =RER dt dt L LiL ,进而求得UL。此方程与电容充电的微分方程形式相同，参照电容充电的解法可求得结果iL，R其中,E为t）：:时通过电感的电流RiL（：），因此零状态响应又可写为t t E il (1 e .) e )R则t diL ul 二 L Ee y dt它们随时间变化的曲线如图 345所示。t图3.4.5 RL电路的零状态响应曲线可见，电感电流与电容电压的增长规律是一样的，都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。 电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到 E,然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢

25、，也取决于电路的时间常数.二 L。R3.4.3 RL电路的全响应在图346所示RL 一阶电路中，换路前开关 S合在a处，RL电路与直流电压源 Ei连接，而且 电路已稳定，t=0时换路，即将开关 S转换到“ b”处，RL电路与直流电压源 E2连接，试分析换路 后UL、iL的变化规律。图3.4.6 RL电路的全响应由于换路前电路已稳定，电感已有储能。换路后电路由电流源 |S2激励，所以该电路的响应为全响应。与求 RC电路的全响应类似， RL电路的全响应也等于零输入响应于零状态响应的叠加。由RL电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为：iLEi eR-4TtE2 -7(i-e ul九血dtE2 .R

26、t(氏Rt TtE2 二E2)e T=Eie T E2e它们的变化曲线如图图3.4.7所示。图 3.4.73.5 一阶线性电路暂态分析的三要素法上述RC和RL电路中，应用KVL列写待求量的微分方程式进行求解的方法，称为经典法。对 于一个简单的一阶电路，可以应用经典的方法来求解，但对于结构复杂的一阶电路如果用经典法则 显得比较麻烦，下面我们介绍一阶线性电路暂态分析常用的方法一一三要素法。总结RC、RL电路微分方程的求解过程，可以得出一阶电路暂态过程电压和电流解的形式是相 同的，它们都由两部分组成。u = u ui =i i其中，u和r为非齐次微分方程的特解，它可以在电路处于稳定状态时求出，称为稳

27、态分量。u和i是对应齐次微分方程的通解，它具有确定的函数形式称为 Aet-，随着暂态过程的结束它将趋于零，称为暂态分量。如果将待求的电压或电流用f (t)表示，其初始值和稳态值分别为f (0 )和f (：)，则其响应表示为：tf(t) Ae -在t =0 .时有f(0 )=f (：) A得：A=f(0)_f(：:)因此tf(t)二 f(：j f(0)_ f(x)e 式中f(：)、f (0)和.称为一阶电路的三要素，求解时只要求出三个要素，就能直接求出电 路的响应。【例3.5.1】在图3.5.1所示电路中，已知E=10V，Ri=R2=5k Q，C=1 nF，开关S闭合前电容无 储能。求开关S闭合

28、后的电容电压uc和电流ic。EO+UR2ic+CCU图 3.5.1解：本题是求零状态响应，用三要素法求电容电压 uC和电流iC的变化规律。(1)先求uC(0丿、i (0由题意开关S闭合前电容无储能得：由换路定律得:uc（ 0）= uc（O J =0在t=o .时，电容视为短路ic（O）二10 =2 mARi 5（2） 再求 uc （：）、ic （：）t时，电容视为开路，则：一 r2 5uc（：） 2 E 10=5VRi +R2 5+5ic（：） =0A（3） 然后求时间常数.二 RC 21 c 二R1 +R2 5+53 9 610 1 10 9 =2.5 10S（4）求 Uc、i c把上面的结

29、果代入三要素公式u（ t ） =uc （二）u co）tuc（：）etic（t） =ic（：J i c（0）c（：）e得:= 5-5e05_do 刍u ct） =5+0 -5e4乂0 刍 _4X105tic（t）0 2 -0e_ t =2e mA它们的变化曲线如图 3.5.1所示。3.6微分电路与积分电路在RC电路中，电路的时间常数 .决定了暂态过程进行的快慢，如果对 RC电路选择适当的时间常数和输出端，便会得到输出电压 uO和输入电压ui之间微分和积分的关系，本节所介绍的就是由RC电路构成的微分电路与积分电路。3.3.1微分电路如图3.3.1所示Rc电路中，输入电压ui为一个矩形脉冲电压，脉冲幅度为 u，脉冲宽度为tp。输出电压uo取自R两端，且满足T tp，设电容初始储能为零，试分析输出电压uo和输入电压ui之间的关系。为便于分析，我们分别取几个特殊时刻， t = 0、t = t1、t = t2。