警力的分布问题课件.docx
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警力的分布问题课件
警力的分布问题
摘要：
为防止学校附近的突发事件，现在学校附近安排执勤点。
为合理的安排警员，
确保学生安全，建立以下模型：
针对问题一：
求最少人员问题，根据图论思想，构造赋权图GV,E,W，再利
用Floyd算法，求得任意两点间的最短距离。
对于距离所有类学校及第二类学校分别满
足小于200米和400米条件的标志点，引进0—1变量，建立优化模型，并利用Lingo
软件求得最少人数为20。
针对问题二：
在问题一的基础上，根据Floyd算法，获取任意两个标志点间的最短
距离，并利用0—1变量建立优化模型，求得学校相应执勤点的位置为：
B,I,S,W,Y,F,K,N,S,B,D,G,I,N,P,R,X,B。
J,P
111122222222333
针对问题三：
执勤点可设在道路上任意一点，我们根据学校间的最短距离矩阵筛选出三类路径：
（1）两学校间最短距离小于400米的路径
（2）第一类学校与第二类学校
间最短距离小于600米的路径（3）两个第二类学校间最短距离小于800米的路径，在
满足题设条件下，得到最优人数仍为20，但执勤点的位置相对灵活。
关键字：
警员配置，最短路径，图论,Floyd算法
1
1问题的重述
福建省南平市实验小学多名学生在校门口被犯罪分子砍杀，该恶性伤害事件引起了
市委、市政府领导的高度重视，立即对市公安局、教育局、行政执法局等有关部门和单
位召开加强校园周边特殊时段安全防范工作紧急会议，研究确定了在学校及其周边道路
上设执勤点。
我们研究一下问题：
（1）如何配置警员，使总人数最少；
（2）再问题一的基础上如何合理的安排执勤点位置；
（3）若执勤点布置不限定在标志点，而是限定在道路上，重新配置警员并安排
执勤点位置，使总人数最少。
2问题的分析
在现实生活中，经常会遇到优化问题，即寻求最优方案，使人员配置最优。
对于本
题，我们依次针对具体问题进行分析。
针对问题一：
求最少警员的配置问题，属于优化问题，即从若干可能的安排或方案
中寻求某种意义下的最优安排或方案。
对于本问题，即寻求一种方案，当险情发生时，
可以有警员在一分钟之内到达各类学校，对于第二类学校，可以在两分钟内有第二名警
员到达，并且使警员总人数最少。
为使目标最优化，可以根据各标志点的坐标，计算各
标志点间的距离，分别找出距离第一类学校不超过200米的标志点，距离第二类学校不
超过400米的标志点，求出到各个学校最短路径的标志点，从而在满足条件的基础上得
到最少配置人员。
针对问题二：
在问题一的基础上选择合适的标志点作为执勤位置，使在配置警员最
小的情况下，可以对险情作出迅速反应，并及时处理。
针对问题三：
把执勤点扩展到道路上，并非限定在标志点上，增加了执勤地点的灵
活性，在处理模型时减少执勤点必须安排在标志点的限制，在此基础上重新分配警员，
使能及时应对险情的情况下达到总人数最少，使得模型进一步优化。
3条件的假设与符号的约定
3.1条件假设
（1）警员接到报警后可以快速反应以预定速度赶到现场，无任何交通阻塞现象；
（2）各标志点的设置都十分合理，所给的坐标数据准确无误；
（3）题目中根据学校人数划分的两类学校的方法很合理；
（4）任意两种案件不可能在同一时间内发生。
3.2符号的约定
a：
ij
v到
i
v的最短距离，i1,,95,j1,,95；
j
d：
vi到vj的距离，i1,,95,j1,,95；
ij
e：
学校ui到uj的距离，i,j1,,19；
ij
f：
表示第一类学校的标志点，i1,,13；
i
g：
表示第二类学校的标志点，i1,,6；
i
2
p：
表示学校ui到uj的距离，i,j1,,19；
ij
q:
表示第一类学校fi到第二类学校gj的距离,i1,,13,j1,,6；
ij
r:
表示第二类学校
ij
f到第二类学校
i
g的距离，i1,,6,j1,,6；
j
u:
表示学校所在的标志点，i1,,19；
i
v：
各标志点的位置，i1,,95；
i
w：
vi到vj的直达距离，若vi到vj不直达，则wij为，i,j1,,95。
ij
4模型的建立与求解
4.1数据的处理
（1）为保证建模的质量与系统分析的正确性，对原始数据必须进行预处理。
根据两
点间的距离公式:
22
d（xx）（yy）
（1）
1212
把标志点的坐标转化为各标志点间的距离，形成矩阵
Dd。
ij
9595
（2）根据人数对学校的分类：
表1学校的分类
第
一
BSWZK1N1U1G2N2R2X2I3P3
类
第
二
JE1G1B2I2P2
类
4.2模型的建立
（1）模型一
建立赋权图GV,E,W，其中Vv1,v2,,v95，邻接矩阵
ww
111n
W
ww
mmn
1（9595）
其中
w表示标志点vi到vj的直达距离，若不直达则wij为。
ij
利用Floyd算法，求得任意两标志点间的最短距离矩阵
3
aa
111n
A
aa
mmn
19595
其中ai,j195表示vi到vj的最短距离。
根据最短距离矩阵分别找出距各类学校小
ij
于200米的标志点和距第二类学校小于400米的标志点，列出表格如下：
表2距各类学校距离小于200米的标志点
学
校
BJSWZE1G1K1N1U1B2G2I2N2P2R2X2I3P3
标
志
点
B
C
J
I
K
S
R
T
W
V
Z
Y
A1
E1
D1
F1
R1
G1
F1
H1
K1
J1
N1
M1
O1
U1
S1
T1
V1
B2
C2
G2
H2
I2
J2
N2P2
R2
Q2
X2
V2
W2
Y2
I3P3
S3G3
表3距第二类学校小于400米的标志点
第二类学校JE1G1B2I2P2
JIKFGH
LXY
E1UVD1F1
G1Q1R1S1
T1
G1VYD1E1
F1H1I1
B2P1Q1R1
C2D2
标志点
I2D2E2J2P2B3
根据表2，引进0—1变量
b
ij
1,第i个标志点与第j个学校的距离小于200米
0,第i个标志点与第j个学校的距离大于200米
i1,,95,j1,,19，建立矩阵
Bb。
ij
9519
根据表3，引进0—1变量
c
in
1,第i类学校到第二类学校n的距离小于400米
0,400
第i类学校到第二类学校n的距离大于米
i1,,95,j1,,6，建立矩阵
Cc。
ij
956
设在第i个标志点上安排
x个警员，i1,,95
i
95
建立目标函数：
minxi
i1
95
bx1,j1,,19
ijii1
95
s.t.cx2,n1,,6
inii1
x0,且为整数
i
4
注：
约束条件一：
警员可以在一分钟内到达各类学校；
约束条件二：
警员在两分钟内有第二个警员到达第二类学校。
（2）模型二
首先根据公式
（1）
22
dxxyy
1212
计算出各学校间的距离，形成矩阵
Ee，eij表示学校ui到uj的距离。
根据学校
ij
1919
间的距离分为三种情形：
情形一：
距离小于400米的学校，建立邻接矩阵
pp
111j
P
pp
i1ij
i1,,19,j1,,19，其中
p表示
ij
u到
i
u的距离。
在距离小于400米的两学校间设置
j
执勤点，即满足警员在一分钟之内可以到达各学校。
若没有与该学校间距小于400米的
学校，则可以在学校及其附近小于200米的道路上设置执勤点。
情形二：
距离小于600米的学校，建立邻接矩阵
qq
111
j
Q=
qa
i1ij
i1,,13,j1,,6，其中qij表示第一类学校fi到第二类学校gi的距离。
在距离小于
600米的两学校间设置执勤点，其位置设立在距离第二类学校400米的道路上。
情形三：
距离小于800米的学校，建立邻接矩阵
rr
111j
R
rr
i1ij
i1,,6,j1,,6，其中rij表示第二类学校gi到第二类学校gj的距离。
在距离小于800
米的两学校间设置执勤点，其位置设在两学校中间道路上。
4.3模型的求解
（1）对模型一的求解：
运用Lingo求解得到最少人员数为20，共20个执勤点，每个执勤点的人数为1，
执勤点及相应学校如下表所示：
5
表4执勤点及其相应学校
相
应
学
BJSWZE1G1K1N1U1B2G2I2N2P2R2X2I3P3
校
执
勤
点
B
I
Y
SWY
F1
S1
F1
Y
K1N1S1
B2
D2
G2
I2
D2
N2
P2
B3
R2X2I3P3
（2）对模型二的求解：
两点间距离小于400米
两点间距离小于600米
经分析不管警卫点设置在哪里，其均要满足两个条件：
（1）所有学校要在一分钟以
内有警察能赶到；
（2）第二类学校要在两分钟以内有第二名警察赶到。
求解时我们首先
满足第一个条件，然后满足第二个条件，要满足第一个条件至多需要19名警察，然而
由于两条蓝线的存在，（蓝线连接的两学校间距离小于400米，可在两学校道路间设执勤点就可以兼顾两所学校），则满足第一个条件仅需17名警察，并且N1，U1，K1三点
在满足第一个条件时，要将保护自己的警卫设在N1—B2，U1—E1，K1—H1三段路径的
1/3处使此警察同时能保护B2，E1，H1三个第二类学校，故在满足第
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