版步步高考前三个月复习数学理科鲁京津专用 专题1 第1练.docx

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版步步高考前三个月复习数学理科鲁京津专用专题1第1练

第1练　小集合，大功能

[题型分析·高考展望]　集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高.在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用.同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用.

常考题型精析

题型一　单独命题独立考查

常用的运算性质及重要结论：

（1）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；

（2）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；

（3）A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U；

（4）A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.

例1　

（1）（2015·山东）已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2

A.（1,3）B.（1,4）

C.（2,3）D.（2,4）

（2）（2014·湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（3）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.

点评　

（1）弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述.

（2）当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn图或列举实例.

变式训练1　

（1）（2015·浙江）已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q

等于（　　）

A.[0,1）B.（0,2]

C.（1,2）D.[1,2]

（2）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0≤ax＋1≤3}.若A∪B＝B，求实数a的取值范围.

题型二　集合与其他知识的综合考查

集合常与不等式、向量、解析几何等知识综合考查.

集合运算的常用方法：

（1）若已知集合是不等式的解集，用数轴求解；

（2）若已知集合是点集，用数形结合法求解；

（3）若已知集合是抽象集合，用Venn图求解.

例2　（2014·安徽）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足

＝

（a＋b）.曲线C＝{P|

＝acosθ＋bsinθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0

|≤R，r

A.1

C.r≤1

点评　以集合为载体的问题，一定要弄清集合中的元素是什么，范围如何.对于点集，一般利用数形结合，画出图形，更便于直观形象地展示集合之间的关系，使复杂问题简单化.

变式训练2　（2014·天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M＝{0,1,2，…，

q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}.

（1）当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；

（2）设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.证明：

若an

题型三　与集合有关的创新问题

与集合有关的创新题目，主要以新定义的形式呈现，考查对集合含义的深层次理解.在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等.

例3　（2015·湖北）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则AB中元素的个数为（　　）

A.77B.49

C.45D.30

点评　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.

变式训练3　在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0,1,2,3,4}.给出如下四个结论：

①2016∈[1]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”.

其中，正确结论的个数是（　　）

A.1B.2

C.3D.4

高考题型精练

1.（2015·天津）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩（∁UB）等于（　　）

A.{2,5}B.{3,6}

C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}

2.（2014·安徽）“x<0”是“ln（x＋1）<0”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2015·陕西）设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N等于（　　）

A.[0,1]B.（0,1]

C.[0,1）D.（－∞，1]

4.（2014·山东）设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B等于（　　）

A.[0,2]B.（1,3）

C.[1,3）D.（1,4）

5.设常数a∈R，集合A＝{x|（x－1）（x－a）≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为（　　）

A.（－∞，2）B.（－∞，2]

C.（2，＋∞）D.[2，＋∞）

6.设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A.1B.3

C.5D.9

7.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁IM）＝∅，则M∪N等于（　　）

A.MB.N

C.ID.∅

8.在R上定义运算⊗：

x⊗y＝

，若关于x的不等式（x－a）⊗（x＋1－a）>0的解集是集合

{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是（　　）

A.－2≤a≤2B.－1≤a≤1

C.－2≤a≤1D.1≤a≤2

9.已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（　　）

A.（0,1]B.[1，＋∞）

C.（0,1）D.（1，＋∞）

10.已知a，b均为实数，设集合A＝{x|a≤x≤a＋

}，B＝{x|b－

≤x≤b}，且A、B都是集合{x|0≤x≤1}的子集.如果把n－m叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是________.

11.对任意两个集合M、N，定义：

M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M*N＝（M－N）∪（N－M），设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M*N＝__________.

12.已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{y|y＝x2－2x＋a}，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}.命题p：

A∩B≠∅；命题q：

A⊆C.

（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围.

答案精析

知识·考点·题型篇

专题1　集合与常用逻辑用语

第1练　小集合，大功能

常考题型精析

例1　

（1）C　

（2）C　（3）4

解析　

（1）∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|（x－1）（x－3）}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，

∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝（2,3）.

（2）若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；

若A∩B＝∅，由Venn图（如图）可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.

故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件.

（3）由log2x≤2，得0

即A＝{x|0

由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

变式训练1　C[∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，

∴（∁RP）∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.}]

（2）解　∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

又∵B＝{x|0≤ax＋1≤3}＝{x|－1≤ax≤2}，

∵A∪B＝B，∴A⊆B.

①当a＝0时，B＝R，满足题意.

②当a>0时，B＝{x|－

≤x≤

}，

∵A⊆B，∴

≥2，解得0

③当a<0时，B＝{x|

≤x≤－

}，

∵A⊆B，∴－

≥2，解得－

≤a<0.

综上，实数a的取值范围为

.

例2　A[∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，又∵

＝

（a＋b），

∴|

|2＝2（a＋b）2＝2（a2＋b2＋2a·b）＝4，

∴点Q在以原点为圆心，半径为2的圆上.

又

＝acosθ＋bsinθ，

∴|

|2＝a2cos2θ＋b2sin2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.

∴曲线C为单位圆.

又∵Ω＝{P|0

|≤R，r

与

.故选A.]

变式训练2　

（1）解　当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1,2,3}，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.

（2）证明　由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及an

s－t＝（a1－b1）＋（a2－b2）q＋…＋（an－1－bn－1）qn－2＋（an－bn）qn－1

≤（q－1）＋（q－1）q＋…＋（q－1）qn－2－qn－1

＝

－qn－1＝－1<0.

所以s

例3　C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“

”，集合B表示如图所示的所有圆点“

”＋所有圆点“

”，集合AB显然是集合{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{（－3，－3），（－3,3），（3，－3），（3,3）}之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合AB表示如图所示的所有圆点“

”＋所有圆点“

”＋所有圆点“

”，共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.]

变式训练3　C[对于①：

2016＝5×403＋1，

∴2016∈[1]，故①正确；

对于②：

－3＝5×（－1）＋2，∴－3∈[2]，故②不正确；

对于③：

∵整数集Z被5除，所得余数共分为五类.

∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；

对于④：

若整数a，b属于同一类，则

a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，

∴a－b＝5n1＋k－（5n2＋k）＝5（n1－n2）＝5n，

∴a－b∈[0]，若a－b＝[0]，则a－b＝5n，即a＝b＋5n，故a与b被5除的余数为同一个数，∴a与b属于同一类，所以“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确，∴正确结论的个数是3.]

高考题型精练

1.A[题意知，∁UB＝{2,5,8}，则A∩（∁UB）＝{2,5}，选A.]

2.B[∵ln（x＋1）<0，∴0

∵x<0是－1

3.A[由题意得M＝{0,1}，N＝（0,1]，故M∪N＝[0,1]，故选A.]

4.C[由|x－1|<2，解得－1

5.B[方法一　代值法、排除法.

当a＝1时，A＝R，符合题意；

当a＝2时，因为B＝[1，＋∞），A＝（－∞，1]∪[2，＋∞）.

所以A∪B＝R，符合题意.

综上，选B.

方法二　因为B＝[a－1，＋∞），A∪B＝R，

所以A⊇（－∞，a－1），又（x－1）（x－a）≥0.

所以当a＝1时，x∈R，符合题意；

当a>1时，A＝（－∞，1]∪[a，＋∞），1≥a－1，解得1

当a<1时，A＝（－∞，a]∪[1，＋∞），a≥a－1，∴a<1.

综上，a≤2.]

6.C[x－y的取值分别为－2，－1,0,1,2.]

7.A[如图，因为N∩（∁IM）＝∅，所以N⊆M，

所以M∪N＝M.]

8.C[因为（x－a）⊗（x＋1－a）>0，所以

>0，即a

即－2≤a≤1.]

9.B[A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），

B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c），

因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.应选B.]

10.

解析∵

，∴0≤a≤

，∵

∴

≤b≤1，利用数轴分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为

－

＝

.

11.{y|y>3或－3≤y<0}解析∵M＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}＝

{y|－3≤y≤3}，∴M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}，∴M*N＝（M－N）∪（N－M）＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}.

12.解　

（1）A＝[1,2]，B＝[a－1，＋∞），

若p为假命题，则A∩B＝∅，

故a－1>2，即a>3.

（2）命题p为真，则a≤3.

命题q为真，即转化为当x∈[1,2]时，f（x）＝x2－ax－4≤0恒成立，

方法一　

解得a≥0.

方法二　当x∈[1,2]时，a≥x－

恒成立，

而x－

在[1,2]上单调递增，故a≥

max＝0.

故实数a的取值范围是[0,3].