第8章：广义函数和Dirac-Delta-函数.pptx

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第8章：

广义函数和DiracDelta函数11.广义函数的定义2.广义函数的运算法则3.广义函数的Fourier变换4.弱收敛和DiracDelta函数8.1广义函数的定义经典函数对每一个xE，有唯一确定的数f（x）R1与之对应，则称f是定义在E上的一个函数.R1E对应2经典函数数与数的对应关系！

经典函数的困难“点源”、“点电荷”、“质点”，以及“脉冲”经典函数无法描述！

例h0,ifth0,ift0/h,if0th1thh1/hO显然函数的积分为“1”并且与h无关3hh0dt1h1（t）dt但当h0,函数本身的变化h0,ifth0,ift0h0lim,ift0=（x）4显然，这样的极限无意义！

但是，函数的积分与h无关，而有意义！

物理上，可以认为h0的过程为：

信号宽度变窄，但能量保持不变。

因此，必须推广函数的定义，新的定义：

（1）反映通常的数量关系,能包含经典函数在内,且又能反映物理上“点源”分布问题;

（2）可求任意阶导数,对经典函数,新定义应与之一致;（3）推广的函数对求导、求积和求极限可任意交换运算.广义函数5基本函数（试验函数）空间D为所有在Rn中无穷可微且在不同有界域外恒等于零的函数组成的空间0D（Rn）C（Rn）D中函数序列n收敛于零定义为

（1）所有n在某同一有界域K外恒为零

（2）n及其各阶导数在K上一致收敛于零,记作n0（D）6D中函数例子x|x|a|x|a,expa220,b2（x,a,b）-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810.20.150.10.0500.30.250.350.4b=1,a=17b=1.1,a=18广义函数广义函数f定为D上的连续线性泛函f（）（f,）c（f,）,D连续线性泛函

（1）线性,对任意二个实或复数f（）f（）f（）,和D

（2）连续性,即当时,有n0f（n）0对D中每个元素,有确定的实或复数c（f,）与之相应.C9对应经典函数：

数数的关系广义函数：

函数数的关系严格地说,广函f不是x的函数,即对每一个x并不对应一个值,而是对每一个检验函数对应一个值！

正则广义函数一般的可积函数，可定义泛函为线性积分D（f,）f（x）（x）dx,奇异广义函数不能用可积函数来表示的广义函数例：

下列泛函定义一个广义函数（f,）（0）Dirac（x）泛函关系不能简单表示为线性积分关系10118.2广义函数的运算法则加法（fg,）（f,）（g,）,D乘法（f,）（f,）（f,）坐标扩展：

首先考虑是可积函数1|c|f（x）1f（x）,（x/c）1c（x/c）,c0f（x）（x/c）dx,c0f（cx）（x）dxcf（cx）,（x）不是一般可积函数时,直接定义是下列泛函|c|f（cx）,（x）1f（x）,（x/c）11|c|（0）（x）,（x）|c|c|c|12（cx）（x）;（x）（x）对（x）函数（cx）,（x）1（x）,（x/c）函数相乘:

考虑可积情形g（x）f（x）,（x）f（x）g（x）（x）dxf（x）,g（x）（x）当f（x）不是正则的广函时（gf,）（f,g）对（x）函数g（x）（xy）,（x）（xy）,g（x）（x）g（y）（y）g（y）（xy）,（x）g（x）（xy）g（y）（xy）x（x）0（x）013广义函数的相等：

如果对所有的基本函数，恒有f（）g（）,D则我们说广义函数f和g相等，写成fg.与经典函数相等的区别：

经典函数相等强调逐点相等，而广义函数相等强调的是对基本函数的整体作用。

广义函数的卷积：

对可积函数fgRnf（y）g（xy）dyRng（y）f（xy）dy14对基本函数D（Rn）nnRf（y）Rf（y）RnRng（x）（xy）dxdyg（xy）（x）dxdyfg,（x）RnRnf（y）g（xy）dy（x）dxf（x）,g（y）,（xy）对不是一般可积函数时,直接定义广义函数的卷积fg,（x）f（x）,g（y）,（xy）15对g（x）=（x）函数fg,（x）f（x）,（y）,（xy）f（x）,（x）ff（x）广函的合复函数:

设g（x）在x0为零,即g（x0）=000g（x）（xx）g（x）11nng（x）（xx）g（x）n1sin16（）（coscos）k（sinx）（xk）例：

广义函数的导数:

先考虑经典的连续可微函数,f（x）（x）dxdxdf（x）dxf（x）（x）dxdff（x）（x）dx（f,）推广到任意广函（f,）（f,）（Df,）

（1）|（f,D）例1：

在广函意义下,求Heaviside函数的导数17x01,x0H（x）0,1800（x）,（x）|（0）（x）dxH（x）,（x）H（x）（x）例2：

计算广函的导数（xa）（xa）,（x）（xa）,（x）（a）（k）（xa）,（x）

（1）k（k）（a）可见-函数的导数只能用泛函来表示,而H（x）的导数可用-函数写成显式.形式上,-函数的导数可表示成微分算子d（xa）（xa）ddxdx例3：

g（x）=（x）函数,卷积为fg,（x）f（x）,（y）,（xy）f（x）,（x）f（x）,（x）f*ff（x）（n）*ff（n）（x）例4：

对存在第一类间断点的函数f（x）,证明卷积为2191f（y）（yx）dyf（x0）f（x0）证明：

设f（x）在x0点存在第一类间断点f（x）x0x0f（x）hfc（x）令：

f（x）fc（x）hH（xx0）fc（x）是连续函数hf（x00）f（x00）20f（y）hH（yx）f（y）0c00fc（y）（yx0）dyhH（yx0）（yx0）dy（yx）dy（yx）dy首先看第二个积分12210202002H（yx）dH（yx）dydy1dH（yx）H（yx）H（yx0）（yx0）dy因此22210f（x0）h1f（x0）f（x0）c00f（y）（yx0）dy对连续点xx0，上式显然成立！

22同样可得dxc0limdf（x）limf（x）hH（xx）xx00xx00xx00limfc（x）f（x00）f（x00）（xx0）因此存在第一类间断点的函数f（x）的导数为000f（x）f（x）0）f（x0）dxdf（x）f（x右左（xx）ln（|x|）,x0例5：

求下列函数的导数lnxln|x|,x023因ln|x|,x0ln（ex0|x|）,x0ln|x|,lnxiln|x|）,x0i由000ff（x）（x）0）f（x0）dxdf（x）f（x右左（xx）得到dxdxdlnx1i（x）dxxdlnxlimdln（xi）lim10xi0又因此1lim1i（x）0xix例6:

证明r214（x）（y）（z）4（r）挖去原点这个奇点rx2y2z2证明：

在广函意义下drr20222dlim,11rrr由于是局部函数，存在a,当ra,=0,在半径为r=a和r=的球壳内应用Green公式24dSrrrrrdrr11212在r区域：

210r在r=a的球面上，=0。

因此只有r=球面上的贡献rrdSrrrrdr211在r=球面上25rrddrrrrrrr2dd2r1dS12ddO（）1dS1因此22,lim0r0rdddlimr1r4（0,0,0）4（,）故得到r26214（x）（y）（z）（r）8.3广义函数的Fourier变换首先考虑经典函数因为1

（2）n/2Fff（t）eirtdntn27n/2nn

（2）

（2）1n/2（Ff,）f（t）eirtdnt（r）dr1f（t）（r）eirtdrdt（f,F）于是，对一般的广函f,可以定义其Fourier变换为广函（Ff,）（f,F）28问题：

F不一定属于D!

因此F不一定都可作为D中的试验函数!

寻找新的函数空间，定义广义函数！

其Fourier变换仍属这个空间,这样就可以由上式定义广函的Fourier变换1、空间局域函数谱域扩散函数-1.5-1-0.50.511.500.20.40.80Frequency|h（f）|2PSD0.6Rect（t）t0t-t0000,|t|t1,|t|trect（t）002sint0tF（）t292、空间速降函数谱域速降函数-6-4-224680-80.10.20.30.40kh（k）a=1.0a=2a=5-2-1.5-1-0.50.511.5200.30.60.91.20xf（x）a=1.0a=2a=5e4a2a1k2F（k）f（x）eax2301、由速降函数组成的空间L（Rn）中的函数具有这样好的性质.显然D（Rn）是L（Rn）的一个子空间L（Rn）D（Rn）2、因为D中的元素总可视为速降函数.因此,我们定义广函f的Fourier变换为广函（Ff,）（f,F）,L（Rn）3、因速降函数的Fourier变换仍是速降函数,故仍是试验函数.上式右边确实能定义一个广函,这个广函即是f的Fourier变换.31例1：

求的Fourier变换.（xa）1（）eixd（xa）,1（）eiad1（eia,）222（F,）（xa）,Feia21F（xa）21F（x）-函数的谱为常数.脉冲含有丰富的频率成分。

3233例2：

求f（x）=1的Fourier变换.根据经典的Fourier变换理论,f（x）=1的Fourier变换不存在,但在广函意义下则存在.121edk2（x）ikxi0x（x）edx（x）dx证明:

由定义F

（1）,（1,F）（1,）其中ikx1（k）edk12）（x）F（）（k）F（即i0k（k）edk12（0）因此2（0）2（,）F

（1）,（1,F）（1,）于是ikx1edx122（x）F

（1）即34edxikx（x）F

（1）122对二维情况1

（2）ei（kxxkyy）dxdy2（r）（x）（y）对三维情况311

（2）

（2）ei（kxxkyykzz）dxdydz3（r）（x）（y）（z）eikrd3r350,x0例3求Heaviside函数的Fourier变换H（x）1,x0解：

注意到符号函数1,x01,x0sgn（x）,x00H（x）11sgn（x）2H（x）36sgn（x）FH（x）1F

（1）Fsgn（x）2F

（1）2（x）关键：

Fsgn（x）?

注意到积分关系1,x0sgn（x）d0,x01,x01sinx主值积分371,x01,x0sgn（x）d0,x02i21eix因此221iiFsgn（x）所以38ii（x）121i22（x）122122（x）FH（x）1F

（1）Fsgn（x）8.4弱收敛和DiracDelta函数k弱收敛给定D上的广函序列fk,当有lim（fk,）（f,）,D说广函序列fk弱收敛到f.如果收敛到-函数k39Dlim（fk,）（,）（0）,称序列弱收敛到-函数.例1：

函数序列显然有当故于是k|x|1/k0,|x|1/kf（x）k/2,f（x）kk（x）dx（x）（f,）k,（x）（0）klim（fk,）（0）limfk（x）40k2411limlimlim14att02atk0x2（x）2exp（x）11r2（）r1212rcos（）r2lim1sinkx（x）（x）x2xifkxilimfk如果fk弱收敛到f,则微分和极限运算能交换次序例：

分析Fourier级数20xkksinnxnsinnxnn1f（x）f（x）n1因此fkx42kcosnxn1周期为2的周期函数另一方面，直接求导所以nx2f1（x2n）n432n1cosnx1（x2n）DiracDelta函数（t）函数可看作满足运算法则的算符（t）f（t）dtf（0）严格地，上式定义是一个极限过程0hf（t）hhhhf（0）dtlimlimh0h0h0f（h）（t）f（t）dt（t）f（t）dtlim事实上，有许多函数序列满足上列极限过程，因而可定义（t）。

其中f（t）是任意一个在t=0点连续的函数。

440,t0,（t）dt1或者（t）,t0且有：

（1）sinc函数序列tK（t）limsinKt-2-1.5-1-0.50.511.52-210-1324650t45sinKt/（pi*t）K=16K=8K=4

（2）函数序列aa0a2t2（t）lim-0.5-0.3-0.10.10.30.50102030405060t46a/（a2+t2）/pia=0.1a=0.04a=-0.02（3）函数序列t4a12expa02a（t）lim-1-0.6-0.20.20.610246810t47a=0.001a=0.0025a=0.005多维函数和其他形式的函数一、多维函数定义为三、柱坐标xy（x1,x2,.,xn）（x1）（x2）.（xn）二、平面极坐标r（x）（y）（r）（）01002rdrd1r（r）（）（x）（y）dxdy48（x）（y）（z）1（）（）（z）体积元d3rdxdydzrdrddzd3rdxdydzr2sindrddxyzo（x,y,z）r四、球坐标（x）（y）（z）49（r）（）（）1r2sin体积元例一、求f（t）=sin0t的Fourier变换解即001（0）（0）2iiti（）tei（0）tdte1214idtsinteF（）0500）（2iF（）1（例二、求F（）=sint0的逆Fourier变换解即000000dtd1dtddteeif（t）2id（tt）（tt）de）dsint（edisinti（tt）i（tt）itit051d（tt）（tt）dt00sintedf（t）it微分算符的形式！