中考数学专题突破导学练第12讲反比例函数试题.docx

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中考数学专题突破导学练第12讲反比例函数试题

2019-2020年中考数学专题突破导学练第12讲反比例函数试题

【知识梳理】

1.反比例函数的概念

如果（k是常数，k≠0），那么y叫做x的反比例函数．

2.反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线．

3.反比例函数的性质

①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小．

②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．

③反比例函数图象关于直线y＝x或y=－x对称，关于原点中心对称．

4.k的两种求法

①若点（x0，y0）在双曲线上，则k＝x0y0．

②k的几何意义：

若双曲线上任一点A（x，y），AB⊥x轴于B，则S△AOB

5.正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y＝k1x（k1≠0），反比例函数，则

当k1k2＜0时，两函数图象无交点；

当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为

由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

6.对于双曲线上的点A、B，有两种三角形的面积（S△AOB）要会求（会表示），如图所示．

【考点解析】

题型一反比例函数的概念及解析式的确定

例1.下列图象中是反比例函数y=﹣图象的是（　　）

考点：

反比例函数的图象．

分析：

利用反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可．

解答：

解：

反比例函数y=﹣图象的是C．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图象的形状是解题关键．

题型二反比例函数的图象与性质

例2（5分）（xx•温州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为　　．

【考点】G6：

反比例函数图象上点的坐标特征；LB：

矩形的性质．

【分析】设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（m，m），列方程即可得到结论．

【解答】解：

∵四边形ABCO是矩形，AB=1，

∴设B（m，1），

∴OA=BC=m，

∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，

∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，

∴∠A′OA=60°，

过A′作A′E⊥OA于E，

∴OE=m，A′E=m，

∴A′（m，m），

∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，

∴m•m=m，

∴m=，

∴k=．

故答案为：

．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

题型三反比例函数的比例系数k的几何意义

例3（xx湖南株洲）

如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．

①求k的值以及w关于t的表达式；

②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．

【考点】G5：

反比例函数系数k的几何意义；G6：

反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】

（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；

（2）将

（1）中所得解析式配方求得wmax=，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．

【解答】解：

（1）∵点P（3，4），

∴在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），

当y=4时，x=，即点B（，4），

则S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣），

如图，延长PA交x轴于点C，

则PC⊥x轴，

又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，

∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t；

（2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，

∴wmax=，

则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+，

∴当a=时，Tmin=．

题型四一次函数和反比例函数的综合

例4如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=3，OD=6，△AOB的面积为3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集．

【分析】

（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x=6代入求出D的坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；

（2）根据图象即可得出答案．

【解答】解：

（1）∵S△AOB=3，OB=3，

∴OA=2，

∴B（3，0），A（0，﹣2），

代入y=kx+b得：

，

解得：

k=，b=﹣2，

∴一次函数y=x﹣2，

∵OD=6，

∴D（6，0），CD⊥x轴，

当x=6时，y=×6﹣2=2

∴C（6，2），

∴n=6×2=12，

∴反比例函数的解析式是y=；

（2）当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集是0＜x＜6．

【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和和反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．

题型五反比例函数的其他综合应用问题

例6如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于　﹣24　．

【考点】G5：

反比例函数系数k的几何意义；G6：

反比例函数图象上点的坐标特征；L8：

菱形的性质；T7：

解直角三角形．

【分析】易证S菱形ABCO=2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题．

【解答】解：

作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x，

∵四边形OABC为菱形，

∴AB∥CO，AO∥BC，

∵DE∥AO，

∴S△ADO=S△DEO，

同理S△BCD=S△CDE，

∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，

∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO=40，

∵tan∠AOC=，

∴OF=3x，

∴OC==5x，

∴OA=OC=5x，

∵S菱形ABCO=AO•CF=20x2，解得：

x=，

∴OF=，CF=，

∴点C坐标为（﹣，），

∵反比例函数y=的图象经过点C，

∴代入点C得：

k=﹣24，

故答案为﹣24．

【中考热点】

（xx湖南株洲）

如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则=　﹣　．

【考点】G6：

反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】设AC=a，则OA=2a，OC=a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，相比即可．

【解答】解：

如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，

∴∠OAC=60°，

∵AB⊥OC，

∴∠ACO=90°，

∴∠AOC=30°，

设AC=a，则OA=2a，OC=a，

∴A（a，a），

∵A在函数y1=（x＞0）的图象上，

∴k1=a•a=，

Rt△BOC中，OB=2OC=2a，

∴BC==3a，

∴B（a，﹣3a），

∵B在函数y2=（x＞0）的图象上，

∴k2=﹣3aa=﹣3，

∴=﹣；

故答案为：

﹣．

【达标检测】

一选择题：

1.（xx•黑龙江）如图，是反比例函数y1=和一次函数y2=mx+n的图象，若y1＜y2，则相应的x的取值范围是（　　）

A．1＜x＜6B．x＜1C．x＜6D．x＞1

【考点】G8：

反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】观察图象得到：

当1＜x＜6时，一次函数y2的图象都在反比例函数y1的图象的上方，即满足y1＜y2．

【解答】解：

由图形可知：

若y1＜y2，则相应的x的取值范围是：

1＜x＜6；

故选A．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决此类问题．

2.（xx湖北江汉）如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（　　）

A．B．3C．D．

【考点】G5：

反比例函数系数k的几何意义；G6：

反比例函数图象上点的坐标特征；KK：

等边三角形的性质．

【分析】易求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题．

【解答】解：

作PD⊥OB，

∵P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，

∴m=，解得：

m=3，

∴PD=3，

∵△ABP是等边三角形，

∴BD=PD=，

∴S△POB=OB•PD=（OD+BD）•PD=，

故选D．

3.（xx乌鲁木齐）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（　　）

A．B．C．D．

【考点】G6：

反比例函数图象上点的坐标特征；PA：

轴对称﹣最短路线问题．

【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．

【解答】解：

分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：

a=1，b=3，

则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），

作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，

所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），

连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，

四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB

=DP+DC+CQ+AB

=PQ+AB

=+

=4+2

=6，

故选：

B．

4.（xx山东滨州）在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y=x和双曲线y=相交于点A、B，且AC+BC=4，则△OAB的面积为（　　）

A．2+3或2﹣3B．+1或﹣1C．2﹣3D．﹣1

【考点】G8：

反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】根据题意表示出AB，BC的长，进而得出等式求出m的值，进而得出答案．

【解答】解：

如图所示：

设点C的坐标为（m，0），则A（m，m），B（m，），

所以AB=m，BC=．

∵AC+BC=4，

∴可列方程m+=4，

解得：

m=2±．所以A（2+，2+），B（2+，2﹣）或A（2﹣，2﹣），B（2﹣，2+），

∴AB=2．

∴△OAB的面积=×2×（2±）=2±3．

故选：

A．

二填空题：

5.如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是　2≤k≤9　．

【考点】G8：

反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】把C的坐标代入求出k≥2，解两函数组成的方程组，根据根的判别式求出k≤9，即可得出答案．

【解答】解：

当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：

k=2×1=2；

把y=﹣x+6代入y=得：

﹣x+6=，

x2﹣6x+k=0，

△=（﹣6）2﹣4k=36﹣4k，

∵反比例函数y=的图象与△ABC有公共点，

∴36﹣4k≥0，

k≤9，

即k的范围是2≤k≤9，

故答案为：

2≤k≤9．

6.如图，直线与轴分别交于，与反比例函数的图象在第二象限交于点.过点作轴的垂线交该反比例函数图象于点.若，则点的坐标为.

【答案】（﹣3，4﹣2）

【解析】

试题分析：

过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3，），得到AD=，AC=，于是得到C（﹣+，﹣），列方程即可得（﹣+）•（﹣）=k，解得k=6﹣12，因此可求D（﹣3，4﹣2），

故答案为：

（﹣3，4﹣2）．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题

7.（xx•宁德）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，AC与OB交于点D（8，4），反比例函数y=的图象经过点D．若将菱形OABC向左平移n个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n的值为　2　．

【考点】G6：

反比例函数图象上点的坐标特征；L8：

菱形的性质；Q3：

坐标与图形变化﹣平移．

【分析】根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D（8，4）和反比例函数y=的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．

【解答】解：

∵四边形ABCO是菱形，

∴CD=AD，BC∥OA，

∵D（8，4），反比例函数y=的图象经过点D，

∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，

∴y=，

把y=8代入得：

x=4，

∴n=4﹣2=2，

∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，

故答案为：

2．

【点评】本题考查了菱形的性质，平移的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，能求出C的坐标是解此题的关键．

8.（xx，福建南平，16，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于　　．

考点：

反比例函数系数k的几何意义．

分析：

作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出===，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=，OE=，OA=，然后根据三角形面积求得即可．

解答：

解：

作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，

∴BD∥CE，

∴==，

∵OC是△OAB的中线，

∴===，

设CE=x，则BD=2x，

∴C的横坐标为，B的横坐标为，

∴OD=，OE=，

∴DE=﹣=，

∴AE=DE=，

∴OA=+=，

∴S△OAB=OA•BD=××2x=．

故答案为．

点评：

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA长是解题关键．

三解答题：

9.如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标．

【考点】G8：

反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】

（1）把x=3代入一次函数解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；

（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标．

【解答】解：

（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，

则A的坐标是（3，2）．

把（3，2）代入y=得k=6，

则反比例函数的解析式是y=；

（2）根据题意得2x﹣4=，

解得x=3或﹣1，

把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．

10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，函数y=的图象过点P（4，3）和矩形的顶点B（m，n）（0＜m＜4）．

（1）求k的值；

（2）连接PA，PB，若△ABP的面积为6，求直线BP的解析式．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．.

分析：

（1）把P（4，3）代入y=，即可求出k的值；

（2）由函数y=的图象过点B（m，n），得出mn=12．根据△ABP的面积为6列出方程n（4﹣m）=6，将mn=12代入，化简得4n﹣12=12，解方程求出n=6，再求出m=2，那么点B（2，6）．设直线BP的解析式为y=ax+b，将B（2，6），P（4，3）代入，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式．

解答：

解：

（1）∵函数y=的图象过点P（4，3），∴k=4×3=12；

（2）∵函数y=的图象过点B（m，n），∴mn=12．

∵△ABP的面积为6，P（4，3），0＜m＜4，

∴n（4﹣m）=6，∴4n﹣12=12，解得n=6，∴m=2，∴点B（2，6）．

设直线BP的解析式为y=ax+b，

∵B（2，6），P（4，3），

∴，解得，

∴直线BP的解析式为y=﹣x+9．

点评：

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确求出B点坐标是解题的关键．