等差数列知识点总结和题型归纳.docx
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等差数列知识点总结和题型归纳
等差数列
一.等差数列知识点:
知识点1、等差数列的定义
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
知识点2、等差数列的判定方法：
②定义法：
对于数列an，若amand（常数），则数列a.是等差数列
③等差中项：
对于数列an，若2anianan2，则数列an是等差数列
知识点3、等差数列的通项公式：
⑥Snar卫d
2
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:
6如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：
a号或2Aab在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6等差数列的性质：
7等差数列任意两项间的关系：
如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项,且mn，公差为d，则有anam（nm）d
8对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq
也就是：
aiana2ania3an2
⑨若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S?
kSk，S3kS?
k成
等差数列如下图所示:
S3k
题型选析:
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1、.等差数列｛an｝的前三项依次为a-6,2a-5,-3a+2，则a等于（）
A.-1B.1C.-2D.2
2.在数列｛an｝中，a1=2,2a”1=2an+1，贝Ua101的值为（）
A.49
B.50
C.51
D.52
3.等差数列1,
—1,_3，…，—
89的项数是（
）
A.92
B.47
C.46
D.45
4、已知等差数列
｛an｝中，a7a9
16,a41,则a12
的值是（）
（）
A15
B30
C31
D64
5.首项为一24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）
6.
11、已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和为S=
12、设Sn为等差数列an的前n项和，S4=14,SgS730,则S9=
题型二、等差数列性质
已知｛和为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）
（A）a1a8a4a5（B）Osa1a4a5（C）a1+a8a4+a5（D）a1a8=a4a5
10、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有（）
（A）13项（B）12项（C）11项（D）10项
题型三、等差数列前n项和
1、等差数列
an中，已知a1a2a3
La10P,
an9
an8
Lanq，则其前n项和
Sn
2、等差数列
2,1,4,的前n项和为
（）
1
A.n3n4
1
B.n3n7C.
1
n3n4
D.
1
-n
3n7
2
2
2
2
3、已知等差数列an满足a1a2a3
a990,
则
（
）
A.a1agg0
B.
a1agg0
C.
a1
a990D.
a50
50
4、在等差数列
an中,
a1a2a3
15,an
an
1an278,
Sn
155,
则n
5、等差数列an
的前n
项和为Sn,
若S
2,S4
10,则S6等于
（
）
A.12B.18C.24D.42
6、若等差数列共有2n1项nN*，且奇数项的和为44,偶数项的和为33,
则项数为（）
A.5B.7C.9D.11
7、设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S39,&36，则ayasag
&若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn,「，已知◎，则色等于（）
Tnn3b5
22721
A.7B.-C.27D.21
384
题型四、等差数列综合题精选
1、等差数列｛an｝的前n项和记为Sn.已知a1030,a2050.
（I）求通项an；（n）若Sn=242，求n.
2、已知数列｛an｝是一个等差数列，且a21，a55。
（1）求｛an｝的通项an;
（2）求｛an｝前n项和Sn的最大值。
3、设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，
氐75，Tn为数列爼的前n项和，求Tn。
n
4、已知an是等差数列，a12，a318；bn也是等差数列，a?
b?
4，
b[bzbj匕4a〔a2a3。
（1）求数列bn的通项公式及前n项和Sn的公式；
（2）数列an与bn是否有相同的项若有，在100以内有几个相同项若没有，请说明理由。
5、设等差数列｛an｝的首项ai及公差d都为整数，前n项和为$.
（I）若aii=0,S4=98,求数列｛an｝的通项公式；
（n）若ai>6,aii>0,Si4<77,求所有可能的数列｛an｝的通项公式
6、已知二次函数yf（x）的图像经过坐标原点，其导函数为f'（x）6x2,数列｛an｝的前n项和为Sn,
点（n,&）（nN）均在函数yf（x）的图像上。
（I）求数列｛a.｝的通项公式;
五、等差数列习题精选
1、等差数列｛an｝的前三项依次为x,2x1,4x2，则它的第5项为（）
A、5x5B、2x1C、5
2、设等差数列｛an｝中，a45,a917,则知的值等于
3、
设an
是公差为正数的等差数列，若a1
a2a3
15,
a1a2a3
80,
则an
a12a13（）
A.120B.105C
•
90
D
.75
4、
若等差数列｛an｝的公差d0,贝U
（）
（A）
a?
a68385
（B）
a?
a§
a3a5
（C）
a2a6玄3玄5
（D）
a2a6与a3a5
的大小不确定
5、
已知
an满足，对一切自然数n均有an1
an,
且an
2n
n恒成立，则实数
围是（
）
A
0
B.0C.
0
D.
3
C
A11
B
、22
、29
D
、12
的取值范
6、等差数列an中，a11,公差d0,若a1,a2,a5成等比数列，贝Vd为（）
（A）3（B）2
（C）
2
（D）2或2
7、在等差数列an
中,
apq,aq
P（P
q），则apq
A、pqB
、
（pq）
C
、0D
、pq
8设数列an是单调递增的等差数列，前三项和为
12，前三项的积为
48,则它的首项是
A、1B、2
C、
4
D
、8
9、已知为等差数列，
a1
a3a5
105,a2
a4
a699贝卩a20等于
（
）
A.-1B.1
C.3
10、已知an为等差数列,
且
a7—2a4
二—1,
a?
：
二0,则公差d=
1
A.—2B.—丄
C.
1
2
2
11、在等差数列an中，
a2
a84,
则其前
9项的和S9等于（
）
A.18B27
C
36
D9
12、设等差数列｛an｝的前
n项和为Sn，
若S3
9，
S636，则a7a8
a9
（）
A.63B
.45
C
36D.27
13、在等差数列an中，
a1
a2a3
15,an
an1
an278，Sn155，
则n
14、
数列
an
是等差数列，
它的前
n项和可以表示为
（）
A.
Sn
An2
BnC
B.SnAn2
Bn
C.
Sn
An2
BnCa
0
D.SnAn2
Bna0
小结
1、等差中项：
若a,代b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A
2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）;偶数个数成等差，可设为…，
a3d,ad,ad,a3d,…（公差为2d）
3、当公差d0时，等差数列的通项公式ana1（n1）ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d;若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。
4、当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.
5、若｛a.｝、g｝是等差数列，则｛kan｝、｛kanpg｝（k、p是非零常数）、｛apnq｝（p,qN*）、Sn,S2nSn,S3nSn，…也成等差数列，而皆｝成等比数列；
等差数列参考答案
题型一：
计算求值
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
B
D
C
A
D
3n2
-49
题号
8
9
10
11
12
13
14
答案
C
153
15
2
-（5n2+n）/2
54
题型二、等差数列的性质
1、C2、D
3、12（a3+a7-aio+aii-a4=8+4=a=12）
10、A
题型三、等差数列前n项和
1、5n（p+q）2、B3、C4、n=105、24
6、S奇/S偶二门/n-1=4/3,n=4
7、458、D（a5/b5=S/TQ
题型四：
等差数列综合题精选
1、解：
（I）由an印（n1）d,a1030,a2050,得方程组
（n）由Snna1呃©d,Sn242得方程
2
12n
n（n1）2
2
242.……10分解得n
11或n
22（舍去）
a
d1
2、解：
（I）设an的公差为
d,由已知条件，得
4d5’
a
解出
a13,d
2•所以ana1（n
1）d2n
5.
（n）Sn
n（nna1
1）2
dn4n4（n
2）2.
2
所以n2时，Sn取到最大值4.
1
3、解：
设等差数列an的公差为d，贝USn?
nn1d
S77
S15
75,
7a1
21d
7,
即
a13d1,
15a1
105d
75,
a17d5,
解得
a1
2,
d1。
na1n1d
n12
2丄n1,
2
汩半*…数列半是等差数列，其首项为2，公差为1
S14
77,
2a1
13d11,
2a1
13d
11
（n）由an
0,
得a1
10d0,
即2a1
20d
0,
a1
6
a1
6
2a1
12
d=—2,ai=20.
因此，｛an｝的通项公式是an=22—2n,n=1,2,3…
5、解：
（I）由S14=98得2a计13d=14,又an=a1+10d=0,
故解得
11
由①+②得一7dv11。
即卩d>——。
由①+③得
7
又a€乙故a1=11或a1=12.
6、解：
（I）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a工0）,则f'（x）=2ax+b,由于f'（x）=6x—2,得
2
a=3,b=—2,所以f（x）=3x—2x.
又因为点（n,Sn）（nN）均在函数yf（x）的图像上，所以Sn=3n—2n.
当n》2时，an=Si—Sn-1=（3^—2n）—3（n1）22（n1）=6n—5.
当n=1时，a1=Si=3x1—2=6x1—5,所以，an=6n—5（nN）
3
3
1（1
1
-）,
（n）由（i）得知
bn
=（
anan1（6n
5）6（n1）
526n
5
6n
1
n
1
1
11
1
11
（1
1
）.
故Tn=bi=
（1）
（）.
（
）=
i1
2
7
713
6n5
6n12
6n
1
1
因此，要使一
（1-
1
）v—（n
N）成立的
m,必须且仅须满足
丄<
—，即m>10,
2
6n1
20
2
20
所以满足要求的最小正整数m为10
题型五、精选练习
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
D
C
B
B
A
B
C
题号
8
9
10
11
12
13
14
答案
B
B
B
A
B
10
B
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