学年高二物理选修34学案第1章 第1讲 简谐运动.docx

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学年高二物理选修34学案第1章第1讲简谐运动

第1讲　简谐运动

[目标定位]　1.知道什么叫机械振动，什么叫平衡位置.2.知道什么是弹簧振子，理解振子的位移.3.掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念.4.知道什么是振动的振幅、周期和频率.5.理解简谐运动在一次全振动过程中的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况．

一、机械振动

物体（或物体的某一部分）在某一位置两侧所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动．这个位置称为平衡位置．

二、简谐运动

1．振子模型：

如图1所示，如果小球与水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可以忽略不计，这样的系统称为弹簧振子．其中的小球常称为振子．

图1

2．回复力：

当小球偏离平衡位置时，受到的指向平衡位置的力．

3．简谐运动：

如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动．

4．简谐运动是最简单、最基本的振动．

三、振幅、周期和频率

1．振幅：

振动物体离开平衡位置的最大距离．

物理意义：

振幅是表示振动强弱的物理量．

2．周期和频率

（1）周期：

振子完成一次全振动所用的时间，用T表示，单位是秒，符号是s.

（2）频率：

单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位是赫兹，符号是Hz.

（3）周期与频率的关系：

f＝

.

（4）物理意义：

周期和频率都是表示振动快慢的物理量．

想一想　振幅就是振动物体离开平衡位置的最大位移吗？

为什么？

答案　不是．振幅是一个标量．它是指物体离开平衡位置的最大距离．它既没有负值，也无方向，而最大位移既有大小，也有方向，所以振幅不同于最大位移．

四、简谐运动的能量

1．振动系统的总机械能：

弹簧的势能和振子的动能之和．

2．如果不考虑摩擦和空气阻力，振动系统的总机械能守恒．

3．简谐运动是一个理想化模型．

想一想　弹簧振子在振动过程中动能与势能相互转化，振子的位移x、回复力F、加速度a、速度v四个物理量中有哪几个与动能的变化步调一致？

答案　只有速度v.

一、对简谐运动的理解

1．简谐运动的位移

简谐运动的位移是矢量，是从平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段．

注意：

简谐运动的位移和一般运动中的位移有很大区别，一般运动中的位移都是由初位置指向末位置，而简谐运动的位移都是由平衡位置指向振动质点所在位置．

2．简谐运动的回复力

（1）回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力．

（2）简谐运动的回复力：

F＝－kx

①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数（水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数），其值由振动系统决定，与振幅无关．

②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．

③x是指质点相对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量．

④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置．

3．简谐运动的加速度

据牛顿第二定律，a＝

＝－

x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．

说明：

k是比例系数，不能与弹簧的劲度系数相混淆．

【例1】　如图2所示，一弹簧振子在一光滑水平杆上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是（　　）

图2

A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同

B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同

C．振子在M、N两点加速度大小相等

D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动

解析　因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同，M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反．由此可知，A、B选项错误．振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确．振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．

答案　C

借题发挥　弹簧振子位于关于平衡位置对称的两点时，振子的位移、加速度大小相等，方向相反；振子的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．

针对训练1　（多选）如图3所示，一个弹簧振子做简谐运动，关于弹簧振子的位移和加速度的下列说法正确的是（　　）

图3

A．位移最大时，加速度最大

B．位移最小时，加速度最大

C．位移最大时，速度最大

D．位移最小时，速度最大

解析　根据简谐运动的位移和回复力的关系可知，弹簧振子的位移最大时，加速度最大，选项A正确，B错误；弹簧振子的速度为零时，加速度为零，速度最大，选项C错误，D正确．

答案　AD

二、描述简谐运动的物理量

1．对全振动的理解

正确理解全振动的概念，应注意把握全振动的五种特征．

（1）振动特征：

一个完整的振动过程．

（2）物理量特征：

位移（x）、速度（v）第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点．

（3）时间特征：

历时一个周期．

（4）路程特征：

振幅的4倍．

（5）相位特征：

增加2π.

2．振幅与路程的关系

振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．

振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．

振动物体在

个周期内的路程不一定等于一个振幅．

3．周期（T）和频率（f）

（1）周期是振动物体完成一次全振动所需的时间．频率是单位时间内完成全振动的次数．所以周期（T）与频率（f）的关系：

T＝

.

（2）物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．

【例2】　弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，AB间距离是20cm，A到B运动时间是2s，如图4所示，则（　　）

图4

A．从O→B→O振子做了一次全振动

B．振动周期为2s，振幅是10cm

C．从B开始经过6s，振子通过的路程是60cm

D．从O开始经过3s，振子处在平衡位置

解析　振子从O→B→O只完成半个全振动，选项A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2s，所以振动周期是4s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10cm，选项B错误；t＝6s＝1

T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60cm，选项C正确；从O开始经过3s，振子处在位移最大处A或B，选项D错误．

答案　C

三、简谐运动的能量及运动中各物理量的变化

1．简谐运动的能量

（1）不考虑阻力，弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒．

（2）简谐运动的机械能由振幅决定

对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大．如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动．

2．简谐运动中各量的变化情况

如图5所示的弹簧振子

图5

位置

A

A→O

O

O→B

B

位移的大小

最大

↘

0

↗

最大

加速度的大小

最大

↘

0

↗

最大

速度的大小

0

↗

最大

↘

0

动能

0

↗

最大

↘

0

势能

最大

↘

0

↗

最大

总机械能

不变

不变

不变

不变

不变

【例3】　如图6所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.

图6

（1）简谐运动的能量取决于，物体振动时动能和能相互转化，总机械能．

（2）振子在振动过程中，下列说法中正确的是（　　）

A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小

B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小

C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小

D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变

（3）若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是（　　）

A．振幅不变B．振幅减小

C．最大动能不变D．最大动能减小

解析　

（1）简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．

（2）振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误．

（3）振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．

答案　

（1）振幅　弹性势　守恒　

（2）ABD　（3）AC

针对训练2　如图7所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平桌面上左右振动．振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则：

AA0（填“>”“<”或“＝”），TT0（填“>”“<”或“＝”）．

图7

解析　小球通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大．向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动．小物块a与弹簧组成的系统机械能小于原来系统的机械能，所以小物块a的振幅减小，A

答案　<　<

对简谐运动的理解

1．（多选）如图8所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（　　）

图8

A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用

B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用

C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大

D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置

解析　回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在题图情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．

答案　AD

2．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（　　）

A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处

B．周期和频率的乘积不一定等于1

C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关

解析　简谐运动的位移是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处，振幅是简谐运动的最大位移的大小，是标量，故选项A错误；根据周期和频率的关系可知，选项B错误；简谐运动的周期和频率由做简谐运动的物体自身决定，与振幅无关，故选项C错误，D正确．

答案　D

描述简谐运动的物理量

3．（多选）弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8cm，完成30次全振动所用时间为60s，则（　　）

A．振子的振动周期是2s，振幅是8cm

B．振子的振动频率是2Hz

C．振子完成一次全振动通过的路程是16cm

D．从振子通过O点时开始计时，3s内通过的路程为24cm

解析　A、B之间的距离为8cm，则振幅为4cm，故A错；T＝

s＝2s，f＝0.5Hz，B错；振子完全一次全振动通过的路程是4A，即16cm,3s内运动了1.5个周期，故总路程为24cm，C、D正确．

答案　CD

简谐运动中各量的变化情况

4．弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中（　　）

A．振子所受的回复力逐渐增大

B．振子离开平衡位置的位移逐渐增大

C．振子的速度逐渐增大

D．振子的加速度逐渐增大

解析　在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子离开平衡位置的位移逐渐减小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项C正确．

答案　C

题组一　对振动的理解

1．（多选）下列几种运动中属于机械振动的是（　　）

A．乒乓球在地面上的上下运动

B．弹簧振子在竖直方向的上下运动

C．秋千在空中来回运动

D．竖直浮于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动

解析　机械振动是物体在平衡位置两侧做往复运动，乒乓球在地面上的上下运动不是在平衡位置两侧的往复运动．

答案　BCD

2．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是（　　）

A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置

B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移

C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也就越大

D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移

解析　平衡位置是物体可以静止的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关，所以A错误；振动位移是以平衡位置为初始点指向振动物体所在位置的有向线段，振动位移随时间而变化，振动物体偏离平衡位置最远时，振动位移最大，选项B正确，D错误；振动物体的位移与运动的路程没有关系，C错误．

答案　B

题组二　对简谐运动的理解

3．如图1所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　）

图1

A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力

B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力

C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力

D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力

解析　物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．

答案　D

4．简谐运动属于（　　）

A．匀变速直线运动B．匀速直线运动

C．曲线运动D．变速运动

解析　简谐运动的加速度大小不断变化，选项A、B错误；简谐运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，简谐运动的速度不断变化，是变速运动，选项D正确．

答案　D

5．（多选）如图2所示，弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间振动，则（　　）

图2

A．从B→O→C→O→B为一次全振动

B．从O→B→O→C→B为一次全振动

C．从C→O→B→O→C为一次全振动

D．OB的大小不一定等于OC

解析　O为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B路程为振幅的4倍，故选项A正确；从O起经B、O、C、B路程为振幅的5倍，超过一次全振动，故选项B错误；从C起经O、B、O、C路程为振幅的4倍，选项C正确；因弹簧振子的系统不考虑摩擦，所以振幅一定，选项D错误．

答案　AC

6．弹簧振子的质量是2kg，当它运动到平衡位置左侧2cm时，受到的回复力是4N，当它运动到平衡位置右侧4cm时，它的加速度是（　　）

A．2m/s2，向右B．2m/s2，向左

C．4m/s2，向右D．4m/s2，向左

解析　加速度方向指向平衡位置，因此方向向左．由力和位移的关系：

F＝－kx可知，当x＝4cm时，回复力F＝8N，所以加速度a＝－

＝－

＝－4m/s2，D正确．

答案　D

7．如图3所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（　　）

图3

A．0B．kx

C．

kxD．

kx

解析　当物体离开平衡位置的位移为x时，弹簧弹力的大小为kx，以整体为研究对象，此时A与B具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx＝（m＋M）a，故a＝

.以A为研究对象，使A产生加速度的力即为B对A的静摩擦力Ff，由牛顿第二定律可得Ff＝ma＝

kx.故正确答案为D.

答案　D

题组三　描述简谐运动的物理量

8．（多选）做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是（　　）

A．速度B．加速度

C．位移D．动能

解析　振子通过同一位置时，位移、加速度的大小和方向都相同，速度的大小相同，但方向不一定相同，因此B、C、D正确．

答案　BCD

9．如图4所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点开始计时，则（　　）

图4

A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期

B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期

C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期

D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期

解析　从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，A、C错；振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错．

答案　B

10．周期为2s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为（　　）

A．15次，2cmB．30次，1cm

C．15次，1cmD．60次，2cm

解析　振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置两次（除最大位移处），而每次全振动振子通过的路程为4个振幅．

答案　B

11．如图5所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1cm，然后释放振子，经过0.2s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为（　　）

图5

A．0.2sB．0.4s

C．0.1sD．0.3s

解析　简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的

，它们相等．

答案　A

题组四　简谐运动的能量及运动中各物理量的变化

12．（多选）在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住静止于O点，如图6所示，现将A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块在BC范围内做简谐运动，则下列说法正确的是（　　）

图6

A．OB越长，物块A的振动能量越大

B．在振动过程中，物块A的机械能守恒

C．物块在C点时，由物块与弹簧构成的系统势能最大，在O点时最小

D．物块在C点时，由物块与弹簧构成的系统势能最大，在B点时最小

解析　物块在做简谐运动过程中，物块与弹簧构成的系统机械能守恒．物块在C点时的动能为零，由物块与弹簧构成的系统势能最大，物块在O点时的动能最大，由物块与弹簧构成的系统势能最小，选项B、D错误，C正确；物体的振幅越大，简谐运动的能量越大，即OB越长，物块A的振动能量越大，选项A正确．

答案　AC

13．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内（　　）

A．振子的速度逐渐增大

B．振子的位移逐渐增大

C．振子正在向平衡位置运动

D．振子的速度方向与加速度方向一致

解析　振子由平衡位置向最大位移处运动过程中，振子的位移越来越大，加速度增大，速度方向与加速度方向相反，振子做减速运动，速度越来越小，故A、D错误，B正确；振子向平衡位置运动的过程中，位移减小，回复力变小，加速度变小，故C错误．

答案　B

14．沿水平方向振动的弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．在平衡位置，它的机械能最大

B．在最大位移处，它的弹性势能最大

C．从平衡位置向最大位移处运动过程中，它的弹性势能减小

D．从最大位移处向平衡位置运动的过程中，它的机械能减小

解析　弹簧振子在振动过程中机械能守恒，故A、D错误；位移越大，弹簧的形变量越大，弹性势能越大，故B正确，C错误．

答案　B

15．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20cm.某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，求：

（1）振动的周期和频率；

（2）振子在5s内通过的路程及5s末的位移大小；

（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4cm处P点的加速度大小的比值．

解析　

（1）由题意可知，振子由B→C经过半个周期，即

＝0.5s，故T＝1s，f＝

＝1Hz.

（2）振子经过1个周期通过的路程s1＝0.4m．振子5s内振动了五个周期，回到B点，通过的路程：

s＝5s1＝2m．位移大小x＝10cm＝0.1m.

（3）由F＝－kx可知：

在B点时FB＝－k×0.1，在P点时FP＝－k×0.04，故

＝

＝5∶2.

答案　

（1）1s　1Hz　

（2）2m　0.1m　（3）5∶2