小学数学简便运算和巧算.docx
《小学数学简便运算和巧算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学简便运算和巧算.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
小学数学简便运算和巧算
小学数学简便运算和巧算
一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。
（一）其方法有：
一：
利用运算定律、性质或法则。
（1）加法：
交换律，a+b=b+a,结合律，（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）减法运算性质：
a-（b+c）=a-b-c,a-（b-c）=a-b+c,a-b-c=a-c-b,（a+b）-c=a-c+b=b-c+a.
（3）:
乘法：
利用运算定律、性质或法则。
交换律，axb=bxa,结合律，（axb）xc=ax（bxc）,
分配率，（a+b）xc=axc+bxc,（a-b）xc=axc-bxc.
（4）除法运算性质：
a十（bxc）=a十b十c,a十（b十c）=a十bxc,a十b十c=a十c十b,
（a+b）宁c=a*c+b*c,（a-b）宁c=a*c-b宁c.
前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。
其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。
后面数值的运算符号不变。
例1:
283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600（运用加法交换律和结合律）。
减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。
例2：
657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。
）
例3：
195-（95+24）=195-95-24=100-24=76（运用减法性质）
例4;150-（100-42）=150-100+42=50+42=92.（同上）
例5：
（+125）x8=x8+125x8=6+1000=1006.（运用乘法分配律））
例6：
（）x8=125xx8=1000-2=998.（同上）
例7：
（）*=*。
（运用除法性质）
例8:
（450+81）*9=450*9+81*9=50+9=59.（同上，相当乘法分配律）
例9:
375-（125十）=375-125*=3*=.（运用除法性质）
例10:
-（0。
6X）二十十=7-=20.（同上）
例11:
12X125XX8=（125X8）X（12X=1000X3=3000（运用乘法交换律和结合律）
例12:
（175+45+55+27）-75=175-75+（45+55）+27=100+100+27=227（运用加法性质
和结合律）
例13:
（48X25X3）十8=48-8X25X3=6X25X3=450.（运用除法性质,相
当加法性质）
（5）和、差、积、商不变的规律。
1:
和不变:
如果a+b=c,那么，（a+d）+（b-d）=c,
2:
差不变:
如果a-b=c,那么，（a+d）-（b+d）=c,（a-d）-（b-d）=c
4:
商不变：
如果a-b=c,那么,
（a*d）*（b*d）=c,（a宁d）宁（b宁d）=c.
例14:
+=（）+（+）=+1=（和不变）
例15:
3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579（差不变）例16:
X+X36=X64+X36=X（64+36）=X100=746.（积不变和分配律）例17:
-=*4）-*4）=49-1=49.（商不变）。
:
拆数法:
1）凑整法,19999+1999+198+6=（19999+1）+（1999+1）+（198+2）+2=22202
（2）利用规律，X+XX
=X+X+X1992X-2005X=1992X2005X（10000+1）-2005X1992X
（10000+1）=0
:
利用基准数:
2072+2052+2062+2042+2083（=2062x5）+10-10-20+21=10311
四:
改变顺序，重新组合
1）:
（215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+58-571
215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40
（2）:
（378X5X25）X（4X十=378X5X25X4X十=（378十X（25X4）x（5
=100x100x4=40000
五:
1:
求等差连续自然数的和。
当加数个数为奇数时，有:
和=中间数x个数。
当加数个数为偶数时，有:
和=（首+尾）x个数的一半。
（1）:
3+6+9+12+15=9*5=45,
（2）:
1+2+3+4+……+10=（1+10）*10-2=55.
2:
求分数串的和。
因为1/n-1/n+1=1/n（n+1）,1/n+1/n+1=n+（n+1）/[n（n+1）].所以:
（1）:
1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11
=1/6-1/11=5/66
（2）:
5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。
。
。
。
。
。
+41/400-43/460
=（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-
（1/7+1/8）
。
。
。
。
。
。
+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11
3:
变形约分法。
求：
（+++）-（12+23+34+45的值。
因为分母各项是分子
各项的10倍。
所以有:
原式=
六:
设数法:
求（1++）*（++）-（1+++）*（+）
的值。
设a=+.b=++.原式=（1+a）*b-（1+b）*a
=b+ab-a-ab=b-a=++-+=.
（二）:
巧算的方法:
除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。
从而达到巧算的目的。
一:
利用数的整除特征和某些特殊规律。
特殊问题来求解。
重在一个“巧”。
（1）：
一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。
为什
麽
解；六位数abcabc=abcx1000+abc=abcX1001.1001=7x13X11.六位数abcabc必能被7、11、13整除。
（2）:
六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字几
解：
因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能
被3整除，a只能是2。
所以a,b,c分别是2,0,0。
（3）:
化简：
（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1-（888888X888888）
=8x8-（888888x888888）=1-（111111X111111）=1/.
（因为：
11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所
以。
。
。
。
。
。
）
二：
估算法：
求：
a=1-（1/1992+1/1993+1/1994+……+1/2003）的整数部分。
解：
用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。
假定除数部分各加数都是1/1992，则a=1-（12/1992）=166。
若除数部分各加数都是1/2003，则a=1-（12/2003）=166+11/12所以它的整数部分是166。
三：
正难则反法。
直接求解困难时，换个角度从反面求解。
（1）：
除了本身，合数7854321的最大因数是多少一般想法是将其分解质因数求之，但
这个数很大，做起来很繁琐。
巧解：
先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。
因为该数各位数字和能被3
整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：
7854321-3=261807。
（2）：
某厂人数在90110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5
列少2人；站
7列少4人，这厂有多少人
解：
按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：
该厂工人站
3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。
即求比3，5,7的
最小公倍数多3的数是多少。
【3,5,7】=105，105+3=108人。
这厂有108人。
四：
慎密的逻辑推理：
（1）：
幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。
每人分4块，正好分完。
这个
幼儿园有多少小朋友分了多少饼干
解：
一般用方程法：
设有x个小朋友。
5x-4x=27,x=27.饼干为：
27
X4=108块。
巧解：
每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友
为：
27-仁27个，饼干为：
27X4=108块
（2）:
某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，
乙剩下的是甲
剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带
一般用方程法：
设甲剩x台，乙剩3x台.（3x+164）-（x+164）=120,x=60,3x=180.
甲原有：
60+164=224盒，乙原有180+164=344盒。
推理巧解：
因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3倍，
这就转化为差倍问题了。
120-（3-1）=60。
60X3=180.甲原有：
60+164=224盒，乙原有：
180+164=344盒
（3）:
甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相
距140米。
如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少
解：
一般方法：
7/8:
6/7=49:
-（7/8-6/7）=7840,7840:
x=49:
48,x=76807840-7680=160米
推理巧解思路：
直接求甲到终点时比乙多走多少米。
甲走7/8时比乙多走140米
甲走1/8时比乙多走140/7=20米。
所以甲走8/8（全程）时，
比乙多走140+20=160米
（4）：
求分母为40以内所有自然数的真分数的和。
1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）
+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。
。
。
。
。
。
+39/40
解：
用通分法求和很繁琐。
通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺
次得到1、2
、3、4/oooooo39。
所以，（20X39）-2=390即为所求。
（5）：
一正方形,当竖边减少20%,横边增加2米时,得到的长方形面积与原正方形面积相等，求原正方形面积。
解：
一般思路：
因为正方形面积=边长X边长。
所以应先求边长。
.用方程解：
设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。
长方形的
宽为：
1X（1-20%）=80%个单位长度，长为：
一个单位面积十80%个单位长度=
个单位长度，与2米对应的单位长度为：
=个单位长度。
所以正方形边长（一个单位长度）=2宁=8米，正方形面积=8x8=64平方米。
很繁琐。
巧解思路：
因竖边减少20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增加2米，增
加的面积相等。
所以设原正方形边长为x米，则：
20%xXx=80%xX2x=8米。
正方形面积=8X8=64平方米.
（6）：
某班有40名学生，考数学时有2人缺考，这38人平均分数是89，这2名学生
补考后，两人的平均成绩比全班40人的平均成绩多分，这两人的平均成绩
是多少解：
一般从求平均数的共识考虑，用方程解：
设这两人的平均成绩为x,则：
x-（89*38+2x）宁40=,x=99.
推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。
这两人的平均分数比全班平均分
数多分，把X2=19补给38名学生，每人增加分，所以这两人平
均
分数为：
89++=99。
五：
注意一般解法的特殊形式：
（1）:
求平均数的一般方法：
公式法，平均数=总数量十总份数。
但当份数相等时，
巧解法：
平均数=（第一份数量+第二份数量+。
。
。
。
。
。
+第n份数量）
宁份数。
如：
某人晨练，第一个5分钟的速度是100米/分，第二个5分钟的速度是110米/分，
求他这10分钟内的平均速度
一般解法：
平均数=（100X5+110X5）十（5+5）=105米/分
因为“份数”相同，可巧解：
平均数=（100+110）十2=105米/分。
（2）：
甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100千米的两地出发相向而行，甲速度为6千米/小时，乙速为4千米/小时，狗速为10千米/小时，狗碰到乙时
就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。
。
。
。
。
。
直到甲乙两人相遇。
这狗走了多少米
解：
若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。
。
。
。
。
。
相遇时走的路程，再加起来是很困难的。
一般巧解方法是：
从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间
=100-（4+6）=10小时，狗走的路程=10X10=100
千米.
这还不算巧，更巧的方法是：
从题意可知：
甲乙速度和=狗速，并且走
的时间相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米。
总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。
（三）总练习题（用简便方法计算1--16题，用多种方法计算17--30题，并指出最巧方法。
17—30题只给出巧解答案。
）
（I）925-28-72+75
（2）（64X125）-（16X28）（3）-25⑷55
X55/56（5）+++
（6）1-（55555X55555）（11X11=121,111X11仁12321,1111X
1111=1234321）
（7）18X5/7-5X4/7（8）999X222+333X334（9）XX十X十4）
（10）X64+X65
（II）*[-]（12）43*+860*（13）（9+2/7+7+2/9）-（5/7+5/9）
（14）1/2+1/6+1/12+1/20+1/30（15）（1+1/2+1/3+。
。
。
。
。
。
+1/1999）
X（1/2+1/3+1/4+。
。
。
。
。
。
+1/2000
）-（1+1/2+1/3++1/2000）
（1/2+1/3+1/4+1/1999）
（15）4327-98（16）求：
5+10+15+20+。
。
。
。
。
。
+200的和
（17）比较9/10和11/12的大小。
（提示：
有比较分子、比较分母、比较与1的差、比较它们的倒数、变成整数比较和用真分数特点比较等方法。
但最巧的比较方法是用“规律”比较：
分子分母都相差1时，分母大的分数大。
）
（18）比较：
2222221/2222223和3333331/3333334的大小。
（提示：
巧法是先比较他们与1的差。
）
（19）某厂工人植树，若每人植5棵，剩50棵，若每人植6棵，差40棵。
这厂有多少工人他们共植多少棵树
巧解：
由题意可知，每人多种1棵，就多种50+40=90棵，所以这场工人有90-仁90人，共植5*90+50=500棵。
（20）张老师用216元买钢笔奖励学生，若每支便宜1元，可多买3支，钢笔原价是多少
巧解：
因为总价=单价X数量，所以把216分解成两个数相乘有2和
108、3和72、4和54、6和36、8和27、9和24。
根据题意，从后两组数可知每支笔原价是9元。
（21）王华和李明在银行都有存款，原来王比李少1/6，每人捐出20元后，李比王多25%，两人原来存款各是多少
巧解：
由王比李少1/6可知；李存款是他两存款差的6倍，由李比王多25%可知，捐出20元后李存歀是他两存款差的5倍，捐款前后“差”不变，李捐出20元后，自己的钱变成“差”的5倍，所以“差”是20元。
李原有钱为20*6=120元。
王原有钱120-20=100元。
（22）甲乙两消防队共有338人，从甲队调出1/3，从乙队调出1/7的和是78人，甲乙两队各有多少人
巧解：
假设甲乙调出的人数都扩大到3倍，则共调出78X3=234,原消防队只剩乙队的4/7,所以原乙消防队有：
（338-234）-4/7=182人，原甲队有338-182=156人。
（23）猴吃桃，第一天吃了全部的1/9，第二天吃余下的1/8，第三天吃又余下的1/7。
。
。
。
。
。
。
第八天吃余下的1/2，第九天吃了一个正好吃完，原有桃多少个
巧解：
从题意可知：
每天都吃了总数的1/9，（第二天吃8/9X1/8=1/9,第三天吃7/9*1/7=1/9……）,所以桃子总数为：
1十1/9=9个。
（24）妈妈给上衣缝纽扣，若每天缝15件，比规定日期晚2天，每天缝18件，就可提前3天，这批上衣是多少件
巧解：
按工程问题做：
（2+3）-（1/15-1/18）=450件。
（25）：
一架飞机的燃料最多可用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/小时，返回时逆风，速度为1200千米/小时，飞机最多飞出多远就要往回飞
巧解：
按工程问题（相遇问题）思路来解答。
按题意转化为往返多少千米用6小时。
6-（1/1500+1/1200）=4000千米。
（26）：
某人卖商品，第一天按11元/个的利润卖出10个，第二天是五一，按5元/个的利润卖出11个，两天卖出的总价（营业总额）相同，求该商品的进价
巧解：
因为总价=（利润+进价）X个数。
第一天利润为11X10=110元，第二天若卖10个，利润为5X10=50元，总额少60元，多卖出一个，利润仅为5X11=55元，第二天少得利润60-5=55元，所以，一件商品的进价为55元。
（27）一农民死前立遗嘱：
要把17头牛分给三个儿子，大儿子得1/2，二儿子得1/3，三儿子得1/9，（不得杀或卖）三个儿子不会分，你应如何分
巧解：
17不是2、3、9的倍数，不能安分率分配，应把三个分率看成分牛时每人得的份数。
1/2:
1/3:
1/9=9:
6:
2，所以：
17-（9+6+2）=1头，三个儿子分别应分：
9头，6头，2头。
另一巧解方法是：
三个分率的分母最小公倍数是18，可以18头牛为单位“1”，进行分配。
18X1/2=9,18X1/3=6,18X1/9=2
（28）学校买进一批白色、彩色粉笔，白色是彩色的3倍，开学后平均每周用36盒白色的、8盒彩色的。
几周后，白色的用完，彩色的还剩36盒，原来购进白、彩粉笔各多少盒
巧解：
因为白是彩的3倍，若每周按比例白36盒，彩12盒使用，則同时用完，现在每周少用彩笔12-8=4盒，可见用了36十4=9周，所以白色粉笔为：
36X9=324盒，彩色粉笔为：
8X9+36=108盒。
（29）前六
（2），若甲、乙速度不变，狗速变为15千米/小时，甲乙两人相遇时，狗跑了多少千米巧解：
因为狗与两人运动时间相同，所以，路程和时间成正比.x/100=15/10,x=150千米。
（30）某蓄水池长、宽、深分别为10米、8米、3米。
一进水管以小时使水深达米的速度往池内放水，多少时间可放满水池
巧解：
思路：
水深达到3米，就满池了。
因为放水速度不变，所以水深与时间成正比，3/=x/x=6小时。
或3*（*）=6小时。
同学们：
快来看博客上的文章吧，它有助于你分析问题和解决问题能力的提高，大大提高你学习新知识、复习旧知识的效率。
老师们：
快来看吧，看后会使你增加一些引导学生“复习知识”的方法，从而提高复习效率。
文中不妥之处，诚请指正。
谢谢。
加法类似）：
交换律，a*b=b*a,结合律，（a*b）*c=a*（b*c）,
分配率，（a+b）xc=ac+bc,（a-b）Xc=ac-bc.
（4）除法运算性质：
（与减法类似），a*（bXc）=a*b*c,a*（b*c）=a*bxc,a*b*c=a*c*b,
（a+b）宁c=a*c+b*c,（a-b）宁c=a*c-b宁
c.前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化
的。
其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。
后面数值的运算符号不变。
例1:
283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。
（运用加法交换律和结合律）。
减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。
例2:
657-263-257=657-257-263=400-263=147.
（运用减法性质，相当加法交
换律。
）
例3:
195-（95+24）=195-95-24=100-24=76
（运用减法性质）
例4;150-（100-42）=150-100+42=50+42=92.
（同上）
例5:
（+125）X8=X8+125X8=6+1000=1006.（运用乘法分配律））
例6:
（）X8=125XX8=1000-2=998.（同上）
例7:
（）*=*。
（运用除法性质）
例8:
（450+81）*9=450*9+81*9=50+9=59.（同上，相当乘法分配律）
例9：
375*（125*）=375*125*=3*=.（运用除法性质）
例10:
*（0。
6X）=**=7*=20.（同上）
例11:
12X125XX8=（125X8）X（12X=1000X3=3000.（运用乘法交换律和结
合律）
例12:
（175+45+55+27）-75=175-75+（45+55）+27=100+100+27=227.（运用加法性
质和结合律）
例13:
（48X25X3）*8=48*8X25X3=6X25X3=450.（运用除法性质,相
当加法性质）
（5）和、差、积、商不变的规律。
1:
和不变:
如果a+b=c,那么，（a+d）+（b-d）=c,
2:
差不变:
如果a-b=c,那么，（a+d）-（b+d）=c,（a-d）-（b-d）=c
3:
积不变:
如果a*b=c,那么,（a*d）*（b*d）=c,
4:
商不变：
如果a宁b=c,那么，（a*d）*（b*d）=c,（a宁d）宁（b宁d）=c.
例14:
+
升级会员 