（本题满分8分）已知线性方程组
X|+%2+^3+斗+^5=43片+2x,+兀3+耳一3^5=0,
X,+2“+2・口+6%5=h,5x,+4-x^+3^3+3只4--Vj=2.
念b为何值时,方程组有解？
方程组有解时，求岀方程组的导出组的一个基础解系;方程组有解时，求出方程组的全部解.
（本题满分5分）
已知对于《阶方阵A,存在自然数匕使得A'=0,试证明矩阵E-A可逆,并写出英逆矩阵的表达式（£为”阶单位阵）.
八、（本题满分6分）
设4是《阶矩阵，入和是A的两个不同的特征值，XpX,是分别属于右和的特征向量•试证明X,+不是A的特征向量.
九.（本题满分4分）
从0丄2■…,9十个数字中任意选出三个不同数字，试求下列事件的概率:
人=｛三个数字中不含0和5｝：
4=｛三个数字中不含0或5｝.
十、（本题满分5分）
一电子仪器由两个部件构成，以X和y分别表示两个部件的寿命（单位:
千小时），已知
X和y的联合分布函数为：
1-严-严+严g・），若X>0,y>0,
0,其他•
（1）问X和y是否独立？
（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率a.
十一.（本题满分7分）
某地抽样调査结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
［附表］
00.5L0L52.02.53.0
e（x）
0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999
表中e（x）是标准正态分布函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一.填空题（本題满分15分,每小题3分•）
（1）【答案】2
【解析】对原式进行分子有理化，分子分碌同乘以有理化因予£+3肩+&-長.
\—Jn+3眉-Jn-亦、_1・_（Jfi+3乔-Jn-麻）•（+3乔+J"_亦）lim（）=lim
n—*00
n—
n+3yfn-«+yfn
=lim[厂,
2*J”+3&+y]n-yfn
再分子分碌同时除以JF,有
原式=lim
OTW
//4
丙为Hm£=O,苴中d为常数，所以原式=二！
-=2・
*Jn1+1
（2）【答案】b+a
【解析】由于F⑴在“0处连续■故A=F（O巴时（X）.
limF（x）为“2”型的极限未定式，又/（X）在点0处导数存在，所以D0
A=lim心）+'皿兀=恤广（对+"曲=方+。
DYI
【柑关知识点】函数y=/（%）在点x。
连续：
设函数y=f（x）在点旺的某一邻域内有定义,
如果Hm/（x）=/（兀）.则称函数/（X）在点如连续.
【解析】由于方程组有解^r（A）=r（A）,对A作初等行变换,第一行乘以（-1）加到第四行上，有
'1
I
0
0
一®
'1
1
0
0
一®
0
I
1
0
“2
0
1
I
0
—>
0
0
1
1
一碼
0
0
I
1
一①
1
0
0
1
5・
_0
-1
0
1
«|+«4_
第二行加到第四行上，再第三行乘以（-1）加到第四行上，有
"1
I
0
0
-4
"110
0
0
I
1
0
11
0
0
0
1
I
一①
I
1
一如
_0
0
1
1吗
+4+5
0
+偽+4+4
—>
为使尸（A）=r（A）,常数勺.（//"仆①应满足条件：
q+«2+“3+“4=0.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判宦定理：
设A是X«矩阵，线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A=（A:
h）的秩，即是r（A）=r（A）（或者说，b町由A的列向虽同,勺,…,a”线表出,亦等同于是等价向量组）.
设A是WX«矩阵，线性方程组Ax=h,则
⑸【答案】-
3
【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型，设试验的成功率即射手的命中率为则进行80
四次独立的射击，设事件y为“射手命中目标的次数服从参数/i=4,p=—的二项分
81
布，由二项分布的概率公式，事件“四次均不中”的概率为（l-p）\它是至少命中一次的对立事件•依题意
480I2
（1—n）=1=>1—n=-=>n=—
8133
本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数，P表
示一次射击的命中率，则X~B（4.P）,依题意
p{X=Q}=\-XP{X=k}=-,
17
即（1_“）"=—=>p=—・
813
【柑关知识点】二项分布的概率公式:
若则p{Y=£}=c：
”（i-p）"r£=o丄…”
2.选择题（本题满分15分,每小题3分•）
⑴【答案】（B）
Umx・tanxyg=+>o,故/（x）无界.
x->—
或考察/（x）在耳=2血+兰（“=12…）的函数值，有lim/（旺）=1曲兀涪=乜，可见
°4«-*»''
/•（X）是无界函数•应选（B〉・
以下证明貝他结论均不正确.
14丿
由/=>0J-->0,而/（0）=0,知（D）不正确.
证明（C）不正确可用反证法.
设岸=,于是£（x）的定义域为D={xIxH+=0,±1,±2,・-•,
且gO的全部零点为x°=m,”=0,±1,±2,・'若/（x）=xg（x）以T（T>Q）为周期，则
（x+T）g{x+T）=xg（x）.\fx^D.
令x=0.有心（T）=0,即g（T）=O・从而T=S其中R为某一正数•于是2R兀也是xg{x）的周期•代入即得，对VasD有
（x+2£;r）g（x+2A7r）=（;v+2A7r）g（x）=蚣（力）・
这表明"龙g（x）三0在x€D±成立，于是g（x）三0在xeD上成立，导致了矛盾.故f（x）=xs{x）不可能是周期函数.
【相关知识点】极限的四则运算法则：
若Umf（x）=A,Iimg（x）=B，贝i]有limf（x）-g（x）=AB.
⑵【答案】（D）
【解析】通过变量代换t=x+[或按泄义由关系式f（\+x）=af（x）将/G）在X=1的可
导性与/（%）X=0的可导性联系起来•
令f=x+l,则=由复合函数可导性及求导法则，知/（f）在f=l可导■且
广（f）|冋=吋g1）（/-=0（0）=ab,
因此，应选（D）.
【柑关知识点】复合函数求导法则：
如果H=g（x）在点X可导，而y=/（X）在点“=&（力可导■则复合函数y=f[g（JC）]^点X可导，且其导数为
知或另畔弓
⑶【答案】（0
【解析】本题考査线性无关的概念与理论，以及充分必要性条件的概念.
⑷（B）（D）均是必要条件，并非充分条件•也就是说，向疑组eOp…,q线性无关，可以
推导出（A）（B）（D）选项，但是不能由⑷⑻（D）选项中的任意一个推导出向量组少心2•…4,
线性无关.
例如：
（h0）9（0J）・（lJ）显然有（t0）+（0,l）-（lJ）=（0,0）,该向量组线性相关•但（A）（B）（D）均成立.
根据勺线性相关的充分必要条件是存在某a（=12…“）可以由a厂…Q-dz，…,a$线性表出•”或由…Gs线性无关的充分必要条件是任意—个%0=12…⑶均不能由a厂…0“匕+・・・,勺线性表出•”故选（C）.
⑷【答案】A
【解析】由于BuA，所以A+B=A，于是有P（A+3）=P（A）・故本题选A.
对于B选项，因为BuA,所以事件S发生,则事件A必然发生，所以P{AB）=P{B）.
而不是P{AB）=P（A）,故B错.
对于C选项，因为BuA,由条件概率公式P（B|A）=¥^,当RA是相互独立的事
件时,才会有P（B|A）=P（5）：
所以C错.
对于D选项，因为3uA，所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件，故
P（B-A）=O,所以（D）错.
⑸【答案】（0
【解析】由离散型随机变量概率的定义，有
P{X=Y}=P{X=-UY=-\}+P{X=UY=i}
=P{x=_i}・p{y=-i}+p{x=i}・P{y=i}
=—x—+—x—=—
22222
故本题选（C）•而（B）、（D）选项是错误的.
对于（A）选项，题目中只说了随机变量X和y相互独立，且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件，并不能说事件X与事件y是同一事件•故（A）错.
三、计算题（本题满分20分,每小题5分•）
⑴【解析】在x€ke-]±,厂（x）=—故函数/（X）在2”]上单
虻一2兀+1（X-I）'
调增加，最大值为/（，）•
由（17）2一（1-X）-有
+——+ln（/_l）-2-nn（e-l）-l
e—\L」
=丄+心
e
【柑关知识点】1•对积分上限的函数的求导公式:
若F（f）=J：
：
/（xWa（f）,戸（0均一阶可导，则
⑶【解析】因系数绻==（”=12…），故tr
这样，幕级数的收敛半径/?
=-=!
.因此当-lvx-3vl,,即2VXV4时级数绝对收敛.P
当x=2时，得交错级数：
当X=4lf4＞得正项级数工一，二者都收敛，于是原级
数的收敛域为[Z4]・
【柑关知识点】1•求收敛半径的方法：
如果p=lim
相邻两项的系数，则这幕级数的收敛半径
2.交错级数的莱布尼茨判别法：
设交错级数为（-1）”"叫满足:
⑴/C>"卄]/=12…；
（2）liniH=0.
fl+I'
则工（-1广％收敛，且其和满足0<工（-1严叫<5余项k|<叫”人・|
*1
3・p级数:
工〒当p>l时收敛，当p/I-IH
（4）【解析】方法1：
所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.
-Itosxrfty=eJ
方法2:
用函数JP（M-同乘方程两端，构造成全微分方程.
方程两端同乘严”，得严V+wgcosx=（y严y=>（）严“yint再积分一次得
y严"=C+JlnAzZv=C+xlnx-x.
报后，再用e"”*同乘上式两端即得通解y=c-"""[xlnx-_v+C].
【柑关知识点】一阶线性非齐次方程y+P（x）y=Q（x）的通解为
4.（本题满分9分）
【解析】
（1）利润为销售收入减去成本，所以利润函数为
牙=15+14X|+——2X|"—1Ox；—（片+兀，）
=15+13xj+31AS—8X|X->—2xj"—1Ox；.
由多元函数极值点的必要条件，有
a兀
»=*|-8x.+13=0,dV["
X|=0.75,x-,=L25.
=一8比一20屁+31=0,
丙驻点惟一，且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用L25万
元可获最大利润・
（2）若广告费用为1.5万元，则应当求利润函数（与
（1）中解析式相同）
;r=I5+13x,+31%2-8%,%2一2斤-iOx；,
在x,+x,=\3时的条件最大值•拉格朗日函数为
L{x^,x^,A）=15+13Xj+3Ix,-8x宀一2彳一lOx；+几3+%?
—1・5）,
=+13+1=0,
dr,"
A/
—=-8Xj-20%,+31+2=0,dx^■
dL
——=X|+-1.5=0
dX■
=>%,=0,=1.5.
丙驻点惟一，且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.
【柑关知识点】拉格朗日乘数法：
要找函数Z=/（X,y）在附加条件0（圮）・）=0下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数
厶（血y）=/（X,y）+A（p（x,y\
其中2为参数•求其对天与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与附加条件联立超来:
£（x,y）+/?
®（x」）=O.
/y（x,y）+/l0y（x,y）=O,
ygy）=0.
由这方程组解出矩y及入这样得到的（工y）就是函数/（x,y）在附加条件仇儿y）=0卜•的
可能极值点•
5.（本题满分6分）
【解析】方法1:
当4=0时，/（«+/?
）=f（h）=f（a）+/（/?
）,HP不等式成立:
f（a+h）-f（a）-f（b）+f（O）
=[f（a+h）-f（h）]-[f（a}-f（G）]
=/G）d-广©）24[广（知-广©儿
其中0<§<"f（a+h）-f（a）-f（b）+f（0）<0.即/（«+b）
方法2:
构造辅助函数，将式子移到不等式右边，再将b视为变量兀，得辅助函数令F（x）=f（x）+f（a）-f（a+x\xelO.b],由于/（0）=0,所以F（0）=0,又因为r（x）=f（x）-f（a+x）,且《>0,广（X）在（0"）单调减少，所以F\x）>0,于是F（x）在［0"］上单调递增，故F（b）>F（0）=0,即
f（a+b））,其中0【柑关知识点】拉格朗日中值定理:
如果函数/（x）满足在闭区间仪0］上连续：
在开区间（“/）内可导，那么在（"“）内至少有一点§（“<§
六、（本题满分8分）
【解析】本题中，方程组有解o『（A）=r（A）・（相关过理见第一题⑷）
第二行乘以］、
对增广矩阵作初等行变换，第一行乘以（一3）、（一5）分别加到第二、四行上，有
"1
1
1
1
1
a
1
1
1
1
a
3
2
1
I
-3
0
—>
0
-I
-2
-2
-6
—3a
0
1
2
2
6
b
0
1
2
2
6
h
_5
4
3
3
-1
2_
_0
-1
-2
-2
-6
2-5".
（一1）分別加到第三、四行上，第二行再自乘（一1）,有
"11111
a
1226
3a
h-3a
2-2匕
->
仃）当b-3“=0且2-2"=0,即《=1上=3时方程组有解.
⑵当a=th=3时，方程组的同解方程组是
X,+大2+大3+*4+大5=1，
Xj+2“+2些+6%5=3,
由n-r（A）=5-2=3.即解空间的维数为3•取自变量为兀3.・％心则导出组的基础解系为
7=（1.-2丄0,0f4=（1,-2.0丄0/\仏=（5・-6Q0・lf•
（3）令0,得方程组的特解为a={-2,3,0,0,0/•因此，方程组的所有解是a+kg+k曲+£*3，其中k\也卡3为任意常数.
【柑关知识点】若a「a?
是对应齐次线性方程组A工=0的基础解系，则Av=/?
的通解形式为匕巾+§•苴中⑺.弘是^.=0的基础解系，§是Ax=h的一个特解.
7.（本题满分5分）【解析】若A.B是川阶矩阵，且AB=E.则必有BA=E・F是按可逆的定义知at=B・
如果对特征值熟悉，由A*=0可知矩阵A的特征值全是0,从而E-A的特征值全是1,
也就能证明£-A町逆.
由于/C=0,故
（£；-人）（£+4+屮+…+aI）=F-?
C=£•
所以E-A可逆，且（£-4）7=£+人+屮+・・・+屮“・
A.（本题满分6分）
【解析】仮证法）若+是A的特征向量，它所对应的特征值为入则由世义有:
A（X|+?
^2）=几（X]+乂2）・
由已知又有A（X,+X^）=AX,+AX,=A,X,+Z,X^.
两式柑减得（几一人）A\+（/l—人）X2=0.
由人式入，知2-入以一人不全为0,于是线性柑关，这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾•所以，X,+X2不是A的特征向量•
【柑关知识点】矩阵特征值与特征向量的总义：
设A是”阶矩阵，若存在数兄及非零的“维列向量X使得AX=AX成立，则称A是矩阵A的特征值，称非零向量X是矩阵A的特征向量•九、（本题满分4分）
【解析】样本空间含样本点总数为G；；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.
有利于事件A的样本点数为C；：
十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案.
有利于事件4的样本点数为2C；-C；；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数，即是事件人被加了两次，所
由古典型概率公式■
p⑷号"沪苍J罟
【相关知识点】古典型概率公式：
P⑷=有利黑2X篇点数十.（本题满分5分）
【解析】
（1）由连续型随机变量边缘分布的;义,且lime-*"=0J«为常数）有
A—woe
1_严迁若x>0,
0,若XV0;
1-严化若yM
0,若^<0.
X和Y的边缘分布函数分別为
Fx（X）=F{x,+cc）=limF（x、y）=・
\>I00
Fy（y）=F（+oo,y）=limF（x,y）=・
■t>*00
由于对任意实数兀y都满足F（x.y）=F^（x）Fy（x）.因此X和y相互独立.
（2）因为X和y相互独立,所以有
a=p{X>0・l">0・l}=P{X>0・l}・P{y>0・l}
=[1-F,（0,1）][1-/>（0,1）]=严0,■严05=严」
卜一、（本题满分7分）
【解析】若已知正态分布的期望和方差，在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有
关槪率，通过e（x）表ii•算•但是正态分布的参数“与b，未知时，则应先根据题设条件求出
“与<7-的值，再去ii•算有关事件的概率.
设X为考生的外语成绩，依题意有X~N（“c2）,且“=72,但b，未知•所以可标准
y_79
化得d_t~N（0J）・由标准正态分布函数概率的讣算公式，有<7
（24}
=1-0.023=0.977.
査表可得兰=2c=12,即X~N（72J22）,<7
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
1.填空题（本题满分15分,每小题3分•）
（1）【答案】2
【解析】对原式进行分子有理化,分子分碌同乘以有理化因子Jn+3丽+&-麻.
再分子分碌同时除以有
原式=Um
OTW
//4
丙为lim孚=0,苴中d为常数，所以原式=二_=2・iy/fj1+1
⑵【答案】b+a
【解析】由于F（x）X=0处连续，故A=F（O）=limF（x）・
limF（x）为“2”型的极限未定式■又/（X）在点0处导数存在，所以D0
A=恤型土沁=恤广（对+处曲"+找
x-*orI
【柑关知识点】函数y=/（%）在点x。
连续：
设函数y=/（%）在点心的某一邻域内有定义,
【解析】由于方程组有解or（A）=NA）,对A作初等行变换,
如果lim/（X）=/（%,）.则称函数/（X）在点如连续.
第一行乘以（-1）加到第四行上，有
'1
I
0
0
如
'1
1
0
0
0
I
1
0
么2
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1
«|+«4_
第二行加到第四行上，再第三行乘以（-1）加到第四行上，
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