第四节 生产作业计划编制中数学方法的运用.docx
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第四节生产作业计划编制中数学方法的运用
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第四节生产作业计划编制中数学方法的运用
一、约翰逊-贝尔曼法则：
在编制生产作业计划时，计划人员应该合理规定各种产品在设备上的加工次序，使总的加工经历时间为最短。
约翰逊-贝尔曼法则就是一种在两台不同机床加工几种不同工件时寻找最优加工顺序的方法。
例：
有A、B、C、D四种零件，都需先后经车床和铣床加工，其零件加工工序时间定额如下
零件
工序
A
B
C
D
车床加工（小时）
30
16
12
24
铣床加工（小时）
8
20
10
14
求最优加工顺序使总的加工经历时间为最短。
如果不进行加工顺序的合理安排，若只按A-B-C-D的顺序进行加工，则全部加工完四种零件需96小时见下图1：
如果运用约翰逊-贝尔曼法则，合理安排零件加工顺序，我们就可以求出最短的加工时间，具体程序如下：
（1）从四种零件加工工序时间定额中，找出最小值，其最小值为8。
（2）选出具有最小值的零件为A零件，它属于后道工序应最后安排，如属于前到工序，则应最先安排加工。
（3）把已经安排的A零件剔除，再从剩下的几种零件中找出最小值，是10，属于C的后道工序，应在A零件之前加工，依次类推，最终可找出全部零件的最优加工顺序即B-D–C-A，T=90，按这种加工顺序加工，四种零件全部加工工序时间为最短T=90。
练习题：
有A、B、C、D、E五种零件，都需先后经车床和铣床加工，其零件加工工序时间定额如下单位：
小时
零件
工序
A
B
C
D
E
车床加工（小时）
6
8
12
3
7
铣床加工（小时）
11
8
5
3
4
求最优加工顺序使总的加工经历时间为最短。
答案：
D、A、B、C、E或A、B、C、E、D。
T=40
约翰逊-贝尔曼法则可被推广使用：
用于计算三台不同机床加工几种不同工件时寻找最优加工顺序。
此时应用此法则必须具备下列条件其一就可：
（1）第一台机床最小的加工工序时间不小于第二台机床的最大加工工序时间；
（2）第三台机床最小的加工工序时间不小于第二台机床的最大加工工序时间；当三台机床加工几种不同工件时，只要符合上述两个条件中的一个，可以把三台机床的问题简化成两台机床的问题，再运用约翰逊-贝尔曼法则寻求最优加工顺序。
具体程序如下：
（1）将第一台机床和第二台机床的各个加工零件的工序时间定额依次相加，车床+铣床。
（虚拟第四个机床）
（2）将第二台机床和第三台机床的各个加工零件的工序时间定额依次相加，铣床+磨床。
（虚拟第五个机床）
（3）将问题看作第四个机床和第五个机床加工零件。
（4）运用约翰逊-贝尔曼法则寻求最优加工顺序。
例题：
有A、B、C、D、E五种零件，都需先后经车床、铣床和磨床加工，其零件加工工序时间定额如下（单位：
小时）
零件
工序
A
B
C
D
E
车床加工
12
17
20
11
22
铣床加工
7
9
10
10
8
磨床加工
11
7
4
5
13
求最优加工顺序使总的加工经历时间为最短。
解：
判断条件：
T1min>T2max（满足其一即可）
第一步：
T（车床+铣床）=T（虚拟第四机床）
T（铣床+磨床）=T（虚拟第五机床）
零件
工序
A
B
C
D
E
第四机床加工（小时）
19
26
30
21
30
第五机床加工（小时）
18
16
14
15
21
运用约翰逊-贝尔曼法则：
最优加工顺序是E、A、B、D、C。
练习题：
有A、B、C、D、E、F六种零件，都需先后经车床、铣床和磨床加工，其零件加工工序时间定额如下单位：
小时
零件
工序
A
B
C
D
E
F
车床加工
11
4
8
9
6
5
铣床加工
7
8
6
6
5
8
磨床加工
11
14
9
16
21
15
求最优加工顺序使总的加工经历时间为最短。
解：
判断条件：
T3min>T2max（满足其一即可）
第一步：
T（车床+铣床）=T（虚拟第四机床）
T（铣床+磨床）=T（虚拟第五机床）
零件
工序
A
B
C
D
E
F
第四机床加工（小时）
18
12
14
15
11
13
第五机床加工（小时）
18
22
15
22
26
23
运用约翰逊-贝尔曼法则最优加工顺序是E、B、F、C、D、A。
T=97
图：
作业题：
1.有A、B、C、D、E、F、G、H、I、J十种零件，都需先后经车床和铣床加工，其零件加工工序时间定额如下单位：
小时
零件
工序
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
车床加工（小时）
14
19
24
22
6
40
20
4
1
25
铣床加工（小时）
2
10
8
32
35
18
30
6
35
28
求最优加工顺序使总的加工经历时间为最短。
解：
利用约翰逊—贝尔曼法：
找最小时间
最优加工顺序：
I—H—E—G—D—J—F—B—C—A
最短时间：
图：
2.有A、B、C、D、E、五种零件，都需先后经车床、铣床和磨床加工，其零件加工工序时间定额如下单位：
小时
零件
工序
A
B
C
D
E
车床加工
15
10
8
7
11
铣床加工
3
4
6
5
2
磨床加工
4
7
3
8
6
求最优加工顺序使总的加工经历时间为最短。
解：
判断条件：
T1min>T2max（满足其一即可）
第一步：
T（车床+铣床）=T（虚拟第四机床）
T（铣床+磨床）=T（虚拟第五机床）
如图：
二、生产任务分配法：
匈牙利数学家奎涅克提出又叫匈牙利法，在管理运筹学上叫指派问题。
作业顺序只是解决生产任务加工先后顺序的优化方案问题。
在日常生产中还有一类问题，就是生产的经济效益并不取决于任务加工的先后顺序，而取决于任务如何分配。
生产任务分配方案不同，生产的经济效益就不同。
生产任务分配问题简便的求解方法由匈牙利数学家奎涅克提出了匈牙利法。
例题：
有四项任务可分配给四个小组加工，但各小组完成各项任务所需的工时不同，见下表。
应如何分配任务，才能使总的加工时间最小，效率最高。
任务
小组
A
B
C
D
Ⅰ
2
10
5
7
Ⅱ
15
4
14
8
Ⅲ
13
14
12
11
Ⅳ
4
15
13
9
解：
写成矩阵n*n：
4*4
（1）逐行缩减矩阵：
各行元素均减本行的最小元素
任务
小组
A
B
C
D
Ⅰ
0
8
3
5
Ⅱ
11
0
10
4
Ⅲ
2
3
1
0
Ⅳ
0
11
9
5
（2）列缩减，没有零的列，各列元素均减本列的最小元素，使每列都有零元素。
任务
小组
A
B
C
D
Ⅰ
0
8
2
5
Ⅱ
11
0
9
4
Ⅲ
2
3
0
0
Ⅳ
0
11
8
5
（3）用最少的行划线或列划线把所有的零划掉。
若行划线和列划线总数等于任务数，则该矩阵有最优解；若若行划线和列划线总数不等于任务数，再进行第四步。
（4）未被划到的各元素，减去其中最小的元素，在本例中最小的元素为2，而行和列划线交叉处的元素要加上该最小的元素2，
任务
小组
A
B
C
D
Ⅰ
0
8
0
3
Ⅱ
11
0
7
2
Ⅲ
4
5
0
0
Ⅳ
0
11
6
3
（5）回到第三步，用最少的行划线或列划线把所有的零划掉；（3）（4）不循环进行，直至行划线和列划线总数等于任务数；本例中n=4。
（6）从零最少的行或列开始依次分配任务。
如果选择一种分配方案是按零元素所占位置进行的，则这种分配方案就相当于完工总时数最少的方案。
本例分配方案是Ⅰ（C），Ⅱ（B），Ⅲ（D），Ⅳ（A）
最小总工时为5+4+11+4=24（小时）
练习题：
1：
有四项任务可分配给四个小组加工，但各小组完成各项任务所需的工时不同，见下表。
应如何分配任务，才能使总的加工时间最小，效率最高。
任务
小组
A
B
C
D
Ⅰ
4
5
3
6
Ⅱ
6
8
12
7
Ⅲ
13
16
11
10
Ⅳ
12
17
10
8
解：
任务
小组
A
B
C
D
Ⅰ
1
0
0
3
Ⅱ
0
0
6
1
Ⅲ
3
4
1
0
Ⅳ
4
7
2
0
任务
小组
A
B
C
D
Ⅰ
1
0
0
4
Ⅱ
0
0
6
2
Ⅲ
2
3
0
0
Ⅳ
3
6
1
0
分配方案是Ⅰ（B），Ⅱ（A），Ⅲ（C），Ⅳ（D）
最小总工时为5+6+11+8=30（小时）
作业：
有五只船要在五个泊位卸货。
五个泊位有不同的设施，因而卸货的成本也不同，具体数据如下（单位：
千英镑）如何安排各只船到各个泊位卸货才能使卸货总成本最低。
泊位
船
1
2
3
4
5
1
8
10
9
3
6
2
7
8
11
2
9
3
2
4
6
4
4
4
7
7
5
2
7
5
10
8
10
3
11
分配方案是1船（5泊位），2船（4泊位），3船（1泊位），4船（3泊位），5船（2泊位）；总成本：
23千英镑。
例题：
2
人员
任务
甲
乙
丙
丁
A
3
2
-2
1
B
2
-2
0
-
C
-
-1
1
0
上表所示效益矩阵中的元素表示四个销售人员完成三项任务所创造的利润，其中甲不胜任C工作，丁不胜任B工作；应如何分配工作，使总的利润最大。
（单位：
万元）
解：
用最大值3减去矩阵中的每一元素
人员
任务
甲
乙
丙
丁
A
0
1
5
2
B
1
5
3
-
C
-
4
2
3
人员
任务
甲
乙
丙
丁
A
0
1
5
2
B
1
5
3
-+∝
C
-+∝
4
2
3
人员
任务
甲
乙
丙
丁
A
0
1
5
2
B
1
5
3
-+∝
C
-+∝
4
2
3
D（虚拟任务）
0
0
0
0
练习题：
2，一位销售经理要分派六个销售人员负责不同地区的销售。
这些销售人员有不同的关系和能力，他们的期望月销售额（万元）如下表所示。
如何分派才能使月销售收入最大。
地区
人员
1
2
3
4
5
6
1
17
24
41
19
33
28
2
22
22
31
14
27
26
3
9
33
25
26
30
31
4
29
43
45
8
22
20
5
39
19
17
30
32
30
6
31
37
27
23
37
10
答案：
销售人员1负责地区3，销售人员2负责地区6，销售人员3负责地区4，
销售人员4负责地区2，销售人员5负责地区1，销售人员6负责地区5，
最大销售收入：
212（万元）
例题：
3.分派甲、乙、丙、丁四人去完成五项任务，每人完成各项任务时间如下表所示。
由于任务数多于人数，故规定其中一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项任务。
试确定总花费时间为最少的指派方案。
（单位：
小时）
任务
人员
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：
假定第五人是戊，他完成各项任务时间取甲、乙、丙、丁四人中最小者，构造新的矩阵
任务
人员
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
戊
24
27
26
20
32
分配方案是甲（B），乙（C、D），丙（E）丁（A）
131（小时）
例题：
4.从甲、乙、丙、丁、戊五人中挑选四人去完成四项任务，每人完成各项任务时间如下表所示。
规定每项任务只能由一个人单独，完成，每个人最多承担一项任务。
又假定对甲必须保证分配一项任务，丁因某种原因决定不同意承担第四项任务。
在满足上述条件下，如何分配工作，使完成四项任务总的花费时间为最少。
任务人员
甲
乙
丙
丁
戊
1
10
2
3
15
9
2
5
10
15
2
4
3
15
5
14
7
15
4
20
15
13
6
8
解：
先增加一种假想任务，再根据题中给的条件构造新的矩阵
任务人员
甲
乙
丙
丁
戊
1
10
2
3
15
9
2
5
10
15
2
4
3
15
5
14
7
15
4
20
15
13
+∝
8
5
+∝
0
0
0
0
甲
（2）、乙（3）、丙
（1）、丁（5）、戊（4）
练习题3.已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩（各为50米）如下表所示，试问如何从中选拔一个参加200米混合泳的接力队，使预期的比赛成绩为最好。
任务人员
甲
乙
丙
丁
戊
仰泳
37.7
39.2
33.8
37.0
35.4
蛙泳
43.4
33.1
42.2
34.7
41.8
蝶泳
33.3
28.5
38.9
30.4
33.6
自由泳
29.2
26.4
29.6
28.5
31.1
答案：
甲（自由泳）、乙（蝶泳）、丙（仰泳）、丁（蛙泳）、戊（-）
126.2秒
练习题4.五人翻译五种外文的速度（印刷符号/小时）如下表所示，若规定每人专门负责一个语种的翻译工作，那么
（1）应如何分派，使总的翻译效率最高？
（2）若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，应如何分派？
语种
人员
英
俄
日
德
法
甲
900
400
600
800
500
乙
800
500
900
1000
600
丙
900
700
300
500
800
丁
400
800
600
900
500
戊
1000
500
300
600
800
答案：
（1）4300印刷符号/小时，
（2）4200印刷符号/小时
练习题5.某航空公司经营A、B、C三个城市之间的航线，这些航线每天班机起飞与到达时间如下表所示，设飞机在机场停留的损失费用大致与停留时间的平方成正比，又每架飞机从降落到起飞至少需2小时准备时间，试确定一个使停留费用损失为最小的飞行方案。
（飞机在一个机场停留一小时损失费用为a元）
航班号
起飞城市
起飞时间
到达城市
到达时间
101
A
9：
00
B
12：
00
102
A
10：
00
B
13：
00
103
A
15：
00
B
18：
00
104
A
20：
00
C
24：
00
105
A
22：
00
C
2：
00（次日）
106
B
4：
00
A
7：
00
107
B
11：
00
A
14：
00
108
B
15：
00
A
18：
00
109
C
7：
00
A
11：
00
110
C
15：
00
A
19：
00
111
B
13：
00
C
18：
00
112
B
18：
00
C
23：
00
113
C
15：
00
B
20：
00
114
C
7：
00
B
12：
00
答案
A城市飞行方案
起飞
到达
101
102
103
104
105
106
4a
9a
64a
169a
225a
107
361a
400a
625a
36a
64a
108
225a
256a
441a
4a
16a
109
484a
529a
16a
81a
121a
110
196a
225a
400a
625a
9a
B城市飞行方案
起飞
到达
106
107
108
111
112
101
256a
529a
9a
625a
36a
102
225a
484a
4a
576a
25a
103
100a
289a
441a
361a
576a
113
64a
225a
361a
289a
484a
114
256a
529a
9a
625a
36a
C城市飞行方案
起飞
到达
109
110
113
114
104
49a
225a
225a
49a
105
25a
169a
169a
25a
111
169a
441a
441a
169a
112
64a
256a
256a
64a
练习题6、某运输队有5辆汽车，待驶往三个目的地送货。
一目的地的货物只需一辆汽车运送，其运费（元）如下表所示：
类别
１2345
A
1012141113
B
1320231521
C
861075
1、试求最优调运方案；
2、若表中数字表示所得利润，则应如何调运；
3、若汽车2载不下A地所需货物，车5载货时爬不上通往B地必由之路上的山坡，则对1、2之最优解各有何影响。
答案1：
29，2：
44。
3：
无影响
练习题7、某人事部门拟选拔四个人分别担任生产、技术、行政、后勤四个部门的领导工作。
经过反复筛选，最后确定从下表所示六名人选中产生。
根据群众和不同部门、不同层次的干部对这六人在有关四个方面的能力与绩效进行考评的结果，得出下表所示评分（表中数值越大越好）。
问据此结果应如何选择？
（25分）
甲
乙
丙
丁
戊
戌
生产
0.70
0.15
0.70
0.40
0.48
0.15
技术
0.25
0.64
0.30
0.64
0.10
0.40
行政
0.53
0.20
0.80
0.10
0.40
0.48
后勤
0.80
0.10
0.50
0.40
0.30
0.70
甲（生产）乙（技术）丙（行政）戌（后勤）2.84分
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