旋转最值之三线段共端点.docx

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旋转最值之三线段共端点

旋转最值之三线段共端点

三条线段共端点的旋转

常见基本图形如下，三条共端点的线段PA、PB、PC，通过旋转使它们产生关系

图1中P是正△ABC内一点，通过旋转△PAC，可使三条线段PA、PB、PC转化到一个△QBP中，其中QB即PC，QP即PA

图2中P是等腰RT△ABC内一点，通过旋转△PAC，可使三条线段PA、PB、PC转化到一个△QBP中，其中QB即PC，QP即

PA

图3与图1是相同类型的问题，条件中点P是正△ABC外一点，旋转方法与图1完全相同

图4与图2是相同类型的问题，条件中点P是等腰RT△ABC外一点，旋转方法与图2完全相同

分类例析

一、公共端点在三角形内部

例1、如图，P是正△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，

（1）求∠APB的度数；

（2）求△APB与△APC的面积之和；

（3）直接写出△BPC的面积，不需要说理．

例2：

在等边△ABC中，O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO且AO=1,BO=2,CO=√3,求∠AOB，∠BOC的度数分别是多少？

例3,等腰Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，点P是⊿ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，

（1）求∠BPC的度数

（2）求△ABC的面积

例4、（七一月考）已知P是正方形ABCD内一点，∠APB=135°，PB=6，PC=4

，则正方形ABCD的边长为________

二、公共端点在三角形外部

例5、（江岸期中）如图，点D为等边△ABC外一点，

AD=4,CD=3，求BD的长及四边形ABCE的面积

例6．（武汉中考）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为______

练习1、如图：

∠ABC=30O，∠ADC=600，AD=CD。

求证：

练习2.（青山九上期中）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，CB=4，AB=AC=AD=3，则BD的长为.

三、最值问题

例7、已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点．MB=1,MC=2

（1）如图1，当∠BMC=30°时，求MA

（2）如图2，在∠BMC变化的过程中，线段AM是否存在最大值？

若存在，请求出其最大值及∠BMC的大小；若不存在，请说明理由．

（3）如图3，在∠BMC变化的过程中，线段AM存在最小值吗？

是多少

图1图2图3

例8：

点P是正方形ABCD外一点，PA=

PB=3,,

①如图1若PC=

，求∠BPA；

②在①的条件下，求出正方形的面积

③在①的条件下，求PD

④如图2，在∠BPA度数变化的过程中，线段PC是否存在最大值，若存在求出其最大值，并求出些时∠BPA的度数，PD呢？

⑤如图3，在∠BPA度数变化的过程中，线段PC是否存在最小值，若存在求出其最小值，并求出些时∠BPA的度数，PD呢？

图1图2图3

练习1．已知：

PA=√2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小.

练习2,、点P是正方形外一点，已知PA=1,PB=2，则PC、PD的最小值分别为多少？

此时∠APB为多少度

课后作业

1、如图，点P是等边三角形ABC内部一点，

，则以PA、PB、PC为边的三角形的三内角之比为_______________

2、.如图，等腰Rt△ABC中有一点P，若BP=6，CP=2，且∠APC=135°，则S△ABC为_____

3、P是正方形ABCD内一点，连接PA,PB,PC,PA=2，PB=4，∠APB=135º,求PC的长及正方形的面积

4、如图，四边形ABCD中，若AB=BC，且∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=6，CD=4时，求BD的长

5,、点P是正方形外一点，已知PA=1,PB=2，