数学思考方法.docx

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数学思考方法

数学思考方法

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数学思考方法01——分类

分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数可连成多少正方形？

可连成多少长方形？

可以组成多少直角三角形？

在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？

分别是哪几个数？

从1，2，3，……，99，中，选出两个数相加，使它们的和大于，共有多少种不同的选法？

有一种用六位数表示日期的方法，例如，用表XX年x月x日用这种方法表示XX年全年的日期，那么，全年中六位数字都不相同的日期共有____天

数学思考方法02——化大为小找规律

你会计算自然数中小于的所有奇数的和吗？

数一数，右图中共有多少个正方形？

计算

将自然数1，2，3，4，……像左图那样按顺序排列起来在最上面一行中，从左到右第个数是____；在最左边一列中，从上到下第个数是____

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10条直线最多可把一个长方形分成多少块？

1求13+23+33+43+……+的值

2有一个位的数，它的各位数字都是2，这个数除以6的余数是几？

3求图2-9中所有数的和1234……2345……3456……4567……

………………………

……

数学思考方法03——从一点突破

右图，a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字问它们分别代表什么数字？

下面的算式中，不同字母代表不同的数字，解出这个算式谜

把个桔子分别装在6只篮子里，每只篮子里所装的桔子数，都要是含有数字“6”的数该如何装？

油库里有6桶油，分别是汽油、柴油和机油，用秤称得每桶油重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克但不知道每只桶里各装的是哪种油已知柴油的总重量是机油的2倍，汽油只有一桶问6个桶内各装的是什么油？

A、B、C、D是从小到大排列的四个不同的自然数，把它们两两求和，分别得出下面的五个不同的和数：

21，23，24，25，27求原来四个数的平均数

如图，把1～7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等

数学思考方法04——试验

在下面14个8之间添上适当的运算符号，使得数为88888888888888=

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有一个四位数3AA1，能被9整除问A代表几？

一个三位数，百位数字是个位数字的3倍，十位数字等于百位数字与个位数字的积求这个三位数

将一根长为厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管问剩余部分的管子最少是多少厘米？

写下从1开始的连续自然数，后来擦掉一个，剩下的数的平均数是16又15分之4，擦掉的是多少？

某校排演团体操时，全体学生恰好能由一个正三角形队列变换为一个正方形队列现只知道全校学生数在～人之间，那么这个学校有多少名学生？

学校早晨6∶00开校门，晚上6∶40关校门下午有一同学问老师当时的时间，老师说：

“从开校门到现在时间的1/3，加上现在到关门时间的1/4，就是现在的钟点数那么“现在”的时间是下午____

1解右面的算式谜：

2已知在每个正方体的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，并且任意两个相

对的面上所写两个数的和都等于7现在把五个这样的正方体一个挨着一个地连接起来，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8那么图中打“？

”的这个面上所写的数是几

3三个连续偶数的乘积等于14□□□□8，求这三个偶数

数学思考方法05——移多补少

新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台？

小红跳绳3次，平均每次跳下，要想跳4次后达到“平均每次跳下”，她第4次要跳多少下？

从11到20十个连续自然数相加的和，再加上，等于从到这十个连续自然数相加的和

某工厂一周内生产机器的台数统计表如图5-2，请你把星期三、星期四的产量算出来

有6个木工和一个漆工完成了一套家具生产任务每个木工各得元，漆工的工资比7个工人的平均工资多30元漆工得了多少元钱？

数学思考方法06——等量代换

曹冲称象就是运用了“等量代换”的思考方法：

两个完全相等的量，可以互相代换

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百货商店运来双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想：

每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？

如图：

阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长

甲乙两数之差是，如果将乙数的小数点向右移动一位就与甲数相等，求甲、乙两数

用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水立方米小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？

图中，正方形面积是50平方厘米求阴影部分的面积

1在图6-3中，梯形的下底是6厘米，高3厘米，DF=2厘米，求阴影部分面积

2在图6-4中，两个圆的半径都是1厘米，S2=S4求长方形AO1O2B的面积

数学思考方法07——画示意图

从1开始的n个连续奇数相加，所得的和一定是n2这条规律也可用图来表示：

再如，（a+b）2=a2+2ab+b2这个公式也可用图表示

A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘问小青已经赛了几盘？

学生问老师多少岁，老师说：

“当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁”那么，这位老师今年有多少岁

甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行第一次相遇时离A地50千米，相遇后继续按原速度行完全程，到B、A后返回，第二次相遇时离B地25千米求A、B两地的距离

建国路小学五、六年级同学去参观科技展览，人排成两路纵队，相邻两排前后各相距米，队伍每分钟走65米现在要过一座长米的桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需要多少分钟？

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甲乙两数，甲的3/5等于乙的1/3，甲占乙的几分之几？

某班语文、算术、外语三门功课期中考试成绩统计结果：

语文、算术、外语得分的同学分别有14人、12人、10人，语文、算术和算术、外语两门都得分的同学均各有5人，语文、外语两门都得分的同学有4人，班上有3名同学三门都得了分根据上面统计数据，算一算，至少有一门得分的有几名同学？

2一个班有42名学生，其中有32人订《小学生数学报》，27人订《中国少年报》，每个同学至少订这两种报纸中的一种问这两种报纸都订的同学有多少人？

3在两条垂直相交的公路上，甲由南向北走，乙由西向东走甲出发地点在两条公路交叉点南米乙出发地点在交叉点甲、乙同时出发4分钟后，两人所在位置与交叉点距离相等，再经过52分钟，两人所在位置又与交叉点距离相等甲、乙两人每分钟各走多少米？

数学思考方法08——反过来想

用淘汰制比赛从名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛？

1至的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少？

有一个正方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6有三个人分别从不同角度观察的结果分别如图8-1、图8-1、图8-1问这个正方体中，与“1”、“2”、“3”相对的面上分别是什么数字？

设1、3、9、27、81、是六个给定的数，从这六个数中每次取一个或者几个不同的数求和，可以得到一个新数，这样共得到63个新数如果把它们从小到大依次排列起来是：

1，3，4，9，10，12，……那么，第60个数是多少？

某小学40名同学参加数学竞赛，用15分制记分经统计，全班总分为分，而且相同分数的学生不超过5人，那么，得分超过12分的学生至多只有9人试说明这是为什么

有个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到各不相同问：

能不能将这些孩子排成

若干排，使每排中都有一个孩子的号码数，等于他这一排其余孩子号码数的和？

说明理由

数学思考方法09——分析因果关系

用一个杯子向一个空瓶里倒水如果倒进3杯水，连瓶共重克如果倒进5杯水，连瓶共重克想一想：

一杯水和一个空瓶各重多少？

兴旺养猪场，如果每间猪圈养猪8头，就还有4头猪没有猪圈养；如果每间猪圈养猪10头，将空出2间猪圈问这个养猪场有多少间猪圈？

共养了多少头猪？

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红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划这个厂十一月份计划生产多少台机器？

一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行整顿整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天就完成了原计划50天的生产任务已知整顿后比整顿前一共多生产化肥吨，问整顿前后各生产化肥多少吨？

有一批砖，每块砖的长边比宽边长7厘米如果把这些砖都横着接连铺下去，可铺厘米长；如果横竖相间接铺，可铺厘米长；如果“两横一竖”接铺，可铺多长？

1买2支圆珠笔和5支钢笔共花元；买同样的5支圆珠笔和5支钢笔共花元每支钢笔多少元？

2牧场上有一片青草，长得一样密、一样快，这牧场上的草可供24头牛吃6周，或者20头牛吃10周问这牧场上的青草可供18头牛吃几周？

数学思考方法10——假设

鸡和兔共有42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡兔共条腿问鸡、兔各有多少只？

”

红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划这个厂十一月份计划生产多少台机器？

有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个求黑、白棋子各有多少个？

小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分小华答对了几题？

晨光机械厂团支部买来两筐苹果共千克现取出甲筐苹果的1/5和乙筐苹果的1/4共25千克慰问伤病员问甲乙两筐原有苹果各多少千克？

甲乙两人原来每天共加工零件个，经过技术革新，甲每天加工的零件数比原来增加30％，乙每天加工的零件数比原来增加20％，因而现在两人每天共加工零件63O个问甲乙两人原来每天各加工零件多少个？

1箱子里有红白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球那么箱子里原有红球比白球多多少只？

2某校有名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生多多少名？

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数学思考方法11——转化

一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大这个两位小数是多少？

4本日记本和8本练习本的价钱相等小明买3本日记本和5本练习本，共用去元问日记本和练习本的单价各是多少元？

两个数相除的商是21，余数是3如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是被除数、除数各是多少？

两堆煤，第一堆16吨，第二堆10吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍问5天中两堆煤被烧掉了多少吨？

如图11－2，正方形中，AB=4厘米，三角形的面积比三角形的面积多2平方厘米求DE的长

有两种糖果放成一堆，其中软糖占9/20，再放入16块硬糖以后，软糖只占两种糖总数的1/4那么这堆糖果中软糖有多少块？

抄一份资料，甲、乙单独抄各要10天完成，丙单独抄要天完成现在三人合抄，在抄的过程中，甲因事外出一天，丙因病休息天，结果用了多少天的时间抄完？

一个邮递员骑车送信去山上某气象预报小组驻地，上午10时半离开邮局，先走了段平路，然后上山在山上休息40分钟后，顺原路返回邮局，下午2点10分回到邮局已知他在平地每小时行12千米，上山每小时行10千米，下山每小时行15千米这个邮递员往返共走了多少千米？

1如果把数字7写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加原来的数是多少？

×2×3×4……×的积的末尾有多少个连续的“0”？

3如图11－3，是平行四边形，三角形是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，阴影部分面积比三角形的面积大12平方厘米求HC的长[提示：

由于平行四边形与直角三角形都包含有梯形这个公共部分，所以由“差不变”性质，可以把题中“阴影部分面积比三角形的面积大12平方厘米”转化为“平行四边形的面积比直角三角形的面积大12平方厘米”]

4．工厂有职工若干人，其中女职工比男职工多1/2，新招聘35名男职工后，女职工就占男职工的4/5，现在男职工比女职工多几人？

]

数学思考方法12——抓不变量

今年小明8岁，小强14岁几年后小明和小强岁数的和是40岁？

有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下相同的长度后，第二条剩下的是第一条的7/15，问剪下的一段有多长？

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王进和张明计算甲、乙两个自然数的积王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为两个数的积究竟是多少？

育红小学原有科技书、文艺书共本，其中科技书占20％，后来又买进一些科技书，这时科技书占现在两种书的30％，又买进的科技书有多少本？

分数11/86的分子和分母同时加一个相同的数，分数值变成2/7，求加上的是多少？

有两桶油，每一桶油重是第二桶的5/8，从第一桶内取出26千克放入第二桶，这时第一桶的油重正好是第二桶的3/10，两桶油原来各重多少千克？

1今年小花13岁，妈妈39岁哪一年妈妈的岁数是小花的3倍？

2某班学生54人，女生占全放人数的4/9，后来又转来若干名女生，这时女生占全班人数的3/5问后来转来

多少名女生？

数学思考方法13——找隐蔽条件

右图是用同样大小的长方形纸片摆成的已知图中的长方形纸片的宽是12厘米求阴影部分的面积

某人以年薪12卢布加一件长袍被雇在工作7个月后他就离去，并公平地得到5个卢布和一件长袍的工钱请问，长袍的价值是多少？

这是一道流传很广的俄罗斯古算题

六年级学生参加数学竞赛，1/2的人得分在80分以上，1/3的人得70多分，1/8的人得60多分，其余的人得分在60分以下只知道参加竞赛的人数不到30人，那么成绩在80分以上的有多少人？

一个最简分数，如果分子加上1，可约简为3/4，如果分子减去1，可约简为2/3求这个最简分数

一个家庭由丈夫、妻子、女儿和儿子组成，他们的年龄和是73岁丈夫比妻子大3岁，女儿比儿子大2岁4年前这个家庭成员的年龄和是58岁请问：

这个家庭成员现在的年龄各是多少岁？

这是前苏联著名教育心理学家克鲁捷茨基编拟的一道测试题

1一个等腰三角形的周长是24厘米，其中有一条边长是6厘米，求另外两条边的长

2有9个大小、形状都相同的长方形，用这9个长方形可以拼成一个大长方形这个大长方形的面积是45平方厘米求大长方形的周长

3如右下图，长方形的面积是小于的整数，它的内部有三个边长都是整数的正方形，正方形的边长是长方形长的5/12，正方形的边长是长方形宽的1/8，那么，图中阴影部分的面积是多少？

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数学思考方法14——整体看问题

有甲、乙、丙三种货物如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去元；如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去元现在买甲、乙、丙各1件，需要花多少钱？

问它们分别代表哪些数字？

“2×3×5×7×11×13×17”的各位数字之和是多少？

如图，正方形的面积是50平方厘米，三角形的两条直角边中，长边是短边的倍，求三角形的面积是多少平方厘米？

如图14-2，长方形的长是12厘米，宽是6厘米

把长三等分，宽二等分，并把长方形内任意一点与所有的等分点及四个顶点全部连接起来求阴影部分面积占空白部分面积的几分之几？

以三角形的三个顶点为圆心，画半径是1厘米的三个圆求阴影部分面积的和

一条马路长米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行老张每分钟走60米，老李每分钟走40米老张带着一条狗，狗每分钟跑米这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老

张跑，碰到老张又向老李跑，……直到老张与老李相遇问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米？

数学思考方法15——分情况讨论

两根同样长的铜管，第一根用去3/10米，第二根用去3/10，哪一根剩下的部分长些？

甲地到乙地的公路长千米，两辆汽车从两地同时出发对开，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米出发几小时后两车相距80千米？

在空地上将一堆方砖垒成长为40块砖，宽为20块砖，高为16块砖的长方体，然后给这个砖堆的表面涂上石灰如果这个砖堆有一面靠墙，那么没有被涂上石灰的砖共有多少块？

在连续的XX年中，最多可以有多少个闰年？

最少应该有多少个闰年？

把一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一个记号表示水深；再把这根竹竿掉过头来插入水中，也刻上一个记号表示水深已知两个记号相距10厘米，是水深的十分之一求竹竿的长

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数学思考方法16——逐步调整

把0～9这十个数字分别填入方框内，使式子成立□＋□=□＋□=□＋□<□＋□=□＋□

在下面的数字中间填上加号或减号，使计算的结果得，你能想出几种填法？

有十个人各拿着一只水桶到水龙头前打水，他们打水所花的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟……10分钟因为只有一个水龙头，所以他们得排队打水问：

怎样适当安排他们的打水顺序，才能使这个人排队等候和打水的时间总和最小？

有十个村，分别位于从县城出发的一条公路上现在要安装水管，从县城送自来水到各个村，可以用粗细两种水管粗管足够供给所有各村用水，细管只能供一个村用水粗管每千米元，细管每千米元把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程总费用，你认为最节省的方案，要多少元费用？

1有一个六位数，能被11整除，首位数字是7，其余各位数字各不相同这个六位数最小是多少？

2在一条公路上每隔千米有一个仓库，共有五个仓库一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的现在想把所有货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要元运输费，那么最少要多少运费才行？

数学思考方法17——合理变形

先试试，+×怎么简算？

77×36+×3+×

已知12+22+32+……+92+=求1×2+2×3+3×4+……+10×11

把自然数1，2，3，4，……依次写下来，一直写到，在这些写下来的数字中一共有多少个零？

一个长方体的表面积是平方厘米，底面积是60平方厘米，底面周长是32厘米求长方体的体积

求图17-1中阴影部分的面积

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1计算19++++

6求阴影部分的面积

中间？

数学思考方法18——借来还去

试一试+++18得多少？

这道计算时，只用20秒钟就报出了得数是她为什么算得这么快呢？

某汽水厂规定：

用3个空汽水瓶可换一瓶汽水，某人买了10瓶汽水，问他总共可喝到几瓶汽水？

我国民间流传着这样一个故事，一位老人临终时决定把家里的17头牛全部分给三个儿子其中大儿子分得二分之一，二儿子分得三分之一，小儿子分得九分之一，但不能把牛杀掉或卖掉三个儿子按照老人的要求怎么也不好分后来一位邻居用“借来还去”法顺利地把17头牛分完了他的方法是什么呢？

2卖冷饮的小店规定：

5个空汽水瓶可换1瓶汽水某班同学喝了瓶汽水，其中有一些是用喝剩的空瓶换来的那么，他们至少要买多少瓶汽水？

数学思考方法19——用字母表示数

方方、圆圆、丁丁、宁宁四个小朋友共有45本书，但是不知道每人各有几本书如果变动一下：

方方的减少2本，圆圆的增加2本，丁丁的增加一倍，宁宁的减少一半，那么四个小朋友的书就一样多问：

每个小朋友原来各有几本书？

有鸡和兔共35只，它们的脚共有只这35只鸡和兔中，鸡有几只，免有几只？

有时，把未知数用字母代替，这些字母只参加列式，不需要求出它的值，起辅助作用有一辆汽车沿山路行驶，上山平均每小时行10千米，下山时沿原路返回，每小时行15千米求这辆汽车上、下山往返一趟的平均速度

一个直角梯形的中位线EF长15厘米，G是EF上的一点

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米？

有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排出问要想在小时内把池内的水全部排光需同时打开几根出水管？

如图19-2，一个人要从A到B，他可按①号箭头所表示的路线走，也可以按②号箭头所表示的路线走按哪条路线走近些？

为什么？

1幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个如果全部分给大班小朋友，那么平均每人可分10个问：

如果全部分给小班小朋友，平均每人可分几个？

2黄、刘、洪、赵四位师傅加工同一种零件，在谈到完成任务的情况时，统计员说：

①赵比洪加工的多；

②黄、刘二位师傅加工的零件合在一起，与赵、洪二位师傅加工的零件合在一起，恰好一样多；③刘、洪二位师傅加工的零件合在一起，比黄、赵二位师傅加工的零件合在一起多些问：

哪位师傅加工的零件数最多？

谁第二？

谁第三？

3沿着铁路线，有两个人相向而走，两人速度相等一列火车开来，整个列车从第一个人身边开过用了8秒钟5分钟后，火车又与第二个人迎面相遇，整个火车从第二个人身边开过用了7秒钟问火车开过第二个人后多少分钟两人相遇？

数学思考方法20——把求知量具体化

幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个如果全部分给大班小朋友，那么平均每人可分10个问：

如果全部分给小班的小朋友，平均每人可分几个？

一场足球赛的门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了1/5，每张门票降价多少元？

有两包糖，每包糖中都有奶糖、水果糖和巧克力糖

第一包中奶糖占25％，第二包中水果糖占50％；

巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍，当两包糖合在一起时，巧克力糖占28％

求两包糖合在一起时，水果糖占百分之几？

1．一次数学考试，全班有1/4的人不及格，已知全班平均分是70分，及格同学平均分为80分求不及格的同学的平均分是多少？

2一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做15天完成，两队合做，几天可以完成？

3有一个密封的长方体水箱，从里面量得宽3分米，高5分米，箱内水的高度是4分米如果将水箱向后推倒，以它的后面为底面，这时箱内水的高度是多少分米？