信号处理实验四离散傅里叶变换.docx
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信号处理实验四离散傅里叶变换
信号处理实验四离散傅里叶变换
哈尔滨工程大学
实验报告
实验名称：
实验四：
离散傅里叶变换
班级：
电子信息工程4班
学号：
姓名：
实验时间：
2016年10月19日
成绩：
________________________________
指导教师：
栾晓明
实验室名称：
数字信号处理实验室
哈尔滨工程大学实验室与资产管理处制
实验四离散傅里叶变换
一、实验原理
1.由DFT定义式：
k=0,1,…,N-1,将其写成矩阵方程表示为
利用MATLAB的矩阵运算功能，可编写出计算DFT的函数文件。
function[Xk]=dft（xn,N）
%计算离散傅里叶变换
%Xk=在0<=k<=N-1间的DFT系数数组
%xn=N点有限长序列
%N=DFT的长度
n=[0:
1:
N-1];
%n的行向量
k=[0:
1:
N-1];
%k的行向量
WN=exp（-j*2*pi/N）;
%Wn因子
nk=n'*k;
%产生一个含bk值的N乘N维矩阵
WNnk=WN.^nk;
%DFT矩阵
Xk=xn*WNnk;
%DFT系数的行向量
由IDFT定义式：
，n=0,1,2,…,N-1，利用MATLAB的矩阵运算功能，可编写出计算傅里叶反变换的函数文件。
function[xn]=idft（Xk,N）
%计算离散傅里叶反变换
%-----------------
%xn=在0<=n<=N-1
%Xk=N点有限长序列
%N=IDFT的长度
k=[0:
1:
N-1];
%k的行向量
n=[0:
1:
N-1];
%n的行向量
WN=exp（-j*2*pi/N）;
%Wn因子
nk=n'*k;
%产生一个含bk值的N乘N维矩阵
WNnk=WN.^nk;
%DFT矩阵
xn=Xk*WNnk;
%傅里叶反变换计算序列值
DFT的快速算法FFT利用了
的三个固有特性：
（1）对称性，
，
（2）周期性，
，（3）可约性，
和
。
FFT算法基本上可以分为两大类，即按时间抽选法（DIT，Decimation-In-Time）和按频率抽选法（DIF，Decimation-In-Frequency）。
MATLAB中提供了进行快速傅里叶变换的fft函数：
X=fft（x），基2时间抽取FFT算法，x是表示离散信号的向量；X是系数向量；
X=fft（x,N），补零或截断的N点DFT，当x的长度小于N时，对x补零使其长度为N，当x的长度大于N时，对x截断使其长度为N。
Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同，参考help文件。
2．利用DFT做连续信号的频谱分析
DFT（实际中用FFT计算）可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。
在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，由此可能引起分析误差。
（1）混叠效应
对连续信号进行频谱分析时，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用DFT（FFT）进行谱分析。
采样速率fs必须满足采样定理，否则会在w=π（对应模拟频率f=fs/2）附近发生频谱混叠现象。
（2）截断效应
处理实际信号序列x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗形成有限长序列y（n）=x（n）w（n）。
矩形窗函数其频谱有主瓣，也许许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。
时域的乘积对应于频域的卷积，所以，加窗后的频域实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延时到无穷。
当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这是无需畸变。
由此可见，阶段后频谱Y（ejw）与原序列频谱X（ejw）必然有差别，这种差别表现在：
a.频谱泄露。
原来序列x（n）的频谱是离散谱线，经截断后，原来离散谱线向附近展宽，成为泄露。
显然，泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低。
b.谱间干扰。
主谱线两边又很多旁谱，引起不同频率分量间干扰，这使谱分析产生较大偏差。
程度与窗函数幅度谱主瓣宽度直接相关。
（3）栅栏效应
N点DFT是频率区间[0,2π]上对时域离散信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数是看不见的。
这就好像从N个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到N个缝隙中看到的函数值。
由于栅栏效应，有可能漏掉大的频谱分量。
例3.1对连续的单一频率周期信号按采样频率
采样，截取长度N分别选N=20和N=16，观察其DFT结果的幅度谱。
解：
此时离散序列
，用MATLAB计算并作图，函数fft（）用于计算离散傅里叶变换DFT，程序如下：
k=8;
n1=[0:
19];
%序列点数20
xa1=sin（2*pi*n1/k）;
subplot（221）
stem（n1,xa1）
xlabel（'t/T'）;ylabel（'x（n）'）;
%图一：
序列图像
xk1=fft（xa1）;
%调用fft函数
xk1=abs（xk1）;
%取xk1绝对值
subplot（222）
stem（n1,xk1）
xlabel（'k'）;ylabel（'X（k）'）;
图二：
序列DFT图像
n2=[0:
1:
15];
%序列点数16
xa2=sin（2*pi*n2/k）;
subplot（223）
stem（n2,xa2）
xlabel（'t/T'）;ylabel（'x（n）'）;
xk2=fft（xa2）;
xk2=abs（xk2）;
subplot（224）
stem（n2,xk2）
xlabel（'k'）;ylabel（'X（k）'）;
二、实验内容
1．已知连续周期信号
（1）确定信号的基频
和基本周期.
（2）当信号长度取0.5Tp,1.5Tp,2Tp,时,对x（t）采样，利用FFT计算其幅度谱；对所得结果进行比较，总结应如何选取分析长度。
解：
（1）基频
=2
，基本周期T=1s
（2）采样频率
采样，0.5Tp
程序：
f=10;
%设置fs=10fa
n=[0:
4];
%设置分析长度为0.5Tp
xa=cos（10*pi*n/f）+2*sin（18*pi*n/f）;
%设置采样函数
subplot（211）
stem（n,xa）
xlabel（'t/T'）;ylabel（'x（n）'）;
%图一：
采样的结果
title（'采样结果'）
xk=fft（xa）;
%进行FFT变换
xk=abs（xk）;
%取X（k）的绝对值
subplot（212）
stem（n,xk）
xlabel（'k'）;ylabel（'X（k）'）;
%绘制出DFT结果
title（'幅度谱'）
采样频率
采样，1.5Tp时
将上述程序中n=[0,4]改为n=[0,14]即可
采样频率
采样，2Tp时
将上述程序中n=[0,4]改为n=[0,19]即可
结果分析：
有三图比较可知，当长度为2Tp时，采样信号频谱不发生泄露，故应取2Tp
2．对模拟信号
以采样间隔T=0.01s采样，分别取N=40，N=50，N=60得到x（n），用N点DFT得到
幅度谱的估计并比较结果
解：
T=0.01s,N=40时
程序：
T=0.01;
%采样间隔
N=40;
%采样点数
n=[0:
N-1];
xa=2*sin（4*pi*n*T）+5*cos（8*pi*n*T）;
%对信号进行采样
xk=fft（xa）;
%进行FFT变换
xk=abs（xk）;
%取X（k）的绝对值
stem（n,xk）
N=50时，将程序中N=40改为N=50即可
N=60时，将程序中N=40改为N=60即可
结果分析：
比较三图可以看出，由于采样点数不同的栅栏效应，采样点越多栅栏效应对频谱分量的影响越小，谱分析误差越小。
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