极限必做150题一刘刈4.docx
《极限必做150题一刘刈4.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极限必做150题一刘刈4.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
极限必做150题一刘刈4
极限必做150解答
刘刈
17级
刈
言：
我的个人解答，经过老司机（柯）检查，如果还有错误，欢迎大佬联系我及时改正，我的QQ：
198924030
111
1.
lim（
x→0xsinx
-）
tanx
=limtanx-sinx=limtanx（1-cosx）=1
x→0x3x→0x32
2.limln（a+x）+ln（a-x）-2lna
x→0
x2
1-1-
=lima+xa-x
=lim
2x=-1
x→02x
x→02x（a+x）（a-x）a2
3.lim
x→0
1-cosx
=lim=
x→012
2
4.lim
x→a
=lim
x-a+lim
=lim
x-a
+1=1
x→a
x2-a2
x→ax→a
5.
lim
x→0
=lim
x→0
-
lim=1
x→0
6.limtanmx（m、n为正整数）
x→0sinnx
=limmx=m
x→0nxn
7.lim
x→0
ln（1+x+x2）+ln（1-x+x2）secx-cosx
=lim
x→0
ln⎡⎣（x2+1）2-x2⎤⎦
secx（1-cos2x）
=lim
x→0
x4+x2
x21
1ex+e2x+..+enx
8.limln（）
x→0xn
=1⎛ex-1
e2x-1
enx-1⎫12nn+1
limç
++..+
⎪=++..+=
x→0x⎝
nnn
⎭nnn2
9.limsin
n→∞
n2+a2π）
=n22
na2
lim（-1）sin（n+aπ-nπ）=lim（-1）sinπ=0
n→∞
n→∞
n2+a2
⎛3n2-2⎫n（n+1）
10.limç2
n→∞⎝3n
+4⎪
⎭
6
n（n+1）
lim-6n（n+1）
=lim⎛1-
n→∞
⎫
3n2+1⎪
=en→∞
3n2+1
=e-2
⎝⎭
2n+1n
11.lim
n→∞⎝2n-1⎭
=lim⎛1+
2⎫n
⎪
lim2n
=en→∞2n-1=e
n→∞⎝
2n-1⎭
⎛⎫n
12.limç⎪
n→∞⎝2⎭
⎛na-1nb-1⎫
limn+
lnalnbab
n→∞ç22⎪
limn（+）+
=e⎝⎭=en→∞nn=e22=
⎡（2+1）（2-1）⎤
13.limn2⎢en+en-2e2⎥
n→∞⎣⎦
令1=tn
=lim
t→0
e（2+t）+e（2-t）-2e2
t2
=lim
t→0
e（2+t）-e（2-t）
2t
=lim
t→0
e（2+t）+e（2-t）=2
2
⎡1⎤
14.limn⎢an-1⎥（a为整数）
n→∞⎣⎦
=limnlna=lna
n→∞n
n
15.lim
n→∞ç
n+1⎪
⎝⎭
⎛⎫-2n
limnç
-1⎪
limn
lim
n→∞ç
e
n+1
⎪=en→∞ç
n+1
⎪=en→∞
=e-1
16.limn2⎡ln（a+1）+ln（a-1）-2lna⎤
n→∞⎢⎣nn⎥⎦
令1=t,同第二题
n
⎛ab⎫
17.limnçen-en⎪
n→∞⎝⎭
a
=
⎛b⎫
limn（en-1）-limnçen-1⎪=a-b
n→∞
n→∞⎝⎭
18.lim⎛1
n→∞⎝n
limn
1⎫n
+en⎪
⎭
1
=en→∞+n（en-1）=e2n
19.
[]
limnln（n+1）-lnn
n→∞
=limnln⎛n+1⎫=limnln（1+1）=1
n→∞
çn⎪
n→∞n
⎝⎭
20.
lim
x2-1
x→-1lnx
=lim（x+1）（x-1）=lim（x+1）（x-1）=2
x→-1
ln（-x）
x→-1
-（x+1）
21.
[]
limln（1+x）-ln（x-1）x
x→+∞
=limln（1+x）x=limln（1+2
）x=lim
2x=2
x→+∞
x-1
x→+∞
x-1
x→+∞x-1
22.limlncosx
x→0x2
=limln（1+cosx-1）=limcosx-1=-1
x→0x2x→0x22
[]
23.lim（x+2）ln（x+2）-2（x+1）ln（x+1）+xlnxx
x→+∞
=lim⎡xln（x+2）-xln（x+1）+xlnx-xln（x+1）+2ln（x+2）⎤x
x→+∞⎢⎣
x+1⎥⎦
=lim⎡xlnx+2+xln
x⎤x+2=limx2ln（1-
1）+2=2-1=1
x→+∞⎢⎣
x+1
x+1⎥⎦
x→+∞
（x+1）2
24.
lim（
1
+xx
x→0
lim+1
ex→0xe
25.lim（cos
x→0
limcosx-1
1
x）x
-1x
lim2-1
=ex→0x
=ex→0x
=e2
x→0
⎡π⎤cotx
26.lim⎢⎣tan（4-x）⎥⎦
sin（π-x）-cos（π-x）
=
lim
x→0
=e
4
cos（π
4
4
-x）tanx
=
2lim-cos（
ex→0
π-x）-sin（π44
-x）
e-2
27.
lim（sinx+cosx）xx→0
limsinx+cosx-1limcosx-1+1
=ex→0x
=ex→0x=e
2
28.lim（sinx）tanxx→π
2
limsinx-1
x→πcos2x
e2
limcosxx→π-2cosxe2
1
=e2
⎛2x2-x+1⎫x
29.
⎭
limç2
x→∞⎝2x
+x-1⎪
⎛2x2-x+1⎫
⎛-2x+2⎫
limxçç2-1⎪⎪
limxç2⎪
=ex→∞⎝2x+x-1
⎭=ex→∞⎝2x+x-1⎭=e-1
2x+13x
30.lim
x→∞⎝2x-1⎭
lim3x⎛2⎫
=lim（1+
2）ex→∞ç2x+1⎪=e6
x→∞
⎝⎭
2x+1
1
31.lim（1-2x）x=e-2
x→0
32.limcosx（π）
x→+∞
⎡⎛π⎫⎤
π2π2
limx⎢cosç-1⎪⎥
limx（-）-
=ex→+∞⎣
⎝x⎭⎦=ex→+∞
2x=e2
1
33.lim⎛cosx⎫x-a
⎝⎭
limcosx-cosalim-sinx
=ex→acosa（x-a）=ex→acosa=e-tana
34.
limln（x0+x）+ln（x0-x）-2lnx0同第二题-1
x→0
+x22
35.limln（1+eax）ln（1+b）
x→+∞
=limln（1+eax）
x
bbln（1+eax）
lim
=lim
abeax
=ab
x→+∞
xx→+∞x
x→+∞1+eax
36.limln（secx+tanx）
x→0
sinx
=limln[（1+sinx）cosx]=limln（1+sinx）+limlncosx=1
x→0x
x→0x
x→0x
11
37.limx2（ax-ax+1）
x→+∞
11-1
=limx2ax+1（axx+1-1）=limx2（
1-1
2
）lna=limlna=lna
x→+∞
x→+∞
xx+1
x→+∞x（x+1）
1
⎛1+xax⎫x2
38.lim
x→0⎝1+xb⎭
1
⎛xax-xbx⎫x2
=limç⎪
=explim
ax-bx
=explim
ax-1
-
bx-1=（lna-lnb）a
x→0⎝
1+xbx⎭
x→0x（1+xbx）
x→0
xxb
39.lim
x→0
e5x-1
5
x
40.lim
x→0
ex+e-x-2
x2
=lim
ex-e-x
=lim
ex-1
-
lim
e-x-1=1+1=
x→02x
x→02x
x→02x22
41.lim
x→0
etanx-e3x
sinx
=lim
x→0
etanx-1
x
-
lim
x→0
e3x-1
x
=1-3=-2
42.lim
x→0
a3x-1
x
=lim3xlna=3lna
x→0
43.lim
x→a
x
ax-aa
x-a
=lim
x→a
aa（ax-a）
x-a
=lim
x→a
aa（x-a）lnax-a
=aa
lna
44.
limlnx-lnx0=1
x→x0
x-x0x0
45.lim
x→1
xn-1
x-1
令x-1=t
=lim
t→0
（1+t）n-1
t
=limnt=n
t→0t
1
⎛ax+bx⎫x
46.limç⎪
x→0⎝2⎭
令1=t，如12题
x
1
47.lim（ax+ebx）xx→0
=explim
x→0
ax+ebx-1
x
=explim
x→0
ebx-1
x
+
a=e
a+b
48.证明不等式：
ln⎛1+1⎫<1
其中n为正整数
çn⎪n
⎝⎭
解：
令f（x）=ln（1+x）-x
f'（x）=
1
1+x
-1=
-x
1+x
≤0,当x∈[0,+∞）
所以f（x）在[0,+∞）递减所以f（x）即ln（1+x）-x<0⇒ln（1+x）nn
证毕
49.设α（x）=x3-3x+2,β（x）=c（x-1）n,确定c及n,使当x→1时，α（x）~β（x）
解：
lim
α（x）
=1⇒lim
x3-3x+23x2-3
1lim=1
x→1β（x）
x→1
c（x-1）n
x→1cn（x-1）n-1
⇒lim3（x+1）（x-1）=1⇒lim3（x+1）=1
x→1
cn（x-1）n-1
x→1cn（x-1）n-2
所以n-2=0,6
cn
=1⇒n=2,c=3
50.设f（x）=
-2+
x,g（x）=
A,确定K及A，使当x→+∞,f（x）~g（x）xk
解：
limf（x）=1⇒lim=1
x→+∞g（x）
-2
x→+∞
+=
Ax-k
1-1
=
limf（x）=1⇒lim
1
~-x2
=1
x→∞
x→+∞g（x）
⇒lim
x→+∞
x→+∞
1
-x2xk
Ax-k
=1
所以k+1=1,k=-1,-1
=1,A=-4
224A
升级会员 