五年级数学思维能力提升奥数讲义下册.docx
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五年级数学思维能力提升奥数讲义下册
数学思维能力提升（奥数）
（五年级下册）
**教育教学研发中心编
第1讲定义新运算
（一）………………………………………………………………………6
第2讲定义新运算
（二）………………………………………………………………………9
第3讲数的整除性
（一）………………………………………………………………………11
第4讲奇偶性
（一）…………………………………………………………………………15
第5讲质数与合数……………………………………………………………………………23
第6讲分解质因数……………………………………………………………………………25
第7讲最大公约数与最小公倍数
（一）……………………………………………………27
第8讲最大公约数与最小公倍数
（二）……………………………………………………29
第9讲余数问题………………………………………………………………………………32
第10讲孙子问题与逐步约束法………………………………………………………………34
第11讲位置原则………………………………………………………………………………39
第12讲最大最小………………………………………………………………………………42
第13讲多边形的面积…………………………………………………………………………46
第14讲用等量代换求面积……………………………………………………………………50
第15用割补法求面积…………………………………………………………………………53
第16讲列方程解应用题………………………………………………………………………56
第17讲行程问题
（一）………………………………………………………………………59
第18讲行程问题
（二）………………………………………………………………………62
第19讲抽屉原理
（一）…………………………………………………………………………72
第20讲抽屉原理
（二）…………………………………………………………………………74
第1讲定义新运算
（一）
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？
这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1对于任意数a，b，定义运算“*”：
a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：
根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
根据以上的规定，求10△6
的值。
3，x>=2，求x的值。
分析与解：
按照定义的运算，
<1，2，3，x>=2，
x=6。
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。
如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
分析与解：
按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。
按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解：
从已知的三式来看，运算“
”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得
3
5=3+33+333+3333+33333=37035。
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。
例6对于任意自然数，定义：
n！
=1×2×…×n。
例如4！
=1×2×3×4。
那么1！
+2！
+3！
+…+100！
的个位数字是几？
分析与解：
1！
=1，
2！
=1×2=2，
3！
=1×2×3=6，
4！
=1×2×3×4=24，
5！
=1×2×3×4×5=120，
6！
=1×2×3×4×5×6=720，
……
由此可推知，从5！
开始，以后6！
，7！
，8！
，…，100！
的末位数字都是0。
所以，要求1！
+2！
+3！
+…+100！
的个位数字，只要把1！
至4！
的个位数字相加便可求得：
1+2+6+4=13。
所求的个位数字是3。
例7如果m，n表示两个数，那么规定：
m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
解：
3¤（4¤6）¤12
=3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12
=3¤19¤12
=[4×19-（3+19）÷2]¤12
=65¤12
=4×12-（65+12）÷2
=9.5。
练习1
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。
求8*9的值。
2.已知a
b表示a除以3的余数再乘以b，求13
4的值。
3.已知a
b表示（a-b）÷（a+b），试计算：
（5
3）
（10
6）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P，Q，规定P☆Q=（P×Q）÷4。
例如：
2☆8=（2×8）÷4。
已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义：
a△b=ab-3b，a
b=4a-b/a。
计算：
（4△3）△（2
b）。
9.已知：
2
3=2×3×4，
4
5=4×5×6×7×8，……
求（4
4）÷（3
3）的值。
第2讲定义新运算
（二）
例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
分析与解：
这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。
但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。
a※b=（a+b）-（a-b）
=a+b-a+b=2b。
所以，9※2=2×2=4。
由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。
这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。
例2定义运算：
a⊙b=3a+5ab+kb，
其中a，b为任意两个数，k为常数。
比如：
2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。
问：
8⊙5与5⊙8的值相等吗？
（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，
即新运算“⊙”符合交换律？
分析与解：
（1）首先应当确定新运算中的常数k。
因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2
=65+2k，
所以由已知5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。
定义的新运算是：
a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，
5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。
（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，
3a+kb-3b-ka=0，
3×（a-b）-k（a-b）=0，
（3-k）（a-b）=0。
对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即 a⊙b=b⊙a。
例3对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x=27，求x的值。
分析与解：
（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；
（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。
因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。
所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28，29，30，33。
这四个数中只有30是6的倍数，所以6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。
因为a×b=[a，b]×（a，b），
所以6×x=30×3，由此求得x=15。
例4a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求：
a◎b；b◎c；c◎a。
分析与解：
a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。
对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。
比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。
因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
例5对任意的数a，b，定义：
f（a）=2a+1，g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；
（2）求f（g
（2））+g（f
（2））的值；
（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
解：
（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；
（2）f（g
（2））+g（f
（2））
=f（2×2）+g（2×2+1）
=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；
（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，
由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。
练习2
2.定义两种运算“※”和“△”如下：
a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，
a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。
比如：
4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。
计算：
[（0.6※0.5）+（0.3△0.8）]÷[（1.2※0.7）-（0.64△0.2）]。
4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，
并且2⊙3=0.75。
试确定常数A，并计算：
（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。
5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：
a表示顺时针旋转240°，
b表示顺时针旋转120°，
c表示不旋转。
运算“∨”表示“接着做”。
试以a，b，c为运算对象做运算表。
6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a
b。
比如7
3=1，5
29=4，4
20=0。
（1）计算：
1998
2000，（5
19）
19，5
（1
95）；
（2）已知11
x=4，x小于20，求x的值。
7.对于任意的自然数a，b，定义：
f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；
（2）已知f（g（x））=8，求x的值。
第3讲数的整除性
（一）
三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。
这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：
分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？
分析与解：
因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节，2000÷5=400，就有400节，
因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质
（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3现有四个数：
76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？
分析与解：
根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：
12=12×1=6×2=3×4。
要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；
（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；
（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。
容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第
（1）种情况不存在。
对于第
（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。
对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。
综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：
76550和76554，76552和76554，76551和76552。
例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
分析与解：
从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：
①各数位上的数字之和等于43；
②能被11整除。
因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。
有两种情况：
（1）五位数由一个7和四个9组成；
（2）五位数由两个8和三个9组成。
上面两种情况中的五位数能不能被11整除？
9，8，7如何摆放呢？
根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。
满足这些要求的五位数是：
97999，99979，98989。
例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
分析与解：
10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。
我们采用反证法。
假设题目的要求能实现。
那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。
实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。
这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。
练习3
1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？
2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？
3.173□是个四位数。
数学老师说：
“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：
数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
班有多少名学生？
6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
第4讲奇偶性
（一）
整数按照能不能被2整除，可以分为两类：
（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质：
（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。
反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。
任意多个偶数的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。
反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。
因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；
因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+…+1997+1998。
分析与解：
本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。
但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。
根据奇偶数的性质
（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。
1～1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。
所以，本题要求的和是奇数。
例2能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析与解：
等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。
5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。
例3任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。
那么，这两个五位数的和能不能等于99999？
分析与解：
假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：
其中组成两个加数的5个数码完全相同。
因为两个个位数相加，和不会大于9+9=18，竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。
同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。
所以组成两个加数的10个数码之和等于9+9+9+9+9=45，是奇数。
另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同，所以组成两个加数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶数。
奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。
例4在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。
请问：
握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？
请说明理由。
分析与解：
通常握手是两人的事。
甲、乙两人握手，对于甲是握手1次，对于乙也是握手1次，两人握手次数的和是2。
所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。
把聚会的人分成两类：
A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。
A类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。
又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢？
如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到B类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。
例5五
（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。
评分标准是：
答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。
试问：
这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？
分析与解：
本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。
因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。
因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。
练习4
1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？
2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。
这位同学的计算有没有错？
3.甲、乙两人做游戏。
任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。
游戏规则是：
若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。
请说明谁将获胜。
4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。
问：
写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？
5.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：
底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。
如果有333名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？
6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
试讲出理由。
7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。
有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？
第5讲质数与合数
自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：
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