警力的分布问题课件.docx

1、警力的分布问题课件警力的分布问题摘要： 为防止学校附近的突发事件，现在学校附近安排执勤点。为合理的安排警员，确保学生安全，建立以下模型：针对问题一：求最少人员问题，根据图论思想，构造赋权图 G V,E,W ，再利用 Floyd 算法，求得任意两点间的最短距离。 对于距离所有类学校及第二类学校分别满足小于 200 米和 400 米条件的标志点，引进 01 变量，建立优化模型，并利用 Lingo软件求得最少人数为 20。针对问题二：在问题一的基础上，根据 Floyd 算法，获取任意两个标志点间的最短距离， 并利用 0 1 变 量建立优化模型， 求得学校相应执 勤点的位置为：B, I, S, W,

2、Y, F , K , N , S , B , D , G , I , N , P , R , X , B 。, J , P1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3针对问题三： 执勤点可设在道路上任意一点， 我们根据学校间的最短距离矩阵筛选 出三类路径：（1）两学校间最短距离小于 400 米的路径（ 2）第一类学校与第二类学校间最短距离小于 600 米的路径（ 3）两个第二类学校间最短距离小于 800 米的路径，在满足题设条件下，得到最优人数仍为 20，但执勤点的位置相对灵活。关键字：警员配置，最短路径，图论 , Floyd 算法11 问题的重述福建省南平市实验小学多名学生在校

3、门口被犯罪分子砍杀， 该恶性伤害事件引起了市委、市政府领导的高度重视，立即对市公安局、教育局、行政执法局等有关部门和单位召开加强校园周边特殊时段安全防范工作紧急会议， 研究确定了在学校及其周边道路上设执勤点。我们研究一下问题：（1） 如何配置警员，使总人数最少；（2） 再问题一的基础上如何合理的安排执勤点位置；（3） 若执勤点布置不限定在标志点，而是限定在道路上，重新配置警员并安排执勤点位置，使总人数最少。2 问题的分析在现实生活中，经常会遇到优化问题，即寻求最优方案，使人员配置最优。对于本题，我们依次针对具体问题进行分析。针对问题一：求最少警员的配置问题， 属于优化问题，即从若干可能的安排或

4、方案中寻求某种意义下的最优安排或方案。对于本问题，即寻求一种方案，当险情发生时，可以有警员在一分钟之内到达各类学校， 对于第二类学校， 可以在两分钟内有第二名警员到达，并且使警员总人数最少。为使目标最优化，可以根据各标志点的坐标，计算各标志点间的距离， 分别找出距离第一类学校不超过 200 米的标志点， 距离第二类学校不超过 400 米的标志点， 求出到各个学校最短路径的标志点， 从而在满足条件的基础上得到最少配置人员 。针对问题二： 在问题一的基础上选择合适的标志点作为执勤位置， 使在配置警员最小的情况下，可以对险情作出迅速反应，并及时处理。针对问题三：把执勤点扩展到道路上，并非限定在标志点

5、上，增加了执勤地点的灵活性，在处理模型时减少执勤点必须安排在标志点的限制，在此基础上重新分配警员，使能及时应对险情的情况下达到总人数最少，使得模型进一步优化。3 条件的假设与符号的约定3.1 条件假设（1） 警员接到报警后可以快速反应以预定速度赶到现场，无任何交通阻塞现象；（2） 各标志点的设置都十分合理，所给的坐标数据准确无误；（3） 题目中根据学校人数划分的两类学校的方法很合理；（4） 任意两种案件不可能在同一时间内发生。3.2 符号的约定a ：ijv 到iv 的最短距离， i 1, ,95, j 1, ,95 ；jd ：vi 到vj 的距离， i 1, ,95, j 1, ,95 ；ij

6、e ：学校 ui 到uj 的距离， i, j 1, ,19 ；ijf ：表示第一类学校的标志点， i 1, ,13 ；ig ：表示第二类学校的标志点， i 1, ,6 ；i2p ：表示学校 ui 到uj 的距离， i, j 1, ,19 ；ijq : 表示第一类学校 fi 到第二类学校 gj 的距离, i 1, ,13, j 1, ,6 ；ijr : 表示第二类学校ijf 到第二类学校ig 的距离， i 1, ,6, j 1, ,6 ；ju : 表示学校所在的标志点， i 1, ,19 ；iv ：各标志点的位置， i 1, ,95 ；iw ：vi 到vj 的直达距离，若 vi 到vj 不直达，

7、则 wij 为 ，i, j 1, ,95 。ij4 模型的建立与求解4.1 数据的处理（1） 为保证建模的质量与系统分析的正确性，对原始数据必须进行预处理。根据两点间的距离公式 :2 2d (x x ) ( y y ) （1）1 2 1 2把标志点的坐标转化为各标志点间的距离，形成矩阵D d 。ij95 95（2） 根据人数对学校的分类：表 1 学校的分类第一B S W Z K1 N1 U1 G2 N2 R2 X2 I3 P3类第二J E1 G1 B2 I2 P2类4.2 模型的建立（1） 模型一建立赋权图 G V,E,W ，其中V v1,v2, ,v95 ，邻接矩阵w w11 1nWw wm

8、 mn1 (95 95)其中w 表示标志点 vi 到vj 的直达距离，若不直达则 wij 为 。ij利用 Floyd 算法，求得任意两标志点间的最短距离矩阵3a a11 1nAa am mn1 95 95其中 a i, j 1 95 表示vi 到vj 的最短距离。根据最短距离矩阵分别找出距各类学校小ij于 200 米的标志点和距第二类学校小于 400 米的标志点，列出表格如下：表 2 距各类学校距离小于 200 米的标志点学校B J S W Z E1 G1 K1 N1 U1 B2 G2 I2 N2 P2 R2 X2 I3 P3标志点BCJIKSRTWVZYA1E1D1F1R1G1F1H1K1J

9、1N1M1O1U1S1T1V1B2C2G2H2I2J2N2 P2R2Q2X2V2W2Y2I3 P3S3 G3表 3 距第二类学校小于 400 米的标志点第二类学校 J E1 G1 B2 I2 P2J I K F G HL X YE1 U V D1 F1G1 Q1 R1 S1T1G1 V Y D1 E1F1 H1 I1B2 P1 Q1 R1C2 D2标志点I2 D2 E2 J2 P2 B3根据表 2，引进 01 变量bij1,第i个标志点与第 j个学校的距离小于 200米0,第i个标志点与第 j个学校的距离大于 200米i 1, ,95, j 1, ,19 ，建立矩阵B b 。ij95 19根据

10、表 3，引进 01 变量cin1,第i类学校到第二类学校 n的距离小于 400米0, 400第i类学校到第二类学校 n的距离大于 米i 1, ,95, j 1, ,6 ，建立矩阵C c 。ij95 6设在第 i 个标志点上安排x 个警员， i 1, ,95i95建立目标函数：min xii 195b x 1, j 1, ,19ij i i 195s.t. c x 2,n 1, ,6in i i 1x 0,且为整数i4注： 约束条件一：警员可以在一分钟内到达各类学校；约束条件二：警员在两分钟内有第二个警员到达第二类学校。（2） 模型二首先根据公式（ 1）2 2d x x y y1 2 1 2计算

11、出各学校间的距离，形成矩阵E e ，eij 表示学校 ui 到uj 的距离。根据学校ij19 19间的距离分为三种情形：情形一：距离小于 400 米的学校，建立邻接矩阵p p11 1jPp pi1 iji 1, ,19, j 1, ,19 ，其中p 表示iju 到iu 的距离。在距离小于 400 米的两学校间设置j执勤点，即满足警员在一分钟之内可以到达各学校。 若没有与该学校间距小于 400 米的学校，则可以在学校及其附近小于 200 米的道路上设置执勤点。情形二：距离小于 600 米的学校，建立邻接矩阵q q11 1jQ=q ai1 iji 1, ,13, j 1, ,6 ，其中 qij 表

12、示第一类学校 fi 到第二类学校 gi 的距离。在距离小于600米的两学校间设置执勤点，其位置设立在距离第二类学校 400 米的道路上。情形三：距离小于 800 米的学校，建立邻接矩阵r r11 1jRr ri 1 iji 1, ,6, j 1, ,6 ，其中 rij 表示第二类学校 gi 到第二类学校 gj 的距离。在距离小于 800米的两学校间设置执勤点，其位置设在两学校中间道路上。 4.3 模型的求解（1） 对模型一的求解：运用 Lingo 求解得到最少人员数为 20，共 20 个执勤点，每个执勤点的人数为 1，执勤点及相应学校如下表所示：5表 4 执勤点及其相应学校相应学B J S W

13、 Z E1 G1 K1 N1 U1 B2 G2 I2 N2 P2 R2 X2 I3 P3校执勤点BIYS W YF1S1F1YK1 N1 S1B2D2G2I2D2N2P2B3R2 X2 I3 P3（2） 对模型二的求解：两点间距离小于400米两点间距离小于600米经分析不管警卫点设置在哪里， 其均要满足两个条件： （1）所有学校要在一分钟以内有警察能赶到；（2）第二类学校要在两分钟以内有第二名警察赶到。求解时我们首先满足第一个条件，然后满足第二个条件，要满足第一个条件至多需要 19 名警察，然而由于两条蓝线的存在， （蓝线连接的两学校间距离小于 400 米，可在两学校道路间设执 勤点就可以兼顾两所学校） ，则满足第一个条件仅需 17 名警察，并且 N1，U1，K1三点在满足第一个条件时，要将保护自己的警卫设在 N1B2，U1E1，K1H1三段路径的1/3 处使此警察同时能保护 B2，E1，H1三个第二类学校，故在满足第