一元一次方程应用题分类全集.docx
《一元一次方程应用题分类全集.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元一次方程应用题分类全集.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
一元一次方程应用题分类全集
七年级一元一次方程应用题分类汇集
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
审—审题：
认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．设—设出未知数：
根据提问，巧设未知数．
列—列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出
（1）
（2）
（3）
方程．
解——解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．
答—检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答
（4）
（5）案．（注意带上单位）
二、具体分类
（一）行程问题——画图分析法（线段图）
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
1.行程问题中的三个基本量及其关系：
路程=速度X时间时间=路程*速度速度=路程*时间
2.
行程问题基本类型
逆水（风）速度=静水（风）速度—水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）-2
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：
顺水路程=逆水路程．
常见的还有：
相背而行；行船问题；环形跑道问题；隧道问题；时钟问题等。
常用的等量关系：
1、甲、乙二人相向相遇问题
⑴甲走的路程+乙走的路程=总路程⑵二人所用的时间相等或有提前量
2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题
⑴甲走的路程一乙走的路程=提前量⑵二人所用的时间相等或有提前量
3、单人往返
⑴各段路程和=总路程
4、行船问题与飞机飞行问题
⑵逆水速度=静水速度-水流速度
⑴顺水速度=静水速度+水流速度
5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
6、时钟问题：
⑴将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：
①时针的速度是0.5°/分②分针的速度是6°/分③秒针的速度是6°/秒
例题分析：
例1:
甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出,
每小时行140公里。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
解：
1、设快车开出x小时后相遇，依题意得
480=90（1+x）+140X解得x=39/23小时
2、设x小时后两车相距600km依题意得
600-480=90X+140X解得x=12/23小时
3、设x小时后两车相距600km依题意得
600-480=140X-90X解得x=2.4小时
4、设x小时后快车追上慢车，依题意得
480=（140-90）x解得x=9.6小时
5、设x小时后快车追上慢车，依题意得
480+90*1=（140-90）x解得x=11.4小时
例2:
人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
解：
y
15
温馨提醒：
当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。
例4:
甲、乙两人同时同地同向而行，甲的速度是4千米/小时，乙的速度比甲慢，半小时后，甲调
头往回走，再走10分钟与乙相遇，求乙的速度。
解：
半小时=1/2小时，10分钟=1/6小时。
设乙的速度是每小时x千米,依题意得
11
—（4X）—（4X）解得x=2
62
答：
乙的速度是每小时2千米。
例5：
甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。
求两人的速度。
解：
设乙的速度是X千米/时，则
3X+3（2X+2）=25.5X2二x=52x+2=12
答：
甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。
&一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
汽车速度是60千米
/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。
出发地到目的地的距离是60千米。
问：
步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）
老师提醒：
此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈即步行者行的总路程+汽车行的总路程=60X2
解：
设步行者在出发后经过X小时与回头接他们的汽车相遇，则
5X+60（X—1）=60X2
7、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家
里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
（提示：
此
题为典型的追击问题）解：
设爸爸用X小时追上我们，则6x=2x+2X1
解得X=0.50.5小时V1小时45分钟答：
能追上。
8、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午
出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距的路程。
解：
设A、
8时同时
36千米，求AB两地间
方法一:
B两地间的路程是X千米，则
X36X36
24
X+36=36X2X2
解，得X=108
答：
A、
B两地间的路程是108千
方法二：
米。
9、甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，从同一起点同时出发，甲的速度是
米/秒。
（1）如果背向而行，两人多久第一次相遇？
（2）如果同向而行，两人多久第一次相遇?
解：
（1）背向而行，设为X秒，两人合计跑400米，依题意得
5X+3X=400解得X=50秒
（2）同向设为丫秒，甲必须比乙多跑一圈才能相遇，依题意得
5Y-3Y=400解得丫=200秒
答：
如果背向而行，两人50秒第一次相遇。
如果同向而行，两人200秒第一次相遇。
10、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时骑自行车的人的速度是每小时10.8km。
如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是通过骑自行车的人的时间是26秒。
⑴行人的速度为每秒多少米？
5米/秒，乙的速度是3
3.6km，22秒,⑵这列火车的车长是多少米？
老师提醒：
将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。
等量关系：
①两种情形下火车的速度相等②两种情形下火车的车长相等
在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。
10.8km/时=10800米-3600秒=3米/秒
x米/秒，贝U26X（X—3）=22X（X—1）解得x=4
x米，贝yX221X263
2226
解：
⑴行人的速度是：
3.6km/时=3600米一3600秒=1米/秒
骑自行车的人的速度是：
⑵方法一：
设火车的速度是
方法二：
设火车的车长是
11、一列客车长200m一列货车长280m在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：
2,问两车每秒各行驶多少米？
解：
设客车每秒行驶3x米，则货车每秒行驶2x米，依题意得
3xX16+2xX16=200+280解得x=6
客车的速度为3x6=18货车的速度为2x6=12
答：
客车和货车每秒分别行驶18米、12米。
600米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火
12、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过
车完全通过隧道所需时间是【】
（C）40秒（D）30秒
600米的隧道再加上150米的车长时
（A）60秒（B）50秒
老师提醒：
将车尾看作一个行者，当车尾通过
所用的时间，就是所求的完全通过的时间，哈哈！
你明白吗？
解：
时间=（600+150）-15=50（秒）选B。
13、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？
火车的长度是多少？
若不能，请说明理由。
老师解析：
只要将车尾看作一个行人去分析即可，
前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。
此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。
解：
方法一：
设这列火车的长度是x米，根据题意，得
300x—x=300答：
这列火车长300米。
2010
方法二：
设这列火车的速度是x米/秒，
根据题意，得20x—300=10xx=3010x=300答：
这列火车长300米。
14、甲、乙两人相距5千米，分别以2千米/时的速度相向而行，同时一只小狗以12千米/时的速度从甲处奔向乙，遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙……直到甲、乙相遇，求小狗所走的路
程。
注：
此为二题合一的题目，即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。
只是他们的开始与结束时间是一样的，
以此为联系，使本题顿生情趣，为诸多中小学资料所采纳。
解：
设甲、乙两人相遇用x时，则2x+2x=5x512x12-15（千米）
44
答：
小狗所走的路程是15千米。
15、在8点和9点间，何时时钟分针和时针重合？
何时时钟分针和时针成直角？
何时时钟分针和时针成平角？
解：
设X分钟后重合
开始时相距240°（从12到8）分针每分钟走6°,时针每分钟走0.5°（360/60；30/60）
6X=0.5X+240解得X=480/11时重合即8点43又7/11
同理：
平角：
6X+180=0.5X+240解得X=120/118点10又10/11分
直角：
6X+90=0.5X+240解得X=300/118点27又3/11分。
或6X-90=0.5X+240解得X=60（不合舍去）
16、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
老师解析：
6：
00时分针指向12,时针指向6,此时二针相差180°，
在6：
00〜7：
00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5X。
分针走了6x°以下按追击问题可列出方程，不难求解。
解：
设经过x分钟二针重合，则6x=180+0.5x解得x360
11
17、在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：
⑴重合；⑵
1—x
12
答：
在3时16春分时两针重合。
答：
在3时32—分时两针成直角。
11
行船问题
流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。
流水问题有如下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速（V顺=V静+V水）
逆水速度=船速-水速（V顺=V静-V水）
例18：
一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需
要3小时，求两码头的之间的距离？
解：
设船的速度为x千米/每时，依题意得
2（x+3）=3（x-3）解得x=15
码头之间的距离为2x（15+3）=36（千米）
答：
两码头的之间的距离是36千米。
例19、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。
解：
设无风时的速度为x千米/小时，依题意得
50
（2—）（x24）3（x24）解得x=840
60
3（x-24）=3x（840-24）=2448
答：
飞机速度是每小时840千米，距离是2448千米
20、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
解：
设A与B的距离是x千米，（请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程）
1当C在A、B之间时，一x—一40一20解得x=120
7.52.57.52.5
②当C在BA的延长线上时，一X一XX4020解得X=56
7.52.57.52.5
答：
A与B的距离是120千米或56千米。
巩固练习：
练习1:
甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙
早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。
练习4:
一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：
2，问两车每秒各行驶多少米?
练习5:
与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时
3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。
如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是
22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。
⑴行人的速度为每秒多少米？
⑵这列火车的车长是多少米?
练习6:
休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼
品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
练习7:
一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
汽车速度
是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。
出发地到目的地的距离是60千米。
问:
步行者在出发后经过多少时间与
回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）
练习&某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地,
但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4
分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
练习9:
甲、乙两人相距5千米，分别以2千米/时的速度相向而行，同时一只小狗以12千米/
时的速度从甲处奔向乙，遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙……直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程。
练习10:
—列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。
隧道的顶上有一盏灯，垂直
向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？
火车的长度是多
少？
若不能，请说明理由。
练习11:
列车在中途受阻，耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提高到每小时50千米，问这样走多少千米，就可以将耽误的时间补上?
练习12：
两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两
车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。
⑴两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少?
⑵如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒?
练习13：
甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。
求两人的速度。
练习14:
一辆汽车上午10：
00从安阳出发匀速行驶，途经曲沟、水冶、铜冶三地，时间如下表,
地名
安阳
曲沟
铜冶
时间
10：
00
10：
15
11：
00
水冶在曲沟和铜冶两地之间，距曲沟10千米，距铜冶20千米，安阳到水冶的路程有多少千米?
练习15:
甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8
时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地
间的路程。
（两种方法）
练习16:
一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆
风飞行需要3小时，求两城市间的距离。
练习17:
小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6
小时，求该河的水流速度。
练习18:
某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中
的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求
A与B的距离。
练习
19:
在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
练习
20：
在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：
⑴重合；⑵成平角；⑶成直角;
练习
21：
某钟表每小时比标准时间慢3分钟。
若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟
表指示时间为12时50分时，准确时间是多少?
（二）工程问题：
（1）、工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量=工作效率X工作时间工作总量二人均工作效率X工作时间X人数
1。
（2）、经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位
即完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
工程问题常用等量关系：
先做的+后做的=完成量.
例题分析
剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
设乙还要X天才能完成全部工程，依题意得
（丄丄）31解得X=6.6答：
乙还要6.6天才能完成全部工程1512
例1:
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，解：
X
12例2:
某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。
如先由甲队做4天,然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？
解：
设再做X天可完成工程的5/6,可得：
115
（-丄）X5解得x=4答：
再做4天后可完成工程的六分之五。
16126
4
16
例题3：
甲、乙两个工程队合做一项工程，乙队单独做一天后，由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的2,问甲、乙两队单独做，各需多少天？
3
巧解：
设乙队每天完成的工作量为X，那么甲队每天完成的工作量为3X,由题意得：
2
3
X+2（工H>—7）=12解得x=1/6答：
甲队单独做需9天，乙队单独做需6天。
例4：
已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池注满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；如果同时打开进水管和出水管，求几小时后可以把空池注满？
解：
设如果同时打开进水管和出水管，X小时后可以把空池注满，依题意得
11
（—-—）X1
1524
解得x=40
答：
如果同时打开进水管和出水管，40小时后可以把空池注满。
例5：
一水池有一个进水管,4小时可以注满空池，池底有一个出水管,6小时可以放完满池的水.如果
两水管同时打开，那么经过几小时可把空水池灌满？
解：
令水箱为1,进水管每小时注水1，出水管每小时放水-，
46
设两水管同时打开，经过x小时可把空水池灌满则由题意得
（1—1）x=1,解得x=12答：
经过12小时可把空水池灌满。
46
例6:
一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h注满水池，乙单独开8h注满,丙单独开24h可排
掉满池的水，如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？
111（———）X1X=6
12824
答：
如果三管同开，6小时后刚好把水池注满水。
例7:
整理一批图书，由一个人做要40小时完成。
现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。
解法一：
设原先安排X人，依题意得，
4X+（x+2）x8=40解得x=2答：
原来有2个人
解法二：
设先安排x人由题目,有1/40*4x+1/40（x+2）*8=1解得x=2答：
应先安排2人例&一项工程300人共做,需要40天,如果要求提前10天完成，问需要增多少人？
1
解：
由已知每人每天完成一'—，设需要增x人，
40300
则列出方程为一1—x300301解得x=100答：
需要增100人
40300
例9:
某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？
原计划几天完成？
设甲做X个/天，依题意得
30
1.5——，解得X=4.原计划就是30/4=7.5天。
x1
甲工人每天能做4个零件？
原计划7.5天完成。
巩固练习:
练习1:
甲、乙两个工程队合做一项工程，乙队单独做一天后，由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的，问甲、乙两队单独做，各需多少天？
练习2:
一项工程300人共做,需要40天,如果要求提前10天完成，问需要增多少人？
练习3:
甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？
练习4：
某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．?
已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利
1440元，?
求这一天有几个工人加工甲种零件．
（三）和差倍分问题
（1）倍数关系：
通过关键词语“是几倍，体现。
（2）多少关系：
通过关键词语“多、少、
例题分析
增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来
和、差、不足、剩余”来体现。
例1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，
这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
解：
设原有X升，依题意得
1-25%）X-40%（75%X）+1=25%x+40（%75%X）解得X=10答：
油箱里原有汽油10公斤。
巩固练习：
练习1：
某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
练习2：
某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？
原计划几天完成？
（四）比例分配问题
比例分配问题的一般思路为：
设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：
各部
升级会员 