高一数学集合教学设计.docx

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高一数学集合教学设计

新修订高中阶段原创精品配套教材

集合

教材定制/提高课堂效率/内容可修改

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教师：

风老师

风顺第二中学

集合

教材说明：

本教学设计资料适用于高中高一数学科目，主要用途为训练学生的思维，帮助学生用数字去了解日常生活中的现象，分析和解决生产、生活中的实际问题，使得在能严谨地思考，并有更多良好的解决方法，进而促进全面发展和提高。

内容已根据教材主题进行配套式编写，可直接修改调整或者打印成为纸质版本进行教学使用。

　　一、知识结构

　　本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子.

　　二、重点难点分析

　　这一节的重点是集合的基本概念和表示方法,难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合.这一节的特点是概念多、符号多,正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为此,在教学时可以配备一些需要辨析概念、判定符号表示正误的题目,以帮助学生提高判定能力,加深理解集合的概念和表示方法.

　　1.关于牵头图和引言分析

　　章头图是一组跳伞队员编成的图案,引言给出了一个实际问题,其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题,必须用到集合和逻辑的知识,也就是把它数学化.一方面提高用数学的意识,一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础.

　　2.关于集合的概念分析

　　点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.

　　初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”;初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步熟悉.教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.”这句话,只是对集合概念的描述性说明.

　　我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念,从而阐明集合概念如同其他数学概念一样,不是人们凭空想象出来的,而是来自现实世界.

　　3.关于自然数集的分析

　　教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注重.

　　新的国家标准定义自然数集n含元素0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织（iso）制定的国际标准,以便早日与之接轨,另一方面,0还是十进位数{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算仍属于自然数,其中.因此要注重几下几点:

（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合,也就是说自然数集包含0;

（2）自然数集内排除0的集,表示成或,其他数集{如整数集z、有理数集q、实数集r}内排除0的集,也可类似表示,,;

　　（3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如,,…不再适用.

　　4.关于集合中的元素的三个特性分析

　　集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是:

北京、上海、天津、重庆。

　　集合中的元素常用小写的拉丁字母,…表示.假如a是集合a的元素,就说a属于集合a,记作;否则,就说a不属于a,记作

　　要正确熟悉集合中元素的特性:

　　（l）确定性:

和,二者必居其一.

　　集合中的元素必须是确定的.这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如,给出集合{地球上的四大洋},它的元素是:

太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他对象都不用于这个集合.假如说“由接近的数组成的集合”,这里“接近的数”是没有严格标准、比较模糊的概念,它不能构成集合.

（2）互异性:

若,,则

　　集合中的元素是互异的.这就是说,集合中的元素是不能重复的,集合中相同的元素只能算是一个.例如方程有两个重根,其解集只能记为{1},而不能记为{1,1}.

　　（3）无序性:

{a,b}和{b,a}表示同一个集合.

　　集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念,在平面直角坐标系中,点（

　　l,0）和点（0,l）表示不同的两个点,而集合{1,0}和{0,1}表示同一个集合.

　　5.要辩证理解集合和元素这两个概念

（1）集合和元素是两个不同的概念,符号和是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如的写法就是错误的,而的写法就是正确的.

（2）一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合,就是指所有不小于0的实数,而不是指“可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“是不小于0的任一实数值”……

　　（3）集合具有两方面的意义,即:

凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.

　　6.表示集合的方法所依据的国家标准

　　本小节列举法与描述法所使用的集合的记法,依据的是新国家标准如下的规定.

　　符号

　　应用

　　意义或读法

　　备注及示例

　　诸元素构成的集

　　也可用,这里的i表示指标集

　　使命题为真的a中诸元素之集

　　例:

假如从前后关系来看,集a已很明确,则可使用来表示,例如

　　此外,有时也可写成或

　　7.集合的表示方法分析

　　集合有三种表示方法:

列举法、描述法、图示法.它们各有优点.用什么方法来表示集合,要具体问题具体分析.

　　（l）有的集合可以分别用三种方法表示.例如“小于的自然数组成的集合”就可以表为:

　　①列举法:

;

　　②描述法:

;

　　③图示法:

如图1。

（2）有的集合不宜用列举法表示.例如“由小于的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示,因为不能将这个集合中的元素—一列举出来,但这个集合可以这样表示:

　　①描述法:

;

　　②图示法:

如图2.

　　（3）用描述法表示集合,要非凡注重这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.例如:

　　①集合中的元素是,它表示函数中自变量的取值范围,即;

　　②集合中的元素是,它表示函数值。

的取值范围,即;

　　③集合中的元素是点,它表示方程的解组成的集合,或者理解为表示曲线上的点组成的集合;

　　④集合中的元素只有一个,就是方程,它是用列举法表示的单元素集合.

　　实际上,这是四个完全不同的集合.

　　列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注重,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素—一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.

　　8.集合的分类

　　含有有限个元素的集合叫做有限集,如图1所示.

　　含有无限个元素的集合叫做无限集,如图2所示.

　　9.关于空集分析

　　不含任何元素的集合叫做空集,记作.空集是个非凡的集合,除了它本身的实际意义外,在研究集合、集合的运算时,必须予以单独考虑.

　　教学设计方案

　　集合

　　知识目标:

（1）使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法

（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

　　（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

　　能力目标:

（1）重视基础知识的教学、基本技能的练习和能力的培养;

（2）启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;

　　（3）通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力;

　　德育目标:

　　激发学生学习数学的爱好和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

　　教学重点:

集合的基本概念及表示方法

　　教学难点:

运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合

　　授课类型:

新授课

　　课时安排:

2课时

　　教具:

多媒体、实物投影仪

　　教学过程:

　　一、复习引入:

　　1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数与和数;

　　2.教材中的章头引言;

　　3.集合论的创始人——康托尔（德国数学家）;

　　4.“物以类聚”,“人以群分”;

　　5.教材中例子（p4）。

　　二、讲解新课:

　　阅读教材第一部分,问题如下:

（1）有那些概念?

是如何定义的?

（2）有那些符号?

是如何表示的?

　　（3）集合中元素的特性是什么?

（一）集合的有关概念（例子见书）:

　　1、集合的概念

（1）集合:

某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

（2）元素:

集合中每个对象叫做这个集合的元素。

　　2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）:

全体非负整数的集合。

记作n

（2）正整数集:

非负整数集内排除0的集。

记作n*或n

　　（3）整数集:

全体整数的集合。

记作z

　　（4）有理数集:

全体有理数的集合。

记作q

　　（5）实数集:

全体实数的集合。

记作r

　　注:

（1）自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0。

（2）非负整数集内排除0的集。

记作n*或n、q、z、r等其它数集内排除0的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成z*

　　3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于:

假如a是集合a的元素,就说a属于a,记作a∈a;

（2）不属于:

假如a不是集合a的元素,就说a不属于a,记作.

　　4、集合中元素的特性

（1）确定性:

　　按照明确的判定标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可。

（2）互异性:

　　集合中的元素没有重复。

　　（3）无序性:

　　集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

　　注:

　　1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

　　元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

　　2、“∈”的开口方向,不能把a∈a颠倒过来写。

　　练习题

　　1、教材p5练习

　　2、下列各组对象能确定一个集合吗?

（1）所有很大的实数。

（不确定）

（2）好心的人。

（不确定）

　　（3）1,2,2,3,4,5.（有重复）

　　阅读教材第二部分,问题如下:

　　1.集合的表示方法有几种?

分别是如何定义的?

　　2.有限集、无限集、空集的概念是什么?

试各举一例。

（二）集合的表示方法

　　1、列举法:

把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。

　　例如,由方程的所有解组成的集合,可以表示为{1,1}.

　　注:

（1）有些集合亦可如下表示:

　　从51到100的所有整数组成的集合:

{51,52,53,…,100}

　　所有正奇数组成的集合:

{1,3,5,7,…}

（2）a与{a}不同:

a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素。

　　描述法:

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

　　格式:

{x∈a|p（x）}

　　含义:

在集合a中满足条件p（x）的x的集合。

　　例如,不等式的解集可以表示为:

或

　　所有直角三角形的集合可以表示为:

　　注:

（1）在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分。

　　如:

{直角三角形};{大于104的实数}

（2）错误表示法:

{实数集};{全体实数}

　　3、文氏图:

用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

　　注:

何时用列举法?

何时用描述法?

（1）有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法。

　　如:

集合

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描述法。

　　如:

集合;集合{1000以内的质数}

　　注:

集合与集合是同一个集合吗?

　　答:

不是。

　　集合是点集,集合=是数集。

　　（三）有限集与无限集

　　1、有限集:

含有有限个元素的集合。

　　2、无限集:

含有无限个元素的集合。

　　3、空集:

不含任何元素的集合。

记作φ,如:

　　练习题:

　　1、p6练习

　　2、用描述法表示下列集合

　　①{1,4,7,10,13}

　　②{2,4,6,8,10}

　　3、用列举法表示下列集合

　　①{x∈n|x是15的约数}{1,3,5,15}

　　②{（x,y）|x∈{1,2},y∈{1,2}}{（1,1）,（1,2）,（2,1）（2,2）}

　　注:

防止把{（1,2）}写成{1,2}或{x=1,y=2}

　　③

　　④{1,1}

　　⑤{（0,8）（2,5）,（4,2）}

　　⑥

　　{（1,1）,（1,2）,（1,4）（2,1）,（2,2）,（2,4）,（4,1）,（4,2）,（4,4）}

　　三、小结:

　　本节课学习了以下内容:

　　1.集合的有关概念:

（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

　　2.集合的表示方法:

（列举法、描述法、文氏图共3种）

　　3.常用数集的定义及记法

　　四、课后作业:

教材p7习题1.1

　　五、板书设计:

　　课题

　　一、知识点

（一）

（二）

　　例题:

　　1.

　　2.

　　六、课后反思:

　　本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法,在熟悉集合时,应从两方面入手:

（1）元素是什么?

（2）确定集合的表示方法是什么?

表示集合时,与采用字母名称无关。

　　探究活动

　　题目数集a满足条件:

若,则（）

（1）若,试求出a中其他所有元素;

（2）自己设计一个数属于a,然后求出a中其他所有元素;

　　（3）从上面两小题的解答过程中,你能悟出什么道理?

并大胆证实你发现的这个“道理”.

　　参考答案

（1）其他所有元素为-1,.

（2）略

　　（3）a中只能有3个元素,它们分别是,,且三个数的乘积为-1.

FoonShion教育研究中心编制

PreparedbyfoonshionEducationResearchCenter