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默认标题-2012年4月2日

一．填空题（共2小题，满分40分，每小题20分）

1．（20分）一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数．起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车．已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有　_________　辆汽车，这批旅客有　_________　人．

2．（20分）如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于　_________　．

二．解答题（共7小题，满分115分）

3．（10分）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？

有多少名旅客？

4．（10分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于　_________　．

5．（15分）（2002•咸宁）如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，

求证：

AD⊥EF．

6．（20分）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：

BC=BD+AD．

7．（20分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．

求证：

①△DEM≌△DFN；

②∠PAE=∠PBF．

8．（20分）如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：

当点D满足什么条件时，∠ADB=∠CDF，请说明理由．

9．（20分）四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，证明：

四边形ABCD为平行四边形．

答案与评分标准

一．填空题（共2小题，满分40分，每小题20分）

1．（20分）一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数．起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车．若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车．已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有　24　辆汽车，这批旅客有　529　人．

考点：

二元一次不定方程的应用。

专题：

应用题。

分析：

设原有k辆汽车，则开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n个人，显然k≥2，n≤32，然后得出旅客人数等于22k+1，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为n（k﹣1），继而可列出方程，然后讨论得出符合题意的解即可．

解答：

解：

设原有k辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n个人，显然k≥2，n≤32，

易知旅客人数等于22k+1，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为n（k﹣1），

由此列出方程22k+1=n（k﹣1），

∴

，

因为n为正整数，所以

必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和23两个，且k≥2，

∴k﹣1=1，或k﹣1=23，

如果k﹣1=1，则k=2，n=45，不满足n≤32的条件．

如果k﹣1=23，则k=24，n=23，符合题意．

所以旅客人数等于n（k﹣1）=23×23=529（人）．

故答案为：

24，529．

点评：

本题考查二元一次不定方程的应用，难度较大，需要较强的分析探讨能力，解答本题的关键是根据题意列出方程，利用实际情况讨论可能的取值．

2．（20分）如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于　5.5　．

考点：

全等三角形的判定与性质。

专题：

计算题。

分析：

可通过作辅助线，即延长FM到N，使MN=MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．

解答：

解：

如图，延长FM到N，使MN=MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，

∵M是BC中点，∴BM=CM，∠BMN=∠CMF，

∴△BMN≌△CMF，∴BN=CF，∠N=∠MFC，

又∵∠BAD=∠CAD，MF∥AD，

∴∠E=∠BAD=∠CAD=∠CMF=∠AFE=∠N，

∴AE=AF，BN=BE，

∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=BN+FC=2FC，

∴FC=

（AB+AC）=5.5．

故答案为5.5．

点评：

本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，能够熟练掌握．

二．解答题（共7小题，满分115分）

3．（10分）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？

有多少名旅客？

考点：

二元一次方程的应用。

专题：

应用题。

分析：

设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2，n≤32，依题意有22m+1=n（m﹣1）．

解答：

解：

设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2，n≤32，依题意有

22m+1=n（m﹣1）．

所以n=

=22+

因为n为自然数，所以23/m﹣1为整数，因此

m﹣1=1，或m﹣1=23，

即m=2或m=24．

当m=2时，n=45（不合题意，舍去）；当m=24时，n=23（符合题意）．

所以旅客人数为：

n（m﹣1）=23×（24﹣1）=529（人）．

答：

起初有汽车24辆，有乘客529人．

点评：

本题考查理解题意能力，并且注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨论．

4．（10分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于　75°或15°　．

考点：

等腰三角形的性质；三角形内角和定理。

分析：

等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．

解答：

解：

当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；

当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；

所以此三角形的底角等于75°或15°

点评：

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．

5．（15分）（2002•咸宁）如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，

求证：

AD⊥EF．

考点：

菱形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

要证AD⊥EF，可先证明AEDF为菱形．由题意可得四边形AEDF为平行四边形，又∵∠1=∠2，而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴▱AEDF为菱形．

解答：

证明：

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF为平行四边形．

又∵∠1=∠2，而∠2=∠3，

∴∠1=∠3，∴AE=DE．

∴▱AEDF为菱形．

∴AD⊥EF．

点评：

此题主要考查菱形的判定：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形，综合利用了角平分线的性质和菱形的性质．

6．（20分）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：

BC=BD+AD．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

由题作辅助线，由BD平分∠ABC，∠1=∠2进而得△ABD≌△EBD∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°又∠2=20∴∠F=80；因为∠4=∠3=40°，所以△DCE≌△DCF（AAS）所以DF=DE=AD，可得BC=BF=BD+DF=BD+AD．

解答：

证明：

如图，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF．

又∵∠1=∠2，BD是公共边，BE=BA，

∴△ABD≌△EBD

∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°

∵AB=AC，BD平分∠ABC

∴∠1=∠2=20°，∠3=40°

∵BC=BF，∠2=20°，

∴∠F=∠FCB=

（180°﹣∠2）=80°则∠F=∠DEC

∴∠4=80°﹣∠3=40°，

∴∠3=∠4，∠F=∠DEC，

又∵DC=DC，∴△DCE≌△DCF（AAS）

∴DF=DE=AD

∴BC=BF=BD+DF=BD+AD

点评：

这是一道一题多解的证明题，不仅考查了三角形的性质，也考查同学们的动手作图能力，应该掌握．

7．（20分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．

求证：

①△DEM≌△DFN；

②∠PAE=∠PBF．

考点：

全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

①要证△DEM≌△DFN，由D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，所以DM=

BP，DN=

AP，再有过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，

所以EM=

AP=DN，FN=

BP=DM．又DE=DF所以△DEM≌△DFN．

②由①得∠EMD=∠FND，由∠AMD=∠BND=∠APB所以∠AME=∠BNF，那么∠PAE=

（180°﹣∠AME），∠PBF=

（180°﹣∠BNF），即∠PAE=∠PBF．

解答：

证明：

①如图，在△ABP中，

∵D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，

∴DM=

BP，DN=

AP，

又∵PE⊥AE，BF⊥PF

∴EM=

AP=DN，FN=

BP=DM，

∵DE=DF

∴△DEM≌△DFN（SSS）；

②∵由①结论△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND，

∵DM∥BP，DN∥AP，

∴∠AMD=∠BND=∠APB，

∴∠AME=∠BNF

又∵PE⊥AE，BF⊥PF，

∴△AEP和△BFP都为直角三角形，

又M，N分别为斜边PA与PB的中点，

∴AM=EM=

AP，BN=NF=

BP，

∴∠MAE=∠MEA，∠NBF=∠NFB，

∴∠PAE=

（180°﹣∠AME），∠PBF=

（180°﹣∠BNF）．

即∠PAE=∠PBF，

点评：

此题考查了线段之间的关系，和全等三角形的判定和性质，同学们应该熟练掌握．

8．（20分）如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：

当点D满足什么条件时，∠ADB=∠CDF，请说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质。

专题：

推理填空题。

分析：

本题是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB=∠CDF，这一结论如何用？

因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高（中线）是等腰三角形中一条常用辅助线．

解答：

解：

当D为AC的中点时，∠ADB=∠CDF．理由：

过A作AG平分∠BAC，交BD于G，

∴∠GAB=∠CAG=∠C=45°，

∵AE⊥BD，

∴∠ABE+∠BAE=90°，

∵∠CAF+∠BAE=90°，

∴∠ABE=∠CAF，

∴△ABG≌△CAF（ASA），

∴AG=CF，

当AD=CD时，

△AGD≌△CFD（SAS），

∴∠ADB=∠CDF．

点评：

此题主要考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构成全等三角形是关键．

9．（20分）四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，证明：

四边形ABCD为平行四边形．

考点：

平行四边形的判定。

专题：

证明题。

分析：

熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．

解答：

证明：

延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．

∴∠M=∠N，MEP=∠NFP

∴∠AEP=∠PFC

∴AD∥BC，

可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC，

再证△PED≌△PFB．得PB=PD．

∴ABCD为平行四边形．

点评：

本题考查平行四边形的判定定理，本题关键是正确作出辅助线．

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