届浙江省台州市六校高三上学期期中联考数学试题解析版.docx

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届浙江省台州市六校高三上学期期中联考数学试题解析版

2021届浙江省台州市六校高三上学期期中联考数学试题

一、单选题

1.已知集合A={0,l,2},B={2,3,4},则AUB=（）

A.{2}B.{0,1,2,3,4}C.{0,1,223,4}D.[0,4]

【答案】B

【分析】利用并集的泄义可求得集合A\JB.

【详解】vA={0,1,2},B={2,3,4},故心={0,1,2,3,4}.

故选：

B.

2.已知复数z=^，贝ij（）

A.Z的虚部为iB.Z的实部为2C.z<2D.|z|<2

【答案】B

【分析】根据虚数单位的性质及复数的概念即可求解.

2j2'2j

【详解】因为"扇=斥=富=2—i,|z|=75

所以复数Z的实部为2,

故选：

B

x+2<0

3.若实数丫，）'满足约束条件]x+y+4»0,则乙=2x+y的最小值是（）

x-y+2>0

A.-4B.-6C.-7D.-8

【答案】C

【分析】由约束条件作岀可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优

解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

兀+2冬0

【详解】由约束条件”+y+4$0作可行域如图，

x-y+2R

（L目标函数z=2x+y为y=-2x+z,

由图可知，当直线y=-2x+z过A时，z=2x+y有最小值为2x（-3）-l=-7.

故选：

C

4.

如图：

某四棱锥的三视图（单位：

（枷）如图所示，则该四棱锥的体积（单位：

cm注为

【答案】D

【分析】本题可通过三视图绘出几何体，然后通过三视图得出底而枳和髙.最后根据棱锥的体积计算公式即可得出结果.

【详解】如图，结合三视图绘出几何体,

E

B

该几何体是四棱锥，高ED=y/2cm＞底而ABCD是正方形，AC=BD=2cm,

则该几何体的体积为ixix2x2x^=（单位：

）,

323

故选：

D.

5.设P为空间一点，/、加为空间中两条不同的直线，©、0是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若Pwl,P已0,lua,则ct^\P=l

B.若Pea,P已I,l/hn,则山与&必有公共点

C.若/丄a,加丄0,allp,则l/hn

D.若/与川异面，lua,mu卩,贝ija〃0

【答案】C

【分析】很据A选项中的条件，作出图形，可判断A选项的正误：

取lua，判断出川与&的位置关系，可判断B选项的正误：

利用线面垂直的性质可判断C选项的正误：

根据D选项中的条件作出图形，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，如下图所示：

设a^p=mtlC\fn=P,/c=6Z,则Pg/,满足，但A选项错

误；

对于B选项，若Zua,Pel,则P已a满足条件，若〃/加，则加ua或加//a,B

选项错误：

对于C选项，•.•/丄a，allp.可知/丄0,又加丄0,.•.〃/〃?

，C选项正确：

对于D选项，如下图所示，/与加异而，lua、血u0,但a与0相交，D选项错误.

故选：

C.

【点睛】方法点睛：

解答空间中点、线、而位置关系的判泄问题常见解题策略:

（1）对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误：

对面而平行判是左理的条件而内

两相交直线"认识不淸导致错解：

（2）对于空间中的垂直关系中确左线而垂宜是关键，证明线线垂直则需借助线而垂直

的性质，垂直关系的判左立理和性质龙理合理转化是证明垂直关系的基本思想.

【答案】B

【分析】化简函数/（X）,令/«=0,得^+--l=±x/3,再分别确龙零点的个数,

厶入

可得选项.

【详解】因为

12

当^+|-1=V3时，即|+|-（1+V3）=O,所以|x2-（1+5/3）a+3=0，其中A=（1+V3）'-4x-x3=2>/3-2>0,所以^+--1=^3有两个不等实数根：

乙厶-X

331

当-+--1=一筋时，即-+--（1-V3）=O,所以一x2-（1->/3）x+3=0,其中2x2x2

△=（1—JJ「—4x*3=—2J5—2vO,所以斗+—1=一0无实数根：

厶乙X

所以函数/（X）有两个零点，故选：

B.

【点睛】方法点睛：

求函数的零点的个数，可以运用函数与方程的关系将问题转化为方

程的根的个数.

7.把标号为①，②，

③，④的4个小球随机放入甲■乙■丙三个盒子中，则①号球不在

甲盒子中的槪率为（

2

A.-

3

【答案】A

）

111

B.-C.一D•—

236

【分析】分别求岀基本事件总数及①号球在甲盒子中的事件个数，利用古典概型公式计算得解

【详解】标号为①，②，③，④的4个小球随机放入甲、乙、丙三个盒子中，基本事件总

数为n=34=81

①号球在甲盒子中的事件个数为m=3’=27，

则①号球不在甲盒子中的概率为p=l-^=l--^-=-

故选：

A

【点睛】具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典槪型.

（1）有限性：

试验中所有可能出现的基本事件只有有限个：

（2）等可能性：

每个基本事件岀现的可能性相等.

8.若平面上两点A（-2,0）,8（1,0）,则/：

归（—1）上满足网=2凹的点P的

个数为（）

A.0B.1C.2D.与实数R的取

值有关

【答案】C

【分析】首先利用直接法求点P的轨迹方程，则转化为直线y=R（x-i）与轨迹曲线的交点个数.

【详解】设P（x,y）,•.•|PA|=2|PB|,

^（x+2）"+~y~=2yj（x—\）+y~，

整理为：

x2+y2-4x=0<^（x-2）2+y2=4,

即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，r=2为半径的圆，

直线l:

y=k（x-\）是经过上点（1,0）,斜率存在的直线，点（1,0）在圆的内部，所以直线l.y=k（x-\）与圆有2个交点,则/：

y=k（x-\）上满足|E4|=2|PB|的点P的个数为2个.

故选：

C

【点睛】方法点睛：

一般求曲线方程的方法包含以下几种：

1•直接法：

把题设条件直接“翻译”成含X，）'的等式就得到曲线的轨迹方程.

2•左义法：

运用解析几何中以下常用左义（如圆锥曲线的泄义），可从曲线泄义岀发，直接写出轨迹方程，或从曲线泄义出发建立关系式，从而求岀轨迹方程.

3•相关点法：

首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.

9.已知a,0w（O"）,a丰卩、若疋一/=cosa—2cos0,则下列结论一定成立的是（）

A.cosa>cos0B・cosa

C.sina>sinPD.sina

【答案】D

【分析】由0<0<彳时，e“-e"=cosa-2cos0

22

可得a=0=f,不合题意，由2

ea-=cosa-2cosp>cosa-cosp,可得«>/?

>—,从而可得sina

2

【详解】解:

当0<卩<二时，则/-疋=cos6Z-2cospvcosa-cos0,

2

所以-cosa09所以/（X）在（0,龙）上单调递增，所以QV0V彳，所以sina

当P=—时，则严一=cosa-2cos0=cosa-cos0,所以a=p=—.不合题

22

意:

当—cosa-cosp,

所以ea-cosa>ep-cosp,所以«>/?

>—,所以sinavsin/?

2

综上可得sinavsin0,

故选:

D

【点睛】关键点点睛：

此题考查由函数的单调性的应用，考査三角函数的应用，解题的关键是分0<0<冬和咚V0VR利用放缩法对出-卡=cosa—2cos0变形，然

22

后构造函数/（A-）=^-cosx,利用导数判断其在（0,兀）上单调递增，考查转化思想和计算能力，属于较难题

I>

10.数列｛©｝满足幺田=—尤+4”（"已“），o,-j,则以下说法正确的个数

（）

1Ova”】va”；

2

歼+a?

+a?

+…+a；

【答案】D【分析】利用二次函数的性质及递推关系得色>0,然后作差可判断①，已知等式变形为求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得

111__

-一+——+•••+——>«,可判断③，利用数学归纳法思想判断④.

1—6/|I—C1-）1—（ln

【详解】5+1=+①=一（山一》+*,若则吗+点卩申’

•••%]_爲=_尤<0，•••0va”]Va”,①正确：

由已知盗=%+i，

二+a；Ha；=（a｝-a2）+（a2一①）（％-％+】）=4一©】+】

1I

由勺W0,-及①得一v1—色<1,1V

<2/2

显然对任意的正数方,在在正整数加,使得m>b，此时

⑴已知虫成立,

由数学归纳法思想得④正确.

•••4个命题都正确.

故选：

D.

【点睛】方法点睛：

本题考查由数列的递推关系确立数列的性质.解题方法一是利用函数的知识求解，二是利用不等式的放缩法进行放缩证明，三与正整数有关的命题也可利用数学归纳法证明.

2.双空题

ii.

设等差数列｛©｝的公差为非零常数〃，且5=1,若⑷，心，心成等比数列，则

【分析】利用等差、等比数列的性质列岀关于〃的方程，解之可得，然后得出通项公式

用裂项相消法求和.

【详解】"2，“4成等比数列，即（l+t/）2=!

x（l+3J）,又

解得d=l・

【点睛】本题考查求等差数列的基本量运算，等比数列的性质，裂项相消法求和.数列求和的常用方法:

设数列｛色｝是等差数列，｛仇｝是等比数列，

（1）公式法：

等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：

数列｛"/”｝的前"项和应用错位相减法：

（3）裂项相消法；数列（R为常数，冷H0）的前”项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：

数列｛pan+qbn｝用分组求和法，如果数列中的项出现正负

相间等特征时可能用并项求和法：

（5）倒序相加法：

满足"加+①“=A（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和.

12.已知（x+«）4（x-2）4的展开式中各项系数之和等于0,则“二;其展开式

中含F项的系数为.

【答案】一1一12

【分析】令x=l求出a=-\,分別得出（x-l）\（X-2）4的展开式，进而得岀

（a-+«）4（x-2）4的展开式，再令8-m-n=7,求岀含工项的系数.

【详解】令x=l,则（l+a）°（l_2）4=0,解得a=-l

（x-1）4的展开式的通项为,（x-2）4的展开式的通项为C：

f2）"则（x+d）4（A-2）4的展开式的通项为c；-C；•（—1）"'•（-2）”=0,1,2,3,44*8-7?

/-n=7,即m+n=\9即m=0.n=1或m=l.n=0

即（x+«）4（x-2）4展开式中含『项的系数为

C：

）C：

（_l）°（_2）i+C；C：

）（_l）i（_2）°=_8_4=_12

故答案为：

一1；-12

13.锐角△A3C中，内角A,B,C所对的边分别为d,b9cf且

口=巴£二^业，则角人的大小为；若b=2,则△ABC•面积S的

csinA+sinB

取值范围是・

【答案】睿（1,2）

【分析】用正弦泄理化角为边后，应用余弦左理可求得A，把三角形面积表示为C的函数，由三角函数性质求得范囤.

【详解】•.・口=凹匕三吋....a-b_=二冋,整理得+c?

—,

csinA+sinBcu+b

cosA=-=-»ZA是三角形内角，•°.A=〒，

2bc24

△ABC是锐角三角形,则A+C＞即违＜C＜?

山"沁理岛気F①"nBsinC一sinJ

4

_2sinC_2sinC_2sinCsinBsin（/r—A—C）sin（A+C）

_>/2sinC_2

sinAcosC+cosAsinC]tanC

*/—1>I

2

TT

故答案为:

-：

（1,2）・

4

【点睛】方法点睹：

在解三角形中，出现边角混合等式时，常常利用正弦立理进行边角互化.而三角形面积或周长范I羽时，一般把面积或周长表示一个内角的函数，利用三角函数的恒等变换，结合三角函数性质求得结论，解题时注意角的范用的确定.

14.如图：

正方体ABCD^A^C}D}的棱长为2,M9N分别为棱AB,的中点,

则二面角B\_MN_B的余弦值为；若点P为线段上的动点（不包括端点），设异面直线Cf与A/N所成角为0,则cos0的取值范围是

s

【分析】设二面角B、_MN_B为S利用而积投影法850=严丄，即可得解；连接AC],A}P,易知&ZZ0GP或其补角，设Bf=2B、N=®,2e（0J）,在厶A^P中，由余弦左理可列得cos&关于兄的函数关系式，从而得解.

【详解】由正方体的性质知，3目丄平而ABCD，

s

设二而角B\_MN_B为a,贝Ijcosa=-^

二B\MN

・・・二而角的余弦值为1.

连接也,A.P,

・・・伽//加7//也，

或其补角,

设BJ》=&B\N=*A,2e（0J）,

在△A]C]P中，=2^2.4P=J5/P+4,C\P=丁5/{2—4几+4,

•cos0==

>/!

•丁5/‘-16r+16迈』5_岁+竺，在'€（1,2）上单调递增,

-7=■―7=vCOS0V-=I.

V2xV5x/2x>/5-8+4

二COS旅普，¥）.故答案为：

*:

（警，芈）•

【点睛】关键点点睹：

二而角的求法中有而积法，一个而积为S的半平而在另一个半平

S'

面上投影面积为S'侧COS0=—,0是二面角的平而角.

三、填空题

15.若函数/©）=（—工一兀+5）心在区间（心+2）上有极大值，则d的取值范围是

3

【答案】-

2

22【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c,根据=闻，得到P的横坐标为丁，设=S，卩程|=r,分别利用椭圆和双曲线的泄义求得s,/,然后再利用椭圆和双曲线的第二左义求解.

【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为C,

222

所以==即戶的横坐标为-c,

设阀=s,|禺*,

由椭圆的泄义得：

£+/=加，

由双曲线的泄义得：

s-t=2m,

联立解得s=a+myt=a-m.

设椭圆和双曲线的离心率分别为：

g，

t

由椭圆的第二左义得"2

a22Cc3

由双曲线的第二立义得:

十…c3

所以q匕=一5=-.

a2

3

故答案为：

2

17.已知a=b=U'b=2tc=（2-4A）a+Abf则（c-a）・（c“）的最小值为

【分析】求岀7_方，U再利用向量的数量积展开，根据二次函数配方即可求解.

c-a=（\-4A）a+Ab9c-/?

=（2-42）t/+（2-l）Z?

».•.（：

—：

）•（：

一用=[（1一4刃方+几可｛（2—4/1）7+（兄一1）可=（16，_12/1+2）才+（-8，+7/1_1）7厶+（，_可产，代入a=b=a-b=29

原式=52几2一38兄+6，

1949

・••当2=—时，原式最小值为一一・

5252

49

故答案为：

四、解答题

18.如图，0屮冷|，点P是半径为1的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置R）开始，按逆时针方向以角速度frad/s作圆周运动，点P的纵坐标$关于时间/（单位：

秒）

（2）若将函数y=f⑴的图象向右平移2个单位长度后，得到的曲线关于原点对称;当虫[0,3]时，求函数），=/（?

）的值域.

【答案】

（1）彳佇4：

（2）[*,1]

f（t）=sin&+町两角和的正弦公式即可计算/

（2）.

（1）求证舟△AA/N为直角三角形；

（2）求直线3C与平面BA/N所成角的大小.

JT

【答案】

（1）证明见解析；

（2）

4

【分析】

（1）先证明CD丄平而ABC.可得CD丄BM,则可得丄平而ACD,即可得岀丄AD,进而AD丄平而BMN,即得出AD丄MN可说明；

（2）以B点为原点，过3做CD的平行线，如图建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.

【详解】解：

（1）:

AB丄平而BCD,CDu平而BCD,:

.AB丄CD,

*•*AB=1,AD=2,BD=y/3，

BC=近、CD=\,••BC'+CD—BD?

..BC丄CD,

•:

ABcBC=B,..CD丄平而ABC»

BMu平而ABC,..CD丄BM,

•.•BM丄AC,ACQCD=C,：

.BM丄平而ACD,

\'ADu平WACD.BM丄A£＞，

•：

BN丄AZ），BNcBM=B,.•.AD丄平面BA/N,

•;MNu平而BMN,:

.AD丄MV,为直角三角形：

（2）以B点为原点，过“做CD的平行线，如图建立空间直角坐标系，

则B（OQO）,A（O,O,1）,C（O,QO）,D（—1,QO）.BC=（O,5/2,0）,AD=（-l,>/2,-l）.

由

（1）得AD丄平而BMN,•••乔为平而BMV的法向量,

・•sin。

*os何祝）卜詣希¥，

Tl

・••直线BC与平面BMN所成角大小为一•

4

【点睛】利用法向量求解空间线而角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系：

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关"，求出平而的法向呈:

：

第四，破“应用公式关“.

20.已知数列｛勺｝的前"项和为S”，满足4=1,a”+|=2S”+4n+l,令化=牛三，

ne/V*•

（1）求证：

数列何+2｝为等比数列，并求陽;

（2）记数列｛»｝的前"项和为7；,求证：

耳.

厶

【答案】

（1）证明见解析，心=3”-2；

（2）证明见解析.

【分析】

（1）求出①的值，利用勺与S”的关系可得岀曾+|=3叫+4,证明岀

严¥=3结合^j=3,可证明出数列｛©+2｝为等比数列，确左该数列的首项和公比，可求岀数列｛©+2｝的通项公式，进而可求得“”：

（2）利用放缩法得岀^,<-+4r*利用分组求和法结合等比数列的求和公式可证得

23曲

°2

【详解】⑴当n=l时，“2=25+5=7：

当zz>2KneN*»由"”+i=2S„+4n+1,可得©=2S“「+4（”一1）+1,

上述两式作差得©+厂绻=2°”+4,即"曲=3吗+4,所以，厲+|+2=3（色+2）,

“2=7,.".^2+2=3（^+2）,

所以，等式q田+2=3（©+2）对任意的/疋2恒成立，

由q+2=3H0,・•.①+2H0,

所以｛陽+2｝为等比数列,且该数列的首项为再+2=3,公比为彳=3,

/.nZI+2=3x3r,-,=3\所以，匕=3"-2：

（2）先证明以下结论：

若xny>0,c>0,则-<—

Xx+c

当x>y>0.c>0时，-

x

y+c_y（x+c）-x（y+c）^c（y-x）

x（x+c）

所以，当x>y>09c>0.

;a„+23"11

本题中’仇=〒=不匚可7+兀P

丄V

3d-23”一2+23"

3,r

1+231M1,^11

可，则hit<-+—t

3"

””，11

/.Tn<—+1+-+—+

23312

11_

+Fr=2+_1'_1

3

上+耳|-

/I、刃

>0,・・・1一一

2丿

【点睛】方法点睛：

本题考查利用放缩法证明数列不等式，常见的放缩公式如下:

（1）

1111,小

产丙矿百二（心）；

（2）

（3）

―亠=2

n24n24n2-1

<2/1—12〃+1

^,=C；V=r!

（n-r）!

”

J丄J二心）；

r!

r（r-l）r-1r

（5）

丄+-*-+•••+—<3；

1x22x3（/?

-l）n

（心2）：

1_222

（11}肩\/n2n+y/n-ii2n^n-\+（n_1）亦（亦+J”_]）

（13）

_2（Jn_[_丽）

A9B两点.

（1）求椭圆G的方程；

（2）求"CD的面积S的最小值.

【答案】⑴宁+令“⑵最小值为3.

【分析】

（1）由抛物线的泄义可得点0的纵坐标，再代入抛物线方程可得Q的横坐标,然后把点Q的坐标代入椭圆方程，再结合焦点坐标即可求解；

（2）经分析直线/的斜率存在.可设出直线/的方程，与椭圆方程联立，写岀韦达泄理的关系式，然后求岀弦长\CD\9再求出p到直线/的距藹，即可求出的而积的表达式，再利用函数的性质求出最小值即可.

5528

【详解】解：

（1）•••|QF|=g'・••沟+1=§’.•讥=彳,4=-.

•••Q为抛物线G与椭圆C2在第一象限的公共点，

a2=4心、：

1•>r）厂对t

•：

r1.

43

+令=1且/-b2

=1♦

（2）设A（心））B（S2），卩（心』0），由已知得直线/斜率存在,设为y=kx+\,

11）1

PA:

y=-x}x--x；9PE：

y=-

乙*1厶

y=kx+i

.A，即x2-4^v-4=0>州花=-4，+x2=4k

x=4y

儿―儿_4一人+兀，西花=_4,•••P（2R,_1）,

x{