电磁场与电磁波第二章课后答案.docx
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电磁场与电磁波第二章课后答案
第二章静电场
重点和难点
电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。
利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。
通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。
至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。
讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。
介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。
关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。
介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。
至于电容和部分电容一节可以从简。
重要公式
真空中静电场方程：
EdS
q
积分形式：
Edl0
S
l
0
微分形式：
E
E0
0
已知电荷分布求解电场强度：
1，E（r）
（r）；
1
（r
）
（r）
dV
40
V|r
r
|
（r
）（r
r
）
2，E（r）
dV
V40
|r
r
|3
3，EdS
q
高斯定律
S
0
1
介质中静电场方程：
积分形式：
DdSqEdl0
Sl
微分形式：
DE0
线性均匀各向同性介质中静电场方程：
积分形式：
EdS
q
Edl0
S
l
微分形式：
EE0
静电场边界条件：
1，E1tE2t。
对于两种各向同性的线性介质，则
D1tD2t
12
2，D2nD1ns。
在两种介质形成的边界上，则
D1nD2n
对于两种各向同性的线性介质，则
1E1n2E2n
3，介质与导体的边界条件：
enE0；enD
S
若导体周围是各向同性的线性介质，则
EnS；S
n
静电场的能量：
2
1Q
2
1
孤立带电体的能量：
We
Q
2C2
离散带电体的能量：
We
n
1
iQi
i1
2
分布电荷的能量：
We
1
1
SdS
1
V2
dV
ldl
S2
l2
1
静电场的能量密度：
weDE
2
1
2
对于各向同性的线性介质，则
we
E
2
电场力：
库仑定律：
F
qq
2er
r
4
常电荷系统：
F
dWe
q常数
dl
dWe
常电位系统：
F常数
dl
题解
2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q点电荷q位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求
及4q，当
q的大小
及位置。
解要使系统处于平衡状态，点电荷q受到点电荷q1及q2的力应该大
小相等，方向相反，即Fq1qFq2q。
那么，由
q1q
q2q
r2
2r1，同时考虑到r1r2
d，求得
2
2
40r1
40r2
r1
1
r2
2
d,
d
3
3
可见点电荷q可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电
3
荷q1
1
相距
d
。
3
2-2已知真空中有三个点电荷，其
z
电量及位置分别为：
q1
q11C,P1（0,0,1）
q2
q3
P
q2
1C,P2（1,0,1）
E3
o
q3
4C,P3（0,1,0）
E1
试求位于P（0,
1,0）点的电场强度。
x
E2
解
令r1,r2,r3分别为三个电电荷
习题图2-2
的位置P1,P2,P3到P点的距离，则r1
2，r2
3，r32。
利用点电荷的场强公式E
q
er，其中
er为点电荷q指向场
4
0r2
点P的单位矢量。
那么，
q1在P
点的场强大小为E1
q1
1
，方向为
4
2
8
0r1
0
1
er1
ey
ez
。
2
q2在P
点的场强大小为E2
q2
1
，方向为
4
2
12
0r2
0
er2
1
ey
ez
ex
。
3
q3在P点的场强大小为E3
q3
1
，方向为er3
ey
4
2
40
0r3
则P点的合成电场强度为
E
E1
E2
E3
1
1
ex
1
1
1
1
1
ez
12
8
2
12
3
ey
8
2
12
0
3
4
3
2-3直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。
解令点电荷q位于坐标原点，r为点电荷q至场点P的距离。
再令
点电荷q位于+z坐标轴上，r1为点电荷q至场点P的距离。
两个点
4
电荷相距为l，场点P的坐标为（r,
）。
根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为
E
q
r
r1
0r
3
3
4
r1
考虑到r>>l，er
=er，r1
r
lcos
，那么上式变为
1
q
2
r
2
q
（r1r）（r1
r）
r1
er
E
2
2
4
2
2
er
4
0r
r1
0
r
r1
1
式中
1
2
2
r1
r
l2rlcos
1
2
1l
1
rr
1
2
2
l2
2cos
r
以l
l
2
l
2
为变量，并将1
2
2
cos
在零点作泰勒展开。
由于
r
r
r
lr，略去高阶项后，得
1
1
1
l
1
l
r1
r
cos
r
cos
r
r2
利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为
q
1
l
1
qlcos
qlsin
E
r
2cos
r
3er
3eθ
40
r
20r
40r
2-4已知真空中两个点电荷的电量均为2106C，相距为2cm，如习
题图2-4所示。
试求：
①P点的电位；②将电量为2
106C的点电荷由
无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。
r
P
m
c
1
qq
1cm1cm
解根据叠加
合成电位为
原理，P点的
习题图2-4
q
6
2
2.510V
4
0r
因此，将电量为2106C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力
5
必须做的功为Wq5J
2-5通过电位计算有限长线电荷的电场强度。
解建立圆柱坐标系。
令先电
荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，
场强与无关。
为了简单起见，令场点
位于yz平面。
设线电荷的长度为L，密度为
l，线电荷的中点位于坐标原
点，场点P的坐标为r,,z。
2
z
2
z
r
P
dl
r0
l
dl
o
y
y
1
利用电位叠加原理，求得场点
P的电位为
l
L
dl习题图2-5
2
40
L
r0
2
式中r0
2
2
zlr
。
故
L
l
zl
z
2
2
2
4
ln
l
r
L
0
2
L
2
z
z
L
r
2
2
2
l
ln
4
2
0
L
L
2
z
z
r
2
2
因E
，可知电场强度的z分量为
L
L
2
z
2
z
r
Ez
l
2
2
ln
2
z
4
0
z
L
L
2
z
z
r
2
2
6
l
1
1
4
0
L
2
L
2
2
2
z
2
r
z
r
2
l
1
1
4
0r
2
2
zL2
zL2
1
1
r
r
l
r
r
40r
r2
2
r2
2
zL2
zL2
l
sin2sin1
40r
电场强度的r分量为
2
Er
r
4
z
L
z
L
2
2
2
r
l
ln
2
40r
L
L
r2
z
z
2
2
l
r
0
2
2
2
2
zL2
r
zL2
zL2
r
r
2
r
2
2
2
zL2
zL2
zL2
r
l
1
40
r
2
L2
2
zL2
z
zL2
1
r
1
r
r
7
1
zL2
2
2
zL2
zL2
1
r
1
r
r
l
1
40r
1
1
1
1
1
2
1tan1
2
tan
tan
1
1
1
1
1
1
1
2
tan2
2
tan
tan
2
2
l
1cos2
1cos1
40r
l
cos1
cos
40r
2
式中1
arctan
r
arctan
r
2
，那么，合成电强为
z
L
L
2
z
2
E
l
sin
sin
1ez
cos2cos1er
4
0r
2
当L
时，
1
0,
2
，则合成电场强度为
E
l
er
2
0r
可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6
已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度
l
0sin,0
，试求圆心处的电场强度。
8
y
解建立直角坐标，xy平面，且以y轴为
图2-6所示。
那么，
dl
o
a
x令线电荷位于
E
对称，如习题
习题图2-6
点电荷ldl
在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。
由于电荷分布以y轴
为对称，因此，仅需考虑电场强度的Ey分量，即
dE
l
dl
2sin
dEy
0a
4
考虑到dlad,l0
sin，代入上式求得合成电场强度为
Eey
0
2
0ey
04
sind
0a
80a
2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为
l，试求
通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。
z
P
r
oy
a
dl
解建立直角坐
xy
位于坐标原点，
习题图2-7
2-7所示。
那么，
标，令圆环
如习题图
点电荷ldl
在z轴上P点产生的电位为
ldl
40r
根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为
1
2
l
l
a
la
z
a
dl
2
dl
40
0
r
40r0
20a2
z2
9
因电场强度E
，则圆环线电荷在P点产生的电场强度为
E
z
l
az
ez
ez
2
32
z
2
20a
z
2-8设宽度为W，面密度为
S的带状电荷位于真空中，
试求空间任一点的电场强度。
z
x
dx
w
2
o
w
2
w
2
yy
x
dxr
w
2P（x,y）
x
解
建
立直角
（a）
（b）
坐标，
且令带
习题图2-8
状电荷
位于xz平面内，如习题图2-8所示。
带状电荷可划分为很多条宽度为dx
的无限长线电荷，其线密度为
sdx。
那么，该无限长线电荷产生的电
场强度与坐标变量z无关，即
dE
sdx
er
2
0r
式中
r
x
x
2
y2
er
x
x
ey
y
1
exxx
eyy
ex
r
r
r
得
dE
sdx
exxx
eyy
2
2
2
x
x
0
y
w
dx
那么
E
2
s
2exx
xeyy
w
2
x
x
2
2
0
y
10
2
w
2
w
w
x
y
x
x
ex
s
2
ey
s
2
arctan
2
ln
2
arctan
y
y
4
0
w
2
2
0
x
y
2
2-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度
为S，位于z=0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度E。
z
P（0,0,z）
o
r
dr
解如图2-9所
上取一半径为x
dr的圆环，该圆
习题图2-9
y
示，在圆盘
r，宽度为环具有的电
荷量为dq2rdrs。
由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产
生的电场强度仅的rP产生的电场强度的
有z分量。
根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在z分量为
zr
sdr
dEz
2
32
2
20r
z
那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为
s
a
zrdr
s
E
ez
ez
0z2
r2
32
20
20
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