高中数学第一章常用逻辑用语3全称量词与存在量词学案北师大版选修11整理.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语3全称量词与存在量词学案北师大版选修11整理
2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语3全称量词与存在量词学案北师大版选修1-1
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§3全称量词与存在量词
全称量词与全称命题
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:
“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!
”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?
如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?
他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论"问题.
问题1:
文中理发师说:
“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有的”这一词语,你还能用其他词语代替吗?
提示:
任意一个,全部,每个.
问题2:
上述词语都有什么含义?
提示:
表示某个范围内的整体或全部.
全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切"都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词.
(2)含有全称量词的命题,叫作全称命题。
存在量词与特称命题
观察语句①②:
①存在一个x∈R,使3x+1=5;
②至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
问题1:
①②是命题吗?
若是命题,判断其真假.
提示:
是,都为真命题.
问题2:
①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义?
提示:
表示总体中“个别”或“一部分”.
问题3:
你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗?
提示:
某些,有的,有些.
存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个"“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量词.
(2)含有存在量词的命题,叫作特称命题。
全称命题与特称命题的否定
观察下列命题:
①被7整除的整数是奇数;
②有的函数是偶函数;
③至少有一个三角形没有外接圆.
问题1:
命题①的否定:
“被7整除的整数不是奇数”对吗?
提示:
不对,命题①是省略了量词“所有"的全称命题,其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”.
问题2:
命题②的否定:
“有的函数不是偶函数”对吗?
提示:
不对,应为每一个函数都不是偶函数.
问题3:
判断命题③的否定的真假.
提示:
命题③的否定:
所有的三角形都有外接圆,是真命题.
全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
1.判断一个命题是全称命题还是特称命题时,首先要分析命题中含有的量词,含有全称量词的是全称命题,含有存在量词的是特称命题.
2.要说明一个全称命题是错误的,只需找出一个反例即可,实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的;要说明一个特称命题是错误的,就要说明所有的对象都不满足这一性质,即说明这个特称命题的否定是正确的.
全称命题与特称命题的判断
[例1] 判断下列命题哪些是全称命题,哪些是特称命题.
(1)对任意x∈R,x2>0;
(2)有些无理数的平方也是无理数;
(3)正四面体的各面都是正三角形;
(4)存在x=1,使方程x2+x-2=0;
(5)对任意x∈{x|x>-1},3x+4〉0成立;
(6)存在a=1且b=2,使a+b=3成立.
[思路点拨] 先观察命题中所含的量词,根据量词的意义来判断命题的类别.不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析.
[精解详析]
(1)(5)含全称量词“任意”,(3)虽不含有量词,但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形.故
(1)(3)(5)为全称命题;
(2)(4)(6)为特称命题,分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”.
[一点通]
判断一个命题是全称命题还是特称命题时,需要注意以下两点:
(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词;
(2)若命题中不含有量词,则要根据命题的实际意义进行判断.
1.下列命题为特称命题的是( )
A.奇函数的图像关于原点对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.棱锥仅有一个底面
D.存在大于等于3的实数x,使x2-2x-3≥0
解析:
A,B,C中命题都省略了全称量词“所有”,所以A,B,C都是全称命题;D中命题含有存在量词“存在”,所以D是特称命题,故选D.
答案:
D
2.下列命题中,全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数;
②所有的素数都是奇数;
③有的等差数列也是等比数列;
④三角形的内角和是180°.
A.0个 B.1个
C.2个D.3个
解析:
命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”,故有三个全称命题.
答案:
D
全称命题与特称命题的真假判断
[例2] 指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断其真假.
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点;
(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(3)对任意实数x1,x2,若x1〈x2,都有tanx1(4)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数.
[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别,再结合相关知识判断真假.
[精解详析]
(1)(3)是全称命题,
(2)(4)是特称命题.
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.
(2)存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.
(3)存在x1=0,x2=π,x1〈x2,但tan0=tanπ,所以该命题是假命题.
(4)存在一个函数f(x)=0,它既是偶函数又是奇函数,所以该命题是真命题.
[一点通]
1.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定条件中的每一个元素x,验证命题成立.而要判断它是假命题,只要能举出限定条件中的一个x,使命题不成立即可.
2.要判断一个特称命题是真命题,只要在限定条件中,至少能找到一个x,使命题成立即可,否则这一特称命题就是假命题.
3.下列命题的假命题是( )
A.有些不相似的三角形面积相等
B.存在一个实数x,使x2+x+1≤0
C.存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大
D.有一个实数的倒数是它本身
解析:
以上4个均为特称命题,A,C,D均可找到符合条件的特例;对B,任意x∈R,都有x2+x+1=
2+
>0.故B为假命题.
答案:
B
4.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)对任意x∈R,都有x2-x+1>
成立;
(2)存在实数α,β,使cos(α-β)=cosα-cosβ成立;
(3)对任意x,y∈N,都有(x-y)∈N;
(4)存在x,y∈Z,使
x+y=3成立.
解:
(1)法一:
当x∈R时,x2-x+1=(x-
)2+
≥
>
,所以该命题是真命题.
法二:
x2-x+1>
⇔x2-x+
>0,由于Δ=1-4×
=-1<0,所以不等式x2-x+1>
的解集是R,所以该命题是真命题.
(2)当α=
,β=
时,cos(α-β)=cos(
-
)=cos(-
)=cos
=
,cosα-cosβ=cos
-cos
=
-0=
此时cos(α-β)=cosα-cosβ,所以该命题是真命题.
(3)当x=2,y=4时,x-y=-2∈/N,所以该命题是假命题.
(4)当x=0,y=3时,
x+y=3,即存在x,y∈Z,使
x+y=3,所以该命题是真命题.
全称命题、特称命题的否定
[例3] 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.
(1)三角形的内角和为180°;
(2)每个二次函数的图像都开口向下;
(3)有些实数的绝对值是正数;
(4)某些平行四边形是菱形.
[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题,再对命题否定.
[精解详析]
(1)是全称命题且为真命题.
命题的否定:
三角形的内角和不全为180°,
即存在一个三角形的内角和不等于180°。
(2)是全称命题且为假命题.
命题的否定:
存在一个二次函数的图像开口不向下.
(3)是特称命题且为真命题.
命题的否定:
所有实数的绝对值都不是正数.
(4)是特称命题,且为真命题.
命题的否定:
每一个平行四边形都不是菱形.
[一点通]
1.全称命题的否定为特称命题,特称命题的否定为全称命题.
2.写全称(特称)命题的否定时,先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词,然后再否定结论.
5.(湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
解析:
根据特称命题的否定是全称命题即可解答.“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”,故选B.
答案:
B
6.若“对任意x∈R,ax2-2ax-1<0”为真命题,则实数a的取值范围是________.
解析:
依题意,问题等价于对任意x∈R,ax2-2ax-1<0恒成立.当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,有
解得-1<a<0,故实数a的取值范围是(-1,0]
答案:
(-1,0]
7.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出其否定形式.
(1)对数函数都是单调函数;
(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除;
(3)存在x∈R,使log2x>0成立;
(4)对任意m∈Z,都有m2-3>0成立.
解:
(1)命题省略了全称量词“所有”,所以是全称命题;否定形式:
有的对数函数不是单调函数.
(2)命题含有存在量词“至少”,所以是特称命题;否定形式:
所有整数不能被2整除或不能被5整除.
(3)命题含有存在量词,所以是特称命题;否定形式:
对任意x∈R,都有log2x≤0.
(4)命题中含有全称量词“任意”,所以是全称命题;否定形式:
存在m∈Z,使m2-3≤0成立.
1.判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词.有些命题没有明显的量词或省略了量词,可以根据命题的实际含义作出判断.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题:
(1)确定命题类型,是全称命题还是特称命题;
(2)改变量词;
(3)否定结论;
(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定.
1.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为( )
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy成立
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy成立
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≤2xy成立
解析:
本题中的命题仅保留了结论,省略了条件“任意实数x,y",改成全称命题为:
对任意实数x,y,都有x2+y2≥2xy成立.
答案:
A
2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.存在x∈R,使得f(x)>0成立
B.存在x∈R,使得f(x)≤0成立
C.对任意x∈R,使得f(x)>0成立
D.对任意x∈R,f(x)≤0成立
解析:
“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x,使得f(x)>0成立",故选A.
答案:
A
3.下列命题为真命题的是( )
A.对任意x∈R,都有cosx<2成立
B.存在x∈Z,使log2(3x-1)<0成立
C.对任意x>0,都有3x>3成立
D.存在x∈Q,使方程
x-2=0有解
解析:
A中,由于函数y=cosx的最大值是1,又1<2,所以A是真命题;B中,log2(3x-1)<0⇔0<3x-1<1⇔
<x<
,所以B是假命题;C中,当x=1时,31=3,所以C是假命题;D中,
x-2=0⇔x=
∈/Q,所以D是假命题,故选A。
答案:
A
4.给出四个命题:
①末位数字是偶数的整数能被2整除;②有的菱形是正方形;③存在实数x,使x>0;④对于任意实数x,2x+1都是奇数.下列说法正确的是( )
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称命题
C.②③是特称命题
D.四个命题中有两个假命题
解析:
①④为全称命题;②③为特称命题;①②③为真命题;④为假命题.
答案:
C
5.下列命题中全称命题是__________;特称命题是________.
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
解析:
①③是全称命题,②④是特称命题.
答案:
①③ ②④
6.命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________.
解析:
本题中的命题是全称命题,省略了全称量词,加上全称量词后该命题可以叙述为:
所有偶函数的图像关于y轴对称.将命题中的全称量词“所有"改为存在量词“有些",结论“关于y轴对称"改为“关于y轴不对称",所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称".
答案:
有些偶函数的图像关于y轴不对称
7.写出下列命题的否定并判断其真假.
(1)有的四边形没有外接圆;
(2)某些梯形的对角线互相平分;
(3)被8整除的数能被4整除.
解:
(1)命题的否定:
所有的四边形都有外接圆,是假命题.
(2)命题的否定:
任一个梯形的对角线不互相平分,是真命题.
(3)命题的否定:
存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.
8.
(1)若命题“对于任意实数x,不等式sinx+cosx〉m恒成立"是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题“存在实数x,使不等式sinx+cosx>m有解”是真命题,求实数m的取值范围.
解:
(1)令y=sinx+cosx,x∈R,
∵y=sinx+cosx=
sin
≥-
,
又∵任意x∈R,sinx+cosx>m恒成立,
∴只要m〈-
即可.
∴所求m的取值范围是(-∞,-
).
(2)令y=sinx+cosx,x∈R,
∵y=sinx+cosx=
sin
∈[-
].
又∵存在x∈R,使sinx+cosx>m有解,
∴只要m<
即可,∴所求m的取值范围是(-∞,
).