第九章立体几何总复习教案.docx

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第九章立体几何总复习教案

第九章直线、平面、简单几何体

学法指导：

1．必须明确本章内容的复习目标：

（1）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证；

（2）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算；

（3）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题.但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键；

（4）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题.

2．要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范

（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；

（2）求角或距离的方法：

①“一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明.②向量法

9-1立体几何中的平行问题

教学目标：

1.了解空间中两条直线的位置关系（相交、平行、异面）；了解直线和平面的位置关系（直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行）；了解两个平面的位置关系（相交、平行）。

2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.

3.掌握两平面平行的判定和性质，并用以解决有关问题.

教学重点：

利用两条直线平行、直线与平面平行和面面平行的判定定理解决相关的证明问题。

教学难点：

线//线、线//面、面//面之间的相互联系。

教学过程设计：

一、要点回顾：

1.空间中两条直线的位置关系：

（1）相交：

（2）平行：

公理4：

平行于同一直线的两条直线平行

（3）异面：

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

判定定理：

2.空间中直线和平面的位置关系：

（1）直线在平面内：

公理1：

符号语言：

（2）直线与平面平行：

定义

记作：

判定定理：

如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行

符号语言：

图形语言：

（3）直线和平面相交：

符号语言：

3.空间中平面和平面的位置关系：

（1）平面和平面相交：

公理2：

符号语言：

图形语言：

（2）平面和平面平行：

两个平面没有公共点。

判定定理：

性质定理：

一个重要结论：

二、基础回顾：

1.如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：

EF∥平面ABCD.

方法一：

方法二：

说明：

欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。

2.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形且平面，E为PC的中点，求证：

PA//EBD。

三、考题训练：

例1.（2007全国）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面

分别为的中点．

（1）证明平面；

（2）设，求二面角的大小．

解法一：

（1）作交于点，则为的中点．

连结，又，

故为平行四边形．

，又平面平面．

所以平面．

（2）不妨设，则为等腰直角三角形．取中点，连结，则．

又平面，所以，而，

所以面．

取中点，连结，则．

连结，则．故为二面角的平面角

．

所以二面角的大小为．

解法二：

（1）如图，建立空间直角坐标系．

设，则

，．

取的中点，则．

平面平面，

所以平面．

（2）不妨设，则．

中点

又，，

所以向量和的夹角等于二面角的平面角．

．所以二面角的大小为．

（其中第2问放在后面求二面角部分讲解）

例2.（08安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点.

（Ⅰ）证明：

直线；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

方法一（综合法）

（1）取OB中点E，连接ME，NE

又

（2）

为异面直线与所成的角（或其补角），作连接

，

所以与所成角的大小为

（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

于点Q，

又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

，

，所以点B到平面OCD的距离为

方法二（向量法）

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,

（1）

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

（2）设与所成的角为,

与所成角的大小为

（3）设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

由,得.所以点B到平面OCD的距离为

四、能力提升

1.（08四川卷19）．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，

，

（Ⅰ）证明：

四点共面；

（Ⅱ）设，求二面角的大小；

【解1】：

（Ⅰ）延长交的延长线于点，由得

，延长交的延长线于

同理可得故，即与重合，因此直线相交于点，即四点共面。

（Ⅱ）设，则，，取中点，则，又由已知得，平面，故，与平面内两相交直线都垂直。

所以平面，作，垂足为，连结

由三垂线定理知为二面角的平面角。

故

所以二面角的大小

【解2】：

由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

（Ⅰ）设，则

故，从而由点，得

故四点共面

（Ⅱ）设，则，，在上取点，使，则，从而

又，在上取点，使，则

从而

故与的夹角等于二面角的平面角，

　　，所以二面角的大小

五、课堂小结：

1.“线//线”的证明方法

序号文字语言图形语言符号语言感悟

1公理4：

平行于同一直线的两直线平行

2线//面的性质定理：

3垂直于同一个平面的两直线平行

4面//面的性质定理

5平行四边形的对边分别平行

6三角形的中位线与它对应的底边平行

2.线//面的证明方法：

序号文字语言图形语言符号语言感悟

1线//面的判定定理：

2如果两个平面平行，其中一个平面内的一条直线与另一个平面平行

3.面//面的证明方法：

序号文字语言图形语言符号语言感悟

1判定定理

2推论

3垂直于同一直线的两直线平行

六、课外作业：

1.（2004天津）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，是PC的中点。

（1）证明平面EDB；

（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

点评：

本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，

方法一：

（1）证明：

连结AC、AC交BD于O。

连结EO

∵底面ABCD是正方形∴点O是AC的中点。

在中，EO是中位线∴

而平面EDB且平面，所以，平面EDB。

（2）解：

作交CD于F。

连结BF，设正方形ABCD的边长为。

∵底面ABCD∴∴F为DC的中点

∴底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。

在中，

∵∴在中

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

方法二：

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。

设

（1）证明：

连结AC，AC交BD于G。

连结EG。

依题意得，，

∵底面ABCD是正方形

∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为

∴

∴这表明

而平面且平面EDB∴平面EDB

（2）解：

依题意得，

取DC的中点连结EF，BF

∵，，

∴，∴，

∴底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。

在中，，

∴，所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。

七、板书设计：

八、教学反思：

9-2立体几何中的垂直问题

教学目标：

1.了解空间两条直线垂直的概念；

2.掌握空间中直线和平面垂直的判定和性质；

3.了解空间中两个平面垂直的判定和性质。

教学重点：

教学难点：

教学过程设计：

一、要点回顾

1.线线垂直的判定：

（1）利用线线平行：

一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条

（2）利用勾股定理逆定理

（3）利用等腰三角形性质

（4）利用平面图形性质

（5）线面垂直的性质：

（6）利用线面垂直、线面平行：

（7）利用三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。

（反之也成立—逆定理）

2.线面垂直判定

（1）判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

（2）判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。

（3）面面垂直的性质：

如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

（4）面面垂直推论:

如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线l垂直于另一个平面

（5）面面平行性质：

一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面

线面垂直性质

（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线

（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。

（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面

（6）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

（7）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直

3.

（1）面面垂直判定

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

推论:

如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直

（2）面面垂直性质

推论:

如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线l垂直于另一个平面

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：

（1）平行转化：

（2）垂直转化：

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：

有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

二、基础体验：

1、（06安徽文6）设均为直线,其中在平面α内，则“l⊥α”是“”的（A）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

2．（07四川卷）如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）

（A）平面（B）

（C）平面（D）异面直线与所成的角为60°

解：

异面直线与所成的角为45°，选Ｄ．

3.（08上海卷13）给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（C）条件

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

三、考题训练：

例1.（07全国2）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（Ⅰ）求证：

平面；（Ⅱ）求二面角的大小．

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，平面．

连结，在正方形中，分别为的中点，

，．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，

作于，连结，由（Ⅰ）得平面．

，为二面角的平面角．

在中，由等面积法可求得，

又，

．

所以二面角的大小为．

解法二：

（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立

空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．，．

，，

令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．

例2.如图,在底面为直角梯形的四棱锥

BC=6.

（Ⅰ）求证:

（Ⅱ）求二面角的大小.

解法一：

（Ⅰ）平面，平面．．

又，．

，，

，即．

又．平面．

（Ⅱ）连接．

平面．，．

为二面角的平面角．

在中，，

，，二面角的大小为．

解法二：

（Ⅰ）如图，建立坐标系，则，，，，，

，，，

，．，，

又，面．

（Ⅱ）设平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，，

解得．

，．二面角的大小为．

四、能力提升：

1.（08全国二19）如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：

平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解：

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．

依题设，．

，

．

（Ⅰ）因为，，

故，．

又，所以平面．

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．

故，．

令，则，，．

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．

五、课堂小结：

六、课外作业：

1.（08山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC,PC的中点.

（Ⅰ）证明：

AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.

解：

由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），

C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），

所以

设平面AEF的一法向量为

则因此取

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.

又=（-），所以cos＜m,＞=

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

2.（08陕西卷19）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．

（Ⅰ）证明：

平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小．

解：

（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则，

，．

点坐标为．

，．

，，

，，又，

平面，又平面，平面平面．

（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，

设平面的法向量为，则．

，

如图，可取，则，

，

即二面角为．

补充资料：

1.（07湖南）如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．

（I）求证：

平面平面；

（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．

本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解法1：

（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ）过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

依题意，所以：

在中，；

在中，，．，．

故当时，直线与平面所成的角为．

解法2：

（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由．

得可取，又，

于是，即，．

故交时，直线与平面所成的角为．

（07全国1）四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，。

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小。

（1）解法一：

作，垂足为，连结，

由侧面底面，

得底面．因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得．

解法二：

作，垂足为，连结，由侧面底面，

得平面．因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

因为，，

又，所以，，．

，，

，，所以．

（2），.与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．

，，

所以，直线与平面所成的角为．

七、板书设计：

八、教学反思：

9-3空间中直线、平面的位置关系

教学目标：

1.掌握空间中直线与直线、直线和平面、平面与平面的各种位置关系；

2.掌握立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的相互转换，并且能利用定理进行命题真假的判断。

教学重点：

1.直线和平面平行、垂直的判定定理和性质定理

2.平面和平面平行、垂直的判定定理和性质定理.

教学难点：

利用定理和一般结论判断所给命题的真假

教学过程设计：

一、要点回顾：

（1）平行转化：

（2）垂直转化：

二、基础体验：

1.（06北京卷）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（C）

（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面

（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

（C）若AB=AC，DB=DC，则AD=BC（D）若AB=AC，DB=DC，则ADBC

解：

A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾；C不正确，D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。

选C

2．（06天津卷）若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①；②；③．其中正确的命题有（　C　）

Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个

解：

若为一条直线，、、为三个互不重合的平面，下面三个命题：

①不正确；　②正确；

③正确，所以正确的命题有2个，选C.

3．（06上海卷）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（A）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

4．（06重庆卷）若是平面外一点，则下列命题正确的是（D）

（A）过只能作一条直线与平面相交（B）过可作无数条直线与平面垂直

（C）过只能作一条直线与平面平行（D）过可作无数条直线与平面平行

三、考题训练

1．（06辽宁卷）给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行；④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线。

其中假命题的个数是（　D　）

Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4

2．（06广东卷）给出以下四个命题:

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,

那么这条直线和交线平行;

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;

③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行;

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

解：

①②④正确，故选B.

3.（06福建卷）对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（C）

（A）若则　　（B）若则

（C）若则　　（D）若、与所成的角相等，则

4．（06湖北卷）6、关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：

①若且，则；　　②若且，则；

③若且，则；　　④若且，则；

其中真命题的序号是（D）

A．①②B．③④C．①④D．②③

解：

用排除法可得选D

5.（06福建）是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

①②

③④

其中，真命题的编号是_______①，④_________;（写出所有真命题的编号）

解：

是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

①,为真命题；②，为ie假命题；③为假命题；④为真命题，所以真命题的编号是①、④.

6．（07北京卷）平面平面的一个充分条件是（　　）

Ａ．存在一条直线

Ｂ．存在一条直线

Ｃ．存在两条平行直线

Ｄ．存在两条异面直线

解：

平面平面的一个充分条件是存在两条异面直线，选Ｄ．

四、能力提升

1．（07天津卷）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A．若与所成的角相等，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

解：

Ａ项中若与所成的角相等，则可以平行、相交、异面故错；Ｂ项中若，，则可以平行、异面故错；Ｃ项中若则可以平行、相交；而D项是对，因为此时所成的角与所成的角是相等或是互补的，则．

【分析】对于A当与均成时就不一定；对于B只需找个，且

即可满足题设但不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D.

2．（07重庆卷）垂直于同一平面的两条直线

（A）平行（B）垂直（C）相交（D）异面

解：

垂直于同一平面的两条直线平行.选A.

3．（07辽宁卷）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）

A．若，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，，则

解：

由有关性质排除A、C、D，选B.

4．（07江苏卷）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：

①②

③④

其中正确命题的序号是（）

A．①、③B．②、④C．①、④D．②、③

解：

②中，有可能是异面直线；③中，有可能在上，都不对，故选（C）。

五、课堂小结：

六、课外作业：

1．（07广东卷）若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

A．若，则B．若，则

C.若，则D．若，则

解：

对A，当∥，时，