高二数学下 125《双曲线的标准方程》教案1 沪教版.docx

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高二数学下125《双曲线的标准方程》教案1沪教版

2019-2020年高二数学下12.5《双曲线的标准方程》教案

（1）沪教版

　一、教学内容分析

本小节的重点是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.

本小节的难点是双曲线的标准方程的推导.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备.

二、教学目标设计

理解双曲线的定义;能推导双曲线的标准方程,掌握焦点在轴和轴上的双曲线的标准方程，会求给定条件下的双曲线的标准方程.通过对双曲线的标准方程的推导，巩固求动点的轨迹方程的一般方法.在与椭圆的类比学习中获得双曲线的知识，培养比较、分析、归纳、推理等能力.

三、教学重点及难点

双曲线的定义和双曲线的标准方程.

双曲线的标准方程的推导.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习回顾

思考并回答下列问题

1、椭圆的定义是什么？

2、椭圆定义中有哪些注意点？

3、椭圆的标准方程是怎样的？

二、讲授新课

1、概念引入

问题引入：

如果把椭圆定义中的和改成差:

或,即:

，其中动点的轨迹会发生什么变化呢？

①若

，则轨迹是线段的延长线；若

，则轨迹是线段的延长线；

②若

，则无轨迹；

③在条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.

[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现与的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验：

学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.

2、概念形成

⏹双曲线定义

定义：

平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距.

⏹双曲线定义中的注意点

在概念的理解中要注意：

（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于.

（2）当时，动点的轨迹是与对应的双曲线的一支，时为双曲线的另一支.

3、双曲线的标准方程的推导

可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．

如图8-12建系，设，取过点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设是所求轨迹上的点.

依已知条件有，，，，

移项得：

，

平方得：

（*）

再平方得：

，

即

，令

则，即

反之：

设是上的点，则，

=，，

∴当时，，，有

；

当时，，，有

综上：

焦点在轴上双曲线的标准方程是①，其中，焦点.

[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.对于证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”这一过程可以视学生的程度来定，这样可使推导过程更完整，思维更严谨，这一过程需在教师的引导下师生共同完成.

同样如果双曲线的焦点在y轴上（图8－13），那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？

焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点.

[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：

（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，

（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.

思考：

将方程推导过程中的方程（*）做变形可得

，即

，且，那么其中又蕴涵着怎样的几何意义呢？

思考其几何意义可知，双曲线上的点满足到定点的距离与到定直线的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点满足

，且，即点P到定点的距离与到定直线的距离之比是一个大于1的常数，则点P的轨迹是双曲线吗？

这个问题留给课后思考.

[说明]思考这个问题的目的是扩展学生的认知空间，与圆锥曲线的第二定义联系起来，使知识体系更系统化一些.这一问题是作为课后思考题让学生完成.

4、例题解析

例1课本P55例1.

[说明]本题主要是让学生正确理解双曲线的定义，熟悉双曲线的标准方程，标准方程中三个量的意义与方程的关系.

例2（补充）：

求满足下列条件的双曲线的标准方程.

（1）焦距为26，动点到两焦点的距离之差为24；

（2）已知双曲线过定点，且，求双曲线的标准方程.

（3）已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，在此双曲线上，求双曲线的标准方程.

[说明]本题主要帮助学生掌握根据给定条件确定双曲线的标准方程的方法，注意方程的形式与焦点位置的关系.使学生学会用方程的思想来确定双曲线的标准方程.

例3：

课本P56例2.

[说明]本题主要让学生应用双曲线定义解决有关实际应用问题，注意根据题设条件仅能得到双曲线的一支.利用两个不同的观察站测得同一爆炸点的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增加一个观察点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置了.

例4：

课本P56例3.

[说明]本题主要让学生学习利用双曲线的标准方程解决一些相关的简单几何问题.初步认识双曲线的标准方程的应用.

三、课堂小结

1.双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于.注意双曲线定义中“”，“绝对值”的词汇的定性描述.

2.双曲线的标准方程的特点是平方差，一般根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上.

3、比较与区分双曲线与椭圆的定义和标准方程的异同.

四、巩固练习

1．课本P57练习12.5

2．（补充）填空：

已知方程表示双曲线，则的取值范围是；若表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是.

3．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.

五、课后作业

1．练习册P29习题12.5A组1、2、3

2、练习册P29习题12.5A组4，B组1、2

六、教学设计说明

1、用类比联想的方法从椭圆的定义中提出新的问题，到两个定点的距离之差为正常数的点的轨迹是什么？

再通过探究解答问题，并提出双曲线的定义，这样可以使学生正确理解双曲线的概念，并能在学习中主动加强知识间的联系.特别注意双曲线定义中“”，“绝对值”的词汇的定性描述，当没有绝对值时，通常表示为双曲线的一支.在问题的探究过程中，可以设计学生的动手实验，增加学生的感性认识，培养学习的兴趣和主动参与的精神.

2、由于前一节学生接触了椭圆的标准方程的推导，对建、设、列、化、证等步骤有所熟悉，则双曲线的标准方程的推导过程可以在教师的引导下由学生尝试完成.特别是证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的过程可以由师生共同完成，以培养思维、论证的严密性.

3、本解课可以安排两节课时，第一节主要是理解双曲线的定义和正确推导双曲线的标准方程.可以完成例1、例3，课后作业完成1.第二节课主要是学习根据已知条件确定双曲线的标准方程，以及利用双曲线的方程解决简单几何问题.完成例2、例4和巩固练习.课后作业完成2.

4、运用对比教学的方法，使学生区分椭圆与双曲线的概念、标准方程、图形、三个量的异同.教师在课堂小结中可以设计一个表格，让学生填写内容.见下表：

名称

椭圆

双曲线

图象

定义

平面内到两定点的距离的和为常数2

（2）的动点的轨迹叫椭圆.即

当2﹥2时，轨迹是椭圆，

当2=2时，轨迹是一条线段

当2﹤2时，轨迹不存在

平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数2（）的动点的轨迹叫双曲线.即

当2﹤2时，轨迹是双曲线

当2=2时，轨迹是两条射线

当2﹥2时，轨迹不存在

标准方程

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

注：

是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上

焦点在轴上时：

焦点在轴上时：

注：

是根据项的正负来判断焦点所

在的位置

常数的关系

（符合勾股定理的结构）

，

最大，可以

（符合勾股定理的结构）

最大，可以

2019-2020年高二数学下12.6《双曲线的性质》教案

（1）沪教版

一、教学内容分析

本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.

本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.

二、教学目标设计

本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.

三、教学重点及难点

重点：

双曲线的性质.

难点：

双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习引入

1．观察

复习双曲线的定义、双曲线的标准方程（焦点位置）、标准方程中的意义（与椭圆对比）

2．思考

（类比椭圆）椭圆有哪些几何性质？

[说明]讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以采用类比的教学方法，让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究.

3．讨论

研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？

二、学习新课

1．概念辨析

以双曲线标准方程，为例进行说明.

1．范围:

观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：

双曲线在两条直线的外侧.

从双曲线的方程如何验证？

由标准方程可得，当时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

2.对称性：

双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心

3．顶点：

双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.（结合图形），所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a，a叫半实轴长

而在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点，在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b，b叫做虚半轴长

归纳：

顶点：

特殊点：

实轴：

长为2a，a叫做半实轴长.

虚轴：

长为2b，b叫做虚半轴长.

注意：

名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异

4．渐近线：

经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为.

（1）定义：

如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；

（2）直线与双曲线在无穷远处是否相交？

解：

不失一般性，只研究双曲线在第一象限内的部分

与直线的位置关系;

设是

上的点，是直线上与有相同横坐标的点，则,

，∴在的下方.

∴

，是关于的减函数，∴无限增大时，无限趋近于，而到直线的距离，∴无限增大时，也无限趋近于，但永不相交.其他象限类似证明；

（3）求法：

在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；

若方程为，则渐近线方程为.

2．问题拓展

（一）等轴双曲线

1、定义：

若a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线

2、方程：

或.

3、等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

；

（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：

当时交点在轴，当时焦点在轴上.

例：

等轴双曲线的两个焦点在直线上，线段的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.

（二）共轭双曲线

1、定义：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.

2、方程：

（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为;

（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;

3、性质：

有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；

4、注意：

（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如和；

（2）与（a≠b）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；

例如：

分清①、与②、③、④、⑤之间的关系.

（三）共渐近线的双曲线系方程

问题

（1）与;

（2）与的区别?

（1）不同（互换）相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线（共轭双曲线）;

（2）不同,不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此:

双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.

问题:

共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？

如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：

或写成.

当时交点在x轴，当时焦点在y轴上.

即:

双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.

证明：

若，则双曲线方程可化为，渐近线，双曲线的渐近线方程为，

∴两双曲线渐近线相同；

若，则双曲线方程可化为，渐近线，即，又∵双曲线的渐近线方程为，

∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.

[说明]与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．

3．例题分析

1、若双曲线以为渐近线,根据下列条件，分别求双曲线标准方程.

（1）且实轴长为；

（2）过点；（3）一个焦点坐标为.

解：

（1）设双曲线方程为,

当时焦点在x轴上，，双曲线方程;

当时焦点在y轴上，，双曲线方程;

（2）设双曲线方程为

将代入得，双曲线方程

（3）设双曲线方程为，因为焦点坐标为，所以，，双曲线方程为.

2、

（1）求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角；

（2）焦距为，两条渐近线包含双曲线的部分所成角为，求双曲线标准方程.

解：

（1）渐近线方程为，

，;

（2）当焦点在轴上时，方程为;

当焦点在轴上时，方程为.

三、巩固练习

1、中心在原点，一个焦点为（3，0），一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是.

2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.

3、求与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.

4、以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是.

四、课堂小结

双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是

或写成.

五、作业布置

1、习题册P363，4，5，6，7

2、补充作业

（1）求方程mx2＋ny2＋mn=0（m

翰林汇3

（2）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，求双曲线方程.

（3）求以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程.

七、教学设计说明

1．研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的，所以采用类比的教学方法，让学生在已有经验的基础上，研究双曲线并得出结论，比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题的能力.

2．渐近线是双曲线所特有的，证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零，是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程，或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容，所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程，加深学生对渐近线的认识.

3．等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线，通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质，开拓视野.