平方差公式.docx
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平方差公式
平方差公式
篇一：
初中平方差公式
平方差公式
一、学习目标
熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算
二、学习要求
1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。
2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。
3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。
4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。
三、例题分析
第一阶梯
[例1]我们来计算（a+b）（a-b）=a-ab+ab-b=a-b,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：
（1）（2x+3y）（2x-3y）
（2）（1+2a）（1-2a）（3）（2x+5y）（2x-5y）（4）（-a-b）（b-a）323222222222
提示：
刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如
（1）（2x+3y）（2x-3y）=（）2-（），第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
2
参考答案：
（1）（2x+3y）（2x-3y）=（2x）-（3y）=4x-9y2222
（2）（1+2a）（1-2a）=12-（2a）=1-4a22
（3）（2x+5y）（2x-5y）=（2x）-（5y）=4x-25y3232322264
（4）（-a-b）（b-a）=（-a-b）（-a+b）=（-a）-（b）=a-b22222222222244
说明：
平方差公式（a+b）（a-b）=a-b的特征是：
22
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：
即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：
①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式
②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
[例2]计算（a+b）和（a-b）,可知（a+b）
222=（a+b）（a+b）=a+ab+ab+b=a+2ab+b（a-b）=（a-b）（a-b）=a-ab-ab+b=a-2ab+b,即（a±b）=a±2ab+b，这就是说，222222222222
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
利用这两个公式计算
（1）（x+5）
（2）（2-y）（3）（3a+2b）
提示：
222
（5）（-a+2b）2
在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。
参考答案：
（1）（x+5）=x+2·x·5+5=x+10x+252222
（2）（2-y）=2-2·2·y+y=4-4y+y2222
（3）（3a+2b）=（3a）+2·3a·2b+（2b）=9a+12ab+4b
22222
（5）（-a+2b）=（-a）+2·（-a）·2b+（2b）=a-4ab+4b22222
说明：
1、（a+b）=a+2ab+b与（a-b）=a-2ab+b都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是：
左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）=a±b这样的错误。
[例3]计算（a+b）（a-ab+b）和（a-b）（a+ab+b），可知2222222222222
（a+b）（a-ab+b）=a-ab+ab+ab-ab+b=a+b,2222222333
（a-b）（a+ab+b）=a+ab+ab-ab-ab-b=a-b,即2232222333
（a±b）（aab+b）=a±b，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：
2233
（1）（x+2）（x-2x+4）;
（2）（3-y）（9+3y+y）;22
（3）（3x-4y）（9x+12xy+16y）;
（5）（3x-2y）（9x+6xy+4y）22422422
提示：
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。
参考答案：
（1）（x+2）（x-2x+4）=（x+2）（x-x·2+2）=x+2=x+8222333
（2）（3-y）（9+3y+y）=（3-y）（3+3·y+y）=3-y=27-y222333
（3）（3x-4y）（9x+12xy+16y）=（3x-4y）[（3x）+3x·4y+（4y）]=（3x）-（4y）=27x-64y
22223333
（5）（3x-2y）（9x+6xy+4y）=（3x-2y）[（3x）+3x·2y+（2y）]22422422222222
=（3x）-（2y）=27x-8y232366
说明：
1、注意对公式的理解和记忆
（1）项数特征：
两项乘三项→积为二项，
（2）符号特征：
二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯
[例1]利用乘法公式计算：
（1）（x+3）（x-3）（x+9）
（2）（a+b）（a-b）（a-b）222
（3）（x-2）（x+2）（x+4x+16）（4）（a-b）（a+ab+b）（a+ab+b）42226336
（1）小题可两次使用平方差公式；
（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；
（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式
（4）小题两次使用立方差公式。
参考答案：
（1）（x+3）（x-3）（x+9）=（x-9）（x+9）=（x）-9=x-812222224
（2）（a+b）（a-b）（a-b）=（a-b）（a-b）=（a-b）=（a）-2ab+（b）=a-2ab+b2222222222222224224
（3）（x-2）（x+2）（x+4x+16）=（x-4）（x+4x+16）=（x）-4=x-64422422336
（4）（a-b）（a+ab+b）（a+ab+b）=（a-b）（a+ab+b）=（a）-（b）=a-b226336336336333399
说明：
遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算：
（1）（a+b+c）（a-b-c）
（2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）
（3）（x+2y+z）（4）（2x-3y-4z）22
提示：
（1）
（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。
参考答案：
（1）（a+b+c）（a-b-c）=[a+（b+c）][a-（b+c）]=a-（b+c）=a-（b+2bc+c）22222
=a-b-2bc-c222
（2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a-（2b-3c）22
=a-（4b-12bc+9c）=a-4b-12bc-9c222222
（3）（x+2y+z）=[x+（2y+z）]=x+2x（2y+z）+（2y+z）=x+4xy+2xz+4y+4yz+z2222222
（4）（2x-3y-4z）=[2x-（3y+4z）]=（2x）-2·2x·（3y+4z）+（13y+4z）2222
=4x-4x（3y+4z）+（19y+24yz+16z）=4x-12xy-16xz+9y+24yz+16z222222
进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。
适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]，但得出的结果均相同。
2
[例3]利用乘法公式计算：
（1）（x+1）（x-1）（x+x+1）（x-x+1）22
（2）（a+b）（a-b）（a+ab+b）（a-ab+b）2222
提示：
（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式
（2）小题类似。
参考答案：
（1）解法一：
（x+1）（x-1）（x+x+1）（x-x+1）22
=（x-1）[（x+1）-x]2222
=（x-1）（x+2x+1-x）2422
=（x-1）（x+x+1）242
=（x-1）[（x）2+x-1+1]2222
=（x）-1233
=x-16
解法二：
（x+1）（x-1）（x+x+1）（x-x+1）22
=[（x+1）（x-x+1）[（x-1）（x+x+1）]22
=（x+1）（x-1）33
=（x）-1322
=x-16
（2）解法一：
（a+b）（a-b）（a+ab+b）（a-ab+b）2222
=（a-b）[（a+b）-（ab）]222222
=（a-b）（a4+2ab+b-ab）2222422
篇二：
平方差公式与完全平方差公式
平方差公式与完全平方公式
平方差公式：
（a?
b）（a?
b）?
a2?
b2
说明：
相乘的两个二项式中，a表示的是完全相同的项，+b和-b表示的是互为相反数的两项。
所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
熟悉公式：
（5+6x）（5-6x）中是公式中的a，是公式中的b
（5+6x）（-5+6x）中是公式中的a，是公式中的b
（x-2y）（x+2y）中是公式中的a，是公式中的b
（-m+n）（-m-n）中是公式中的a，是公式中的b
（a+b+c）（a+b-c）中是公式中的a，是公式中的b
（a-b+c）（a-b-c）中是公式中的a，是公式中的b
将下列各式转化成平方差形式
（1）36－x
（2）a－
2221222222b（3）x－16y（4）xy－z92222（5）（x+2）－9（6）（x+a）－（y+b）（7）25（a+b）－4（a－b）
例1：
计算下列各题
1.（a+3）（a-3）2..（2a+3b）（2a-3b）3.（1+2c）（1-2c）4.（-x+2）（-x-2）5.（a+2b）（a-2b）6.（2x+
例2：
计算下列各题：
1、1998×20022、1.01×0.993.（20-
例3：
：
计算下列各题
1、（a+b）（a-b）（a+b）2、（a+2）（a-2）（a+4）3、（x-22211）（2x-）2218）×（19-）991112）（x+）（x+）242
例4：
计算下列各题
1、（-2x-y）（2x-y）2、（y-x）（-x-y）3.（-2x+y）（2x+y）4.（4a-1）（-4a-1）
5.（b+2a）（2a-b）6.（a+b）（-b+a）
例5；计算下列各题
1.（a+2b+c）（a+2b-c）2.（a+b-3）（a-b+3）3.（m-n+p）（m-n-p）
完全平方公式
完全平方公式：
（a?
b）2?
a2?
2ab?
b2注意不要漏掉2ab项熟悉公式
22221、a+b=（a+b）=（a-b）
22222、（a-b）=（a+b）;（a+b）=（a-b）
223、（a+b）+（a-b）=
2--24、（a+b）（a-b）=
5.将下列各式转化成完全平方式形式
（1）a－4a＋4
（2）a－12ab＋36b（3）25x＋10xy＋y
（4）16a＋8a＋1（5）（m＋n）－4（m＋n）＋4（6）16a－8a＋1
（7）14x?
1?
49x
例1：
计算下列各题
2221、（x?
y）2、（3x?
2y）3、（a?
b）4、（?
2t?
1）242242222221
22
5、（?
3ab?
12231c）6、（x?
y）27、（x?
1）28、（0.02x+0.1y）23322
例2：
利用完全平方公式计算：
2222
（1）102
（2）197（3）98（4）203
例3：
（1）若x?
4x?
k?
（x?
2），求k值。
（2）若x?
2x?
k是完全平方式，求k值222
（3）已知a?
11?
3，求a2?
2的值aa
篇三：
完全平方公式和平方差公式
新瑞英无忧晚托七年级数学考试必备讲义
一、课程回顾
完全平方公式：
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。
（a?
b）2?
a2?
2ab?
b2（a?
b）2?
a2?
2ab?
b222（a?
b）?
（2a?
b）例:
计算
222a?
2ab?
b?
（a?
b）完全平方公式逆运算:
2例：
计算x?
8x?
16
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方
22（a?
b）（a?
b）?
a?
b差。
22a?
b?
（a?
b）（a?
b）平方差公式逆运算：
224x?
9y例：
1、计算
练习：
221、若4x?
kx?
1是一个完全平方式，则k=；若4x?
12x?
k是一个完全
平方式，则k=。
2、计算
4422x?
16yx?
81
（1）
（2）（3）x?
4x?
12
1（?
99）2248（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）+12（4）（5）（2-b）（-2-b）（6）
3、从前有一个很狡猾的地主把一块边长是a米的正方形地租给一个农民，到了第二年他告诉这个农民说：
“我把这块地的一边去掉4米，另一边加上4米，这样你租的地面积并没有变，所以你没有吃亏。
”这个农民想了想，觉得并没有吃亏就答应了。
你同意地主的说法吗？
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