表格法解线性规划设计问题doc.docx
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表格法解线性规划设计问题doc
表格法解线性规划问题
【教学目标】
知识目标：
理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.
能力目标：
通过例子详细地介绍了表格法解线性规划问题的过程，
并引入了线性规划标准型的概念，归纳总结了表格法
解线性规划问题的步骤.
【教学重点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.
【教学难点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.
【教学设计】
1、表格法也称单纯形法，是解线性规划问题的常用方法，使用该
方法时，首先要将一般的线性规划问题化为标准型.在教材中给出了
化标准型的方法.讲解时一定要注意b≥0以及变量的非负性.
2、表格法解线性规划问题的过程，教材中归纳为五个步骤，这实
际上是一个算法，可以利用前面介绍过的算法知识来学习.
3、初始表格中初始解组的确定是关键，一般可取松弛变量，但当
标准型中没有这样的变量满足初始解组的要求时，通常要通过添加
人工变量来解决，本教材没有就这方面的问题进行深入讨论（一般
的运筹学教材中都可找到该内容）.
4、表格在转换时（通常称为转轴），教材中提到用加减消元法来转
轴.教师可就这部分内容作适当的讲解.
5、由于通常的表格转换要进行多次，而表头部分是不变的，因此
可以将多张表格合并起来，具体样式可参见5.5节表5-16.
1
【教学过程】
5.3.1线性规划问题的标准形式
求线性规划问题的图解法虽然直观简便，但对多于两个变量的情
况就不能适用了，对于多于两个决策变量的线性规划问题，可以用什
么方法呢？
下面介绍一种用表格的方法来求解线性规划问题的解.
表格法是根据单纯形法而专门设计的一种计算表格.
单纯形法（SimpleMethod）是求解线性规划问题的主要方法，该
法由丹赛（Dantzig）于1947年提出，后经过多次改进而成，是求解
线性规划问题的实用算法.由上节的叙述可知，如果线性规划问题的
最优解存在，则必定可以在其可行解集合的顶点（极点）中找到．因
此，寻求一个最优解就是在其可行域的各个极点中搜索最优点.单纯
形法实质上是一个迭代过程，该迭代即是从可行域的一个极点移到另
一个近邻的极点，直到判定某一极点为最优解为止.
为使用表格法，首先介绍线性规划问题的标准形式.
一般的线性规划问题中目标函数可能是求最大（或最小）值，而线
性约束条件中可能是线性方程，也可能是线性不等式，约束条件中约
束方程（或不等式）的个数也未必就比决策变量的个数少，这些问题
对于线性规划的求解，带来极大的不便，为此，引入下述标准形式：
求目标函数最大值
maxZc1x1c2x2c3x3...
cnx
n
（用和式表示为
n
max）
Zcx
jj
j1
2
a
11
x
1
a
12
x
2
...
a
1n
x
n
b
1
ax
211
a
22
x
2
...
a
2n
x
n
b
2
满足............
ax
m11
a
m
2
x
2
...
a
mn
x
n
b
m
x
1
0,
x
2
0,...,
x
n
0
n
用和式表示为满足
j1
a
ij
x
i
b
i
（i1,2,3,,m）
x
j
0,（j1,2,3,,n）
其中，a,b,c（i1,2,3,,m;j1,2,,n）
各都是确定的常数，
ijij
xj是决策变量，Z是目标函数，
（j1,2,,n）
a叫做技术系数，
ij
b≥0
i
（i1,2,m）叫做资源系数，
c叫做目标函数系数.
j
特点：
1、目标函数为极大化；
2、除决策变量的非负约束外，所有的约束条件都是等式，且右端
常数均为非负；
3、所有决策变量均非负．
如果根据实际问题建立起来的线性规划模型不是标准型的，可以
用下述方法将它化为标准型.
（1）若目标函数是
min
Zcxcxcx...
112233
c
nx
n
可令zz',将目标函数转化为max（...）
Zcxcxcxcnx
'
112233n
（2）若约束条件不等式中是“≤”,可在不等式左边加上非负变量，
将不等式转化为方程.如
6xx≤180可转化为6x2180,其
121xx
223
中x3≥0.这里的x3叫做松弛变量.表示没有用完的资源.
（3）若约束条件不等式是“≥”，可在不等式左边减去非负变量，将
3
不等式转化为等式方程，如
2xx≥10可转化为2210
12x1xx，
224
其中，x4≥0.这里的x4叫做多余变量，表示不存在的资源.
一般地，松弛变量和多余变量的目标函数系数为0.
（4）若有一个变量
x没有非负约束（叫做自由变量），可令
k
x，
kxx
ls
其中
x≥0，
l
x≥0.
s
知识巩固
例1将5.1节问题1中的线性规划问题化为标准型
6x
1
2
x
2
180
约束条件
4x
1
3x
1
10x
2
5x
2
400
210
x
1
0,
x
2
0
求目标函数最大值
maxZ31x122x
2
解分别对前三个约束条件引入松弛变量
x，得标准型：
3,x,xx，得标准型：
45
6x
1
2x
2
x
3
180
约束条件
4x
1
3x
1
10x
2
5x
2
x
4
x
5
400
210
x0,j1,2,3,5.
j
求目标函数最大值
maxZ31x122x
2
5.3.2表格法
下面我们通过实例来介绍表格法.
首先要列出初始表格．为了得到初始表格，我们分几步来说明：
先把标准型中的约束条件方程转换成表格（表5.4）的形式．
如:
5.1问题1转化的结果为：
4
6x
1
2x
2
x
3
0x
4
0x
5
180
4x
1
3x
1
10x
2
5x
2
0x
3
0x
3
x
4
0x
4
0x
5
x
5
400
210
列成表格为：
x0,j1,2,,5.
j
表5.4
xx2x3x4x5bi
1
62100180
410010400
35001210
（表格中的列数为变量个数加1，行数为方程个数加1）
从约束方程中，很容易得到，当x10，x20时，x3180，x4400，
x210，显然这是一组可行解（我们把它叫作初始解组），将其中三
5
个取非0值的变量
x3,x,x列成一列对应地加在上表的最左侧，然后
45
再在所得表的左侧添加一列对应于该初始解组变量的目标函数系数，
在表的上侧添加一行对应于各变量的目标函数系数，得如下表：
5
其中在初始解组中的变量必须满足在对应行的约束条件方程中系
数为1，而同列其他系数为0，（如果约束条件方程中不满足这要求，
可以通过对线性约束条件方程作加减消元法而得到.）
再在上表的基础上，增加1行（叫做检验数行j）和1列（叫做比值
列i）得下面形式：
按下面的计算公式在表中依次填上检验数行
j和比值列i,其中
m
检验数计算公式jcca,例如j31，即为x1所在列的目标函
jiij
i1
数系数行中的c1值减去该列系数与第一列初始解组的目标函数系数
的对应乘积和，131（060403）31.
选取检验数最大的正数所在列（记作k列，表中用[]表示）然后
计算比值
i．
b
比值的计算公式,0,
i
ia
ik
a
ik
，例如
180
1.
6
选取最小的i值，记所在行为i行（表中用[]表示），如下表（i1）
6
最后填上目标函数Z值一格，其中目标函数Z为第一列
C与b所
B
在列对应乘积和．
得下表：
表5.7
可行解比值
c3122000
j
CB
Xx1x2x3x4x5bii
B
0
x（6）2100180[30]
3
0
x410010400100
4
0
x3500121070
5
j[31]220000
检验数目标函数Z
这样我们得到了初始表格（表5.7）
显然，前面的初始解组并不能产生最优目标函数值，因此，必须
要对初始解组中的变量进行替换，以求更好的解.通常，我们按下述
方法进行变量的替换：
根据上面所选的第k列第i行（如上表中x3所在行和x1所在列，我
们将两者的交叉点用（）表示），对初始解组作调整，将变量xk换入，
替代第i行中的初始变量（即表中换入x1，换出x3），根据表格法的要
求，必须同时将换入变量xk在（）中的系数通过加减消元法化为1，
且同列其他系数为0，而初始解组中其他未换出变量所在列的系数不
变，通常可用加减消元法来求得．
7
下面我们具体来说明表格的转换．
框中行除以6得行；行减×4得行；行减
×3得行（表5.8转换到表5.9）．
表5.8
c3122000
j
CBXB
xx2x3x4x5bii
1
0
x（6）2100180
3
0
x410010400
4
0
x35001210
5
表5.9
c3122000
j
CB
Xx1x2x3x4x5bii
B
31
x1
1
1
3
1
6
0030
0
x0
4
26
3
210280/>
3
0
x0（4）
5
1
2
01120
再依次填上检验数行j和比值列i，得下表（表5.10）．
8
表5.10
c3322000
j
CB
Xx1x2x3x4x5bii
B
31
x1
1
1
3
1
6
003090
0
x0
4
26
3
2
3
10280
420
13
0
x0（4）
5
1
2
01120[30]
j0[
35]
3
31
6
00930
如果检验数全为非正数，那么，所得解就是最优解．否则，继续
按前方法修改可行解，直至不能继续为止．显然，上表中x2换入，变
量x5换出．转下表（表5.11）．
表5.11
c3122000
j
CB
Xx1x2x3x4x5bii
B
31
x10
1
5
24
0
1
12
20
0
x00
4
5
12
1
13
6
20
22x201
10
8
130
4
j00
89
24
0
35
12
1280
j≦0，故当前可行解x120，x230，x30，因为所有的检验数
x0，x50为最优解，删去松弛变量，即得原线性规划最优解为
4
x20，x230，
1
最优值为Z=1280．
9
通过上面的例子，可以归纳一般的表格法的计算步骤如下：
第一步：
建立初始表格．
第二步：
检查：
若所有的j≤0，则当前可行解即为最优解；否则转
入（3）．
第三步：
检查：
若存在k>0,且aik≤0，（i=1,2,,,m），则无最优解；否
则转入（4）．
第四步：
选取检验数行中最大的正数所在的列，（记作k列，表中
b
用[]表示）然后计算比值i，比值的计算公式θi,ik0．
ia
a
ik
选取最小的i值，记所在行为i行（表中用[]表示），确定xk，
将xk换入，将松弛变量xh换出，用加减消元法化xk的系数aik为1，
且同列其他系数为0．以xk取代xh得新表，转入
（2）.
巩固知识典型例题
例2用表格法解5.1节中的例1：
某工厂用钢与橡胶生产3种产品A、
B、C,有关资料如表5.3所示.已知每天可获得100单位的钢和120单
位的橡胶，问每天应按排生产A、B、C三种产品各多少，能使总利
润最大？
试写出问题的线性约束条件和目标函数.
表5.3
产品单位产品钢消耗量单位产品橡胶消耗量单位产品利润
A2340
B3345
C1224
10
2x
1
3x
2
x100
3
则可得约束条件
3x
1
3x
2
2x
3
120
x
1
0,
x
2
0,
x
3
0
目标函数为maxZ40x145x224x3
解引入松弛变量
x，得标准型：
4,xx，得标准型：
5
maxZ40x145x24x
23
2x
1
3x
2
x
3
x
4
100
满足
3x
1
3x
2
2x
3
x
5
120
x0,j1,2,3,5
j
列初始表格（表5.12）．
表5.12
c40452400
j
CXBx1x2x3x4x5bii
B
0
x2（3）110100[
4
100]
3
0
x3320112040
5
j40[45]24000
因为
σ为最大正数，转下表（表5.13）．
2
表5.13
c40452400
j
CXBx1x2x3x4x5bii
B
45
x
2
2
3
1
1
3
1
3
0
10050
3
0
x
（1）011120[20]
5
j[10]09-1501500
将x1换入，x5换出，得表5.14．
11
表5.14
c40452400
j
CXBx1x2x3x4x5bii
B
45
x01
2
1
3
1
2
3
20
40
x1011120
1
j0015-101700
因为所有的检验数j≦0，故当前可行解x20,x20,0
x，123
x，x50为最优解，删去松弛变量，即得原线性规划最优解为
04
x,x20,0
20x，123
目标函数最优值为Z170.0
12
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