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高考数学指导教学书
一.数学教学总则
借助约定①,运用锚定②和桥接③等手段引领学牛从对数学知识的水平理解④、朴素的直觉认同到工具性理解并逐步将学生对数学知识的理解提升至关系性理解和垂直理解的层次，然后培养学生根据自己通过关系性理解和垂直理解获得的数学思维模型⑥解决问题，同时强化学生的数学信息感知和信息加工能力。
根据高考数学思想，选择原型⑦，通过水平理解——工具性理解一一关系性理解——ffi直理解引领学牛数学思维模型形成，然后进行数学课题研究。
1庞加莱（Poincare）把约定看作“极其口然的假设”，我们用它表示人类共通的道德假设、认知假设（资源）、情感假设。
例如，我们约定“人都想成为口己心中的好人”、“学牛认识点和直线”、“价值观被触犯，止常人都会牛气”等等，止常的学牛具备“类比”、“归纳”的能力。
2锚定，一种教学设计，旨在通过教师设计的特定情景，学生可以凭直觉得出正确合理的结论。
3桥接，在锚定的基础上，教师将特殊情景推广到--般情景，从而帮助学牛将被锚定的结论迁移到一般化情景。
4Freudenthal将学生的“数学信息加工”能力分为两个层次，一为水平数学，二为垂直数学。
比如一辆山地车，它有3个齿轮和6个链轮，学生能算出18档速度组合，他把这个层次定义为水平数学，如果继续呈现3个齿轮和n个链轮，m个齿轮和n个链轮，直到归纳出计算原理，这个层次则为垂直数学。
水平理解指对具体问题解决方法的认同，而垂直理解则强调明晰具体方法背后的普遍原理。
5R.Skemp将理解划分为“工具性理解”和“关系性理解”。
工具性理解是指知道法则但并不懂得其理由，而关系性理解则是我们平时所讲的“知道怎么做”又“知道为什么这么做”。
6模型是所研究的系统、过程、雷物或概念的一种表达形式，主要反映结构特点和因果关系。
所有具体的实例、方法，都不是模型，只能是“模型”的原型，比如一个球体斜抛，将会怎样运动？
每个人都是根据心中的模型来做出预测，但预测后关于球体的轨迹描述仅仅是
“模型”的仿真而己。
我们对以说这背后的模型是“一个斜抛”方程，但这个方程又仅仅是牛顿力学模型的一个实例，这就是“垂直理解”的过程。
7EleanorRosch认为人类分类的基础不是同类爭物的共同特征，而是基于一个最典型的例子，即原型。
二.高考数学指导教学书
（1）平面向量
1.教学目标：
1.形成平面向量基本思想:
（1）有向线段：
三角形法则；
（2）坐标法：
二维向量与一维向量算法相容。
（3）数量积的几何意义。
（4）处标系的平移：
参考系。
2.掌握平面向量基本技能:
（1）平面儿何问题的向量表示；
（2）向量的坐标运算。
（3）数量积。
II.教学过程：
模块一、知识梳理。
1.口学：
自学提示：
以一个具体的平而向量比如2=（1,2）为例，构造下列知识点的实例，并参考图例描绘思维导图①（山图表、示例、知识点等组成的网络图）。
①记忆关键词:
记忆性关键词或短语是能唤醒内心经验、激发和丰富特殊联想的符号或短语,一旦启用，既能引出相关知识的联想。
他们往往是一些意义明确，具体的名词或动词，也口J以是一些示例，或代指一些具体经验的符号或图表。
相对于侧重言语表征以专业术语为支撑的概念图，思维导图则是由记忆关键词（或者图像）联接成的联想网络图，即基于内心经验的。
记忆关键词纟II织教学示例：
"1851年尼古拉一世米歇尔将军宪兵”
初看起来，这些信号里仅仅包括了一个年代，三种人物。
这似乎与物理课风马牛不相及，然而当教师讲完如下一段内容Z后再看看上述信号，情况就非常清楚了。
1851年，尼古拉一世首次乘火车前往莫斯科。
米歇尔将军为了表示隆車，特令部下在铁轨上涂上白色汕漆，结果车轮打滑，火车无能动。
只好紧急撒上沙子，专列才正常启动。
（1）共线向量的概念.
（2）向量的加法和减法.
（3）实数与向量的积，两个向量共线的充要条件.
（4）平面向量的坐标运算.
（5）平面向量的数量积及其儿何意义，向量垂直的条件.
（6）线段的定比分点和中点处标公式，地标平移公式.
2.互帮
小组互相评价平血向量的思维导图，以实例的止确和丰富为主要标准，选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次，选取一幅作品为代表，借助辅助例题，侧重“有向线段”运算法则、几何问题向量化（基向量）、数量积的几何意义引领（比如射影）和坐标系平移中的“参考系”意识（培养学生“相对距离”的感觉）。
模块二、原型问题。
1.口学
自学提示：
阅读下列C知条件，并写出根据己有条件可以确定的向量或构造的图形。
⑴已知向量冉曇淤疵弐2,5）.,求cc+ab,c丄°+5c
（2）△月BQ试丿阿|表示附平酚线。
ABACZA
（3）已知平面向量石俯夹角为60,。
丽（羽+|1可I2a\b
2.互帮
小纽分享各自的发现和答案，并汇总小组能确定的向量和图形。
3.释疑
（1）强调未知量的“维度”和相关的“秩”（等式的个数）；
（2）侧重“有向线段”运算的“三角形法则”、“定比分点”。
如果已知ZA,还能确定哪些量？
（3）朝“射影”和“基向量”引领（可以求这两个向量任意线性组合的模和方向；这三道题都可以归结为“基向量”）。
模块三、研究课题。
1.自学
自学提示：
阅读卜列问题，先尝试将问题“向量化”、给出“向量的儿何意义”、或“向
量的表示”，然后尝试解答。
（1）
四边形对角线互相垂克的充要条件是两种对边平方和相等。
且^PB-SS具赧豳oO
⑶试推导平而内一点P&剥出1）线1：
ax+by+c二0的距离公式。
2.互帮
小组分厚各白“向量化”的形式、“儿何意义”、“向量表示”的代数式以及答案，并总结心得。
3.释疑
（1）强调基向量的选择。
（2）侧亜“处标法”和“有向线段”运算的选择标准，并辅以例题强化。
（3）将距离看做向量在直线法向量方向的摄影并借此引领基于数量积的“轨迹”。
（2）集合与简易逻辑
I.教学目标:
1.形成集合与简易逻辑的基本思想：
（1）对象与整体；
（2）逻辑真;
（3）等价命题。
2.掌握集合与简易逻辑的基本技能：
（1）集合的交、并、补运算；
（2）逻辑联结词“或”、“且”、“非”的真值表；
（3）充分、必要条件的判断。
H.教学过程
模块一、知识梳理。
I.自学
口学提示：
以一个具体的集合为例，比如{1,2,3,5,8},构造下列知识点的实例,并描绘思维导图。
（1）子集、补集、交集、并集，属于、包含、相等关系.
（2）逻辑联结词〃或〃、〃且〃、”非〃，四种命题，充分条件、必要条件及充要条件。
2.互帮
小组互相评价集合与简易逻辑的思维导图，以实例的正确和丰富为主要标准，选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次，选取-•幅作品为代表，借助辅助例题，侧重集合的“对彖”和假命题的“举反例”。
模块二、原型问题。
1.口学
口学捉示：
阅读下列已知条件，并根据已知条件确定集合的对彖、命题的“逆否命题”。
⑴已知集合心{兀必1},B={x\x>a}f且AuB=R,求实数a的取值范围。
（2）P=[aa=（1,0）+加（0,1）,加w/?
],Q=仏乙=（1,1）+〃（一1,1）,neR],
丿I丿是两个向量集
合，则丹Q=
（3）甲：
xHl冃xH2；乙:
x+yH3,甲是乙的—条件（充分、必要）
2.互帮
小组分孚各自确定的集合对象、逆否命题以及答案。
3.释疑
（1）数轴上解集的表示以及临界点问题；
（2）集合的元索和集合这一整体所表示的意义；
（3）逆否命题在命题真假判断方面的应川。
模块三、研究课题。
1.自学
自学提示：
阅读下列问题，用集合的语言描述下列问题，然后尝试解答。
（1）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_。
⑵设含有集合A二{1,2,4,&⑹中三个元素的集合A的所有子集记为
Bl,B2,B3,…，Bn（其中nWN*）,又将Bk（k二1,2,……，n）的元素Z和记为ak，则◎二
2.互帮
小组分亨各自的集合描述方法，以及计算结果。
3.释疑
（1）文氏图和容斥原理；
（2）辅以实例介绍枚举法和“代表元”（等可能性）。
（3）函数
1.教学口标
1.形成函数基本思想：
（1）对应和运动；
（2）解析式决定性质，性质决定图像。
（3）函数图像的对称和解析式的满足条件。
2.掌握函数基本技能：
（1）学握函数单调性、奇偶性判断方法；
（2）熟悉'幕、指、对函数的基木性质；
（3）拿握原函数和反函数的对应关系。
11.教学过程
模块一、知识梳理。
1.自学
自学提示：
以一个具体的函数为例，比如y==，构造下列知识点的实例，并
描绘思维导图。
（1）函数的单调性、奇偶性。
（2）反函数.
（3）指数函数的概念、图象和性质；对数函数的图像、性质。
（4）函数的值域.
2.互帮
小组互相评价函数的思维导图，以实例的止确和丰富为主要标准，选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次，选取一幅作品为代表，借助辅助例题，侧重函数的“单调性”和“奇偶性”判断、指对数换算、反函数的图像特征。
模块二、原型问题。
1.自学
口学提示：
阅读下列问题，并尝试根据函数性质的判断方法和函数性质解决问题。
做函数的玲札
（1）Ph
（2）已知函数才⑴的反函数为g°）=W21gx总0）,则/■⑴+g（l）=
/（兀）=兀2+-（x^0,6/e/?
）rX
⑶已知函数兀在区间L厶+00丿是增函数，求实数。
的取值范
围。
2.互帮
小组分亨各自的绘图方法、求值方法以及参数范围的求解策略。
3.释疑
⑴性质决定图像，辅以实例从坐标系平移（强调相对）和点的平移（强调函数值对应）两个角度解释窗数图像平移对应解析式的变化。
（2）原函数和反函数的対应关系，拓展至抽象函数。
（3）做差比较法（二元极值），或借助一阶求导。
模块三、研究课题。
1.口学
自学提示，阅读下列问题，根据苗数解析式判定定函数奇他性、单调性、周期性，并根据函数性质做出函数“草图”，然后根据“草图”给出问题答案。
（1）己知定义在R上的奇函数/（X）,满足/（尢一4）=一广（尢），且在区间［o,2］上是增函数，试研究该函数的单•调区间。
（2）研究函数f（x）二轟鋼区间。
f（X）=_兀3—CIX~+1
（3）若a>2,研究函数3的零点分布。
2.互帮
小组分享各函数的性质、“草图”以及答案，并交流绘制草图的依据和方法。
3•释疑
⑴借助辅助例题，侧重训练学生根据函数方程判断函数对称性、周期性的方法。
（2）学会直接利用“初等函数”的和为差对函数的单调性作出“粗略”判断。
（3）由“一阶导数”判定函数单调区间和“驻点”，从而确定函数“草图”。
（4）不等式
T.教学目标
1.形成不等式基本思想：
（1）实数有序:
止数大于0,负负得止，正负得负。
（2）图像：
x轴上方大于0。
（3）利川函数性质确定不等关系：
函数单调性、函数的值域。
2.掌握不等式慕木技巧：
（1）做差比较法证明不等式；
（2）解二次不等式及可以转化为二次不等式不等式（比如“分式”不等式）。
11.教学过程
模块一、知识梳理。
1.自学
自学提示：
以一个具体的不筹式为例，比如x2+l>x,构造下列知识点的实例，并描绘思维导图。
（1）正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数
（2）比较法证明简单的不等式.
（3）不等式的解法.
（4）|a|—|b|W|a+b|W|a|+|b|.
2.互帮
小组互相评价不等式的思维导图，以实例的正确和丰富为主要标准，选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次，选取一幅作品为代衣，借助辅助例题，侧重不等式做羌比较法的证明、不等式解集和对应函数图像的关系以及绝对值不等式的几何意义。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示：
阅读卜列问题，并尝试绘制不等式左边“函数”图像，并根据图像解不等式。
（1）关于X的不等式x2+2ax-a>0的解集是R,求a的取值范围。
11
——V—
（2）解不等式兀2
（3）若不等式lx~41+1兀一31<°的解集为非空集合，求实数Q的取值范围。
2.互帮
小组分享各自绘制的函数图像、不等式的解集以及不等式的解法。
3.释疑
（1）根据解集判断函数图像特征，从而确定参数取值范围卜屮有图。
（2）分式不等式的解法。
（3）既强调图像法，兼顾绝对值不等式的性质。
模块三、研究课题。
1.自学
自学提示，阅读下列问题，根据不等式构造“函数”、“平面区域”，并利用函数的值域和区域的界限解决相应问题。
（D已知：
00,且xh哝证：
a（x~l）>xa-1.
（2）已知不等式围。
OSW&
（3关于x的不等式mx剂违满越的12.互帮
小组分享各口构造的“函数”、“区域”，并交流构造的方法。
3.释疑
（1）教师辅以小例，强化学牛“借助一阶导数，确定函数的“驻点”和单调性，从而算出函数的值域。
”的体验。
（2）构造半圆。
教师辅以圆锥曲线的图像，训练学生''区域”和不等式的对应。
（3）打破思维定势，将“二次式”看做“一次式”，这是处理二元问题的另一种思想。
（5）三角函数
I.教学目标
1.形成三角函数基本思想：
（1）终边定值；
（2）周期性;
（3）回归到同角、同名、基本三角函数。
2.掌握三角函数基本技能
（1）同角三角比的换算；
（2）两角和与差的正、余弦；
（3）五点法作图；
（4）解斜三角形。
教学过程
模块一、知识梳理。
1.自学
自学提示：
以sinl75°求值和y=2sin（2x+-）五点法作图为例，构造下列知识点的
4
实例，并描绘思维导图。
（1）同角三角函数的基本关系式；
（2）最小正周期；
（3）两角和与两角差的正弦、余弦；
（4）函数y=Asin（3x+e）的简图；
（5）arcsinxarccosxarctanx.
（6）解斜三角形.
2.互帮
小组互相评价三介函数的思维导图，以实例的正确和丰富为主要标准，选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次，选取--幅作品为代表，借助辅助例题说明利用终
边上点的朋标计算同角三角比、两角和与差的终边位置确定方法、二倍角降次方法，强调三
和函数y二Asin（sx+e）五点法作图时的对应关系以及两种图像平移动和压缩路径，明晰解三角形和全等判定的关系以及边角互换的问题解决意识。
模块二、原型问题。
1.自学
口学提示：
阅读下列问题，首先描述在给定条件下可以确定的“角”或“图形”，并计算结果。
（1）已知踰淀丰勺终边位置。
（2若—cos（（7+=—,sin（7=—,cosB
2513
（3）求.的笊li期&
ji3
a=2,C=—,cosB=—
（4）在三角形ABC中，45,求三角形ABC的面积S。
2.互帮
小组分亨各自确定的“角”、“图形”，交流确定的方法。
3•释疑
（1）根据正切值，预判断□的终边位置，尝试借助余弦、正弦确定终边位置。
（2）扩充“己知角”的概念。
（3）降次和转化为y二Asin（®x+
（1））是处理复杂三角函数问题的基本思想。
（4）先从类似于“全等”的角度判定三角形的“确定性”，然后再求值。
判定“确定性”的过程，通常为解三角形提供了“路径”。
模块三•课题研究
1.自学
自学提示：
阅读下列问题，先根据已知条件绘制对应函数或方程的“草图”，然后根据图像或选择合适的参数解决问题。
点处切线的斜率为-2.
⑵若1O灘疗程皱粮冇几个?
（3已知则阴強附二4,P
x+y-2
2.互帮
小组分孚各白绘制的“草图”，并交流绘制的方法。
3.释疑
（1）根据已知条件点和斜率，可以确定点对应五点法作图中一个周期内的位置。
根据这个对应位置可以确定（）的值。
（2）根据图像草图和借助周期，是涉及周期函数零点、交点的基本思想。
（3）根据二次曲线的特点，选择合适的参数，有利于将二元条件极值问题转化为一元函数问题。
（6）数列
I•教学1=1标
1.形成数列的基木思想：
（1）数值发生器：
通项和递推；
（2）数值特征:
函数。
（3）转化：
通过换元、迭加转化为等差、筹比数列。
2.掌握数列的棊木技能
（1）求通项公式；
（2）求和；
（3）离散问题用“数列”表示。
II•教学过程
模块一.知识梳理。
1.自学
自学提示：
以1,3,5,7,9,…为例，构造下列知识点的实例，并描绘思维导图:
（1）数列通项公式；
（2）数列递推公式；
（3）等差数列、等比数列；
（4）数列求和。
2•互帮
小纽互相评价数列的思维导图，以实例的正确和丰富为主耍标准，选岀小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次，选取一幅作品为代表，借助辅助例题说明等差数列“平均数”求和方法、等比数列“错位相加”求和方法以及数列求和的迭代法、前n项和与第n项的关系以及子数列，并强调数列木质就是“离散函数”，可以川函数的方法研究数列。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示：
阅读下列问题，首先根据已知条件确定数列的类型（或转化为筹差、等比数列的组合），并计算结果。
（1）等差数列稱岸：
试求谡嫁岫介乔岡剧的吐间各项Z和。
（2）已知等差数列｛磅｝二9试求S。
13
（3）已知等比数列=1QOS=3i）求。
530
（4）求数列111031005」・00撕1项和$”.
（5）已知数列前硕和印=0求数列的通项a„.
2.互帮
小组分享各自发现的数列类型，并交流问题解决的方法。
3.释疑
（1）引领学生构建一段“离散”的“线段”。
（2）引领学主在“母数列”的基础上，发现“新数列”的规律。
（3）等差数列求和的“平均数”思想。
（4）引领学生将一个陌生数列尽可能转化为等差、等比的线性组合。
（5）利用询n项和求通项时，需要关注推导的流程（n^2）
模块三、课题研究
1.自学
自学提示：
阅读下列问题，尝试用“转化”的方法将原数列转化为“等差、等比”数列,运川“函数”的思想研究数列各项的取值特点，运川“迭代”或“错位相加”的思想处理“求和”问题，以及借助数列描述实际问题。
（1）已知数列｛匂｝畑的獗夫、=諾4跟“
an陽+1
（2）已知数列勾耳$求砒极值。
”
n
（3）求和S”=兀+2兀$+3x3+・・・+nxn•
（4）设数列髓岸求通珮严4-±4=4,色.
（5）一台计算机装置示意图如下图，J1,J2表示数据入口，C是计算结杲的出口。
计算
规则：
①当JI、J2分别输入1时，输出结果为1；
2若J1输入数值不变，J2输入数值增人1,输出结果比原来增人2；
3若J2输入1,J1输入自然数增人1,则输出结果为原來的2倍。
问，JI、J2分别输入自然数ni和n时，输出结果是多少？
mn
计算机装置
（6）有A,B两家企业牛产桶装矿泉水.市场价P（元/每桶）与消费者盂求量Q（力桶）间的关系:
P二30-Q/50.最初只有A—家生产，后来B发现有利可图，也加入生产的行列.两家企业按利润授大化原则调整产量时，都认为对方会在原有产量的基础上进行牛产.市于牛产成本鮫低，因此忽略生产成本.
1当只有A一家生产时，矿泉水市场价为多少？
2B刚进入时，如何确定产量？
3最终，当市场达到平衡时，市场价为多少？
2.互帮
小纽•分享各自“转化”、“迭代”的方法以及构造的数列。
3.释疑
（1）辅以更多的实例，说明估见的“数列”变形；
（2）强调函数求导、图像法在数列屮的应川；
（3）辅以更多实例，强化错位相加减的求和方法；
⑷通过前面儿个具体项，找规律，并川数学归纳法证明；
（5）多元数列的分步处理思想；
（6）用数列表示变化着的价格（或产量），辅以更多实例训练学牛借助数列描述实际问题的能力。
（7）直线和圆的方程
I.教学目标
1.形成解析几何基本思想：
（1）.坐标法。
（2）.儿何和运动的解析。
2.掌握立线和圆的基木技能：
（1）求点的轨迹方程；
（2）求解直线和圆的方程；
（3）直线和圆的方程的儿何意义；
（4）求直线夹和和点到直线的距离；
（5）求解简单线性规划。
11•教学过程
模块一、知识梳理
1.自学
自学提示：
以直线和隅兀为例Ox2+y2=\，构造下列知识点的实例，并描绘思维导图：
（1）直线的斜率和方向向量、法向量；
（2）两条直线所成的角和点到直线的距离公式；
（3）二元一次不等式表示平而区域；
（4）轨迹方程；
（5）圆的标准方程和一般方程、参数方程.
2.互帮
小组互相评价直线和圆的思维导图，以实例的正确和丰富为主要标准，选出小组代表作
IlliO
3•释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次，选取一•幅作品为代表，借助辅助例题说明确定一条宜线的条件、处标法求点的轨迹方程、确定圆的条件以及以处标法为基础的关于圆的计算。
模块二、原型问题。
1.自学
口学提示：
尝试解决下列问题，并总结“心得”。
（1）求点A（2,3）关于直线x+y+1二0的对称点。
（2）已知过圆0:
蝎+点+Qd丁4Vk御AB斜率为2,求弦长。
（3）已知点厠直线x+y+1二0的距离和到定点（2,1）的距离相等，求点P的轨迹方程。
x-y+l>0
（4已知月啲■最拓S最小伽卄y
x>0,y>0
2.互帮
小组分享各口解决方法、交流求解“对称点”、“弦长”、“轨迹”、“规划”问题的经验。
3.释疑
（1）强调确定性，儿何的角度（对称点唯一），朋标法的角度（二维变量，中点和垂直两个条件）。
（2）圆的计算，强调数形结合的“眩心距”。
（3）解释轨迹方程求解的基本方法，“坐标法”转译，引领“寻找关于二维变量的满足条
件。
（4）线性规划的基本思想，区域和“临界点”（从二元变量的角度和直线平移两个角度明
浙o
模块三、课题研究。
1.自学
自学提示：
阅读下列问题，从数形结合以及“转换”的角度寻求关于动点的“满足条件”，
以及根据已知条件勾勒“动直线”、“动圆”的基木特征，并尝试求解。
（1）求直线x+y+1二0与直线2x-y+2=0相交所成锐和的也平分线的直线方程。
（2）墙而和地而光滑，长一米的木条滑落（滑落过程中一端不离开墙而，另一端不离开地面），求木条0.6米处点P的滑动轨迹。
⑶直线妇陨有亦点,求的收僵范融H0）a
（4）若圆〒+）"=4与圆/+〉,2+2与_6=0@〉0）的公共弦长为2^3，则
a二・
（5）在ZXABC中,A点的坐标为（3,0）,BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]±滑动，求AABC外心的轨迹方程。
2.互帮
小组分享各自的关于“动点”的满足条件，以及“动直线、动圆的关系”，并交
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