小学数学简便运算和巧算.docx

1、小学数学简便运算和巧算小学数学简便运算和巧算一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、 性质、 或数量间的特殊关系进性较快 的运算这就是简便运算。(一)其方法有： 一：利用运算定律、性质或法则。(1)加法：交换律， a+b=b+a, 结合律， (a+b)+c=a+(b+c).(2)减法运算性质： a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b, (a+b)-c=a-c+b=b-c+a.(3): 乘法：利用运算定律、性质或法则。交换律，ax b=bx a,结合律，(ax b)x c=ax (b x c),分配率，(a+b)x c=ax c+bx c, (a-b)

2、x c=ax c-b x c.(4)除法运算性质：a十(b x c)=a十b十c, a 十(b十c)=a十bx c, a 十b十c=a十c十b,(a+b) 宁 c=a* c+b* c, (a-b) 宁 c=a* c-b 宁 c.前边的运算定律、 性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。 其规 律是同级运算中， 加号或乘号后面加上或去掉括号， 。后面数值的运算符号不变。例 1:283+52+117+148=( 283+117) +( 52+48) =400+200=600(运用加法交换律 和结合律)。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。例 2：657-263-257=6

3、57-257-263=400-263=147. (运用减法性质，相当加法交换 律。)例 3：195- ( 95+24) =195-95-24=100-24=76 (运用减法性质)例 4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92. ( 同上 )例 5：( +125)x 8=x 8+125x 8=6+1000=1006. ( 运用乘法分配律 )例 6：( )x 8=125xx 8=1000-2=998. ( 同上 )例 7：()* =*。( 运用除法性质)例 8: (450+81) * 9=450* 9+81* 9=50+9=59. ( 同上，相当乘法分配律 )例 9:

4、375 -(125十)=375- 125*=3*=.(运用除法性质)例 10:-( 0。6X)二十十=7- =20.(同上)例 11: 12X 125XX 8=(125 X 8) X (12 X =1000X 3=3000(运用乘法交换律和结合 律)例 12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227( 运用加法性质和结合律)例 13:( 48X 25X 3)十 8=48-8X 25X 3=6X 25X 3=450.(运用除法性质,相当加法性质 )( 5)和、差、积、商不变的规律。1 :和不变:如果 a+b=c, 那么，( a+d)

5、+(b-d)=c,2: 差不变:如果 a-b=c, 那么，( a+d) -(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c4:商不变：如果a - b=c,那么,(a*d )* (b*d)=c, (a 宁 d)宁(b 宁 d)=c.例 14: +=() +( +) =+1=(和不变)例 15: 3576-2997=( 3576+3) - ( 2997+3) =3579-3000=579(差不变) 例 16: X +X 36=X 64+X 36=X (64+36)= X 100=746.( 积不变和分配律) 例 17: - =*4) - *4)=49 - 1=49.(商不变)。:拆数法:1)凑整法,

6、19999+1999+198+6=(19999+1) +(1999+1)+(198+2)+2 =22202(2)利用规律，X +X X= X+X+X 1992X-2005X=1992X2005X(10000+1)-2005 X1992X(10000+1)=0:利用基准数: 2072+2052+2062+2042+2083(= 2062x5) +10-10-20+21=10311四:改变 顺序，重新组合1): (215+357+429+581) -(205+347+419+571) =215+357+429+58-571215-205) +(429-419) + (357-347) +(581-

7、571) =40(2):( 378X 5X 25)X (4 X 十=378X 5X 25X 4X 十=(378 十 X (25 X 4)x(5=100x100x4=40000五: 1:求等差连续自然数的和。当加数个数为奇数时 ， 有:和 =中间数 x 个 数。 当加数个数为偶数时，有:和 =(首 +尾) x 个数的一半。(1):3+6+9+12+15=9*5=45, (2):1+2+3+4+ +10=(1+10)*10 -2=55.2: 求分数串的和。 因为 1/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1). 所以:(1):1/42+1/56+1/72+

8、1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11=1/6-1/11=5/66( 2): 5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+ 。 +41/400-43/460= (1/2+1/3) -(1/3+1/4) +(1/4+1/5) -(1/5+1/6 ) +(1/6+1/7 ) -( 1/7+1/8 )。 +(1/20+1/21 ) -(1/21+1/22 ) =1/2-1/22=5/113 :变形约分法。求：(+)-( 12+23+34+45的值。因为分母各项是分子各项的 10倍。所以有:原式 =六:设数法:求(

9、 1+)*(+)-(1+)*(+)的值。 设 a=+ . b=+. 原式 =( 1+a)*b-(1+b)*a=b+ab-a-ab=b-a=+-+=.(二):巧算的方法:除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目(特 别是应用题)中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一 般问题转化为特殊问题， 以小见大，以少见多，以简驭繁。 从而达到巧算的目的。 一:利用数的整除特征和某些特殊规律。特殊问题来求解。重在一个“巧”。(1)：一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被 7、11、13 整除。为什麽解；六位数 abcabc=abcx 1000+abc=abcX 1001. 1001

10、=7 x 13X 11. 六位数abcabc必能被7、11、13整除。(2) :六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字 几解：因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各 位数字和应能被3整除，a只能是2。所以a,b,c分别是2 ,0 ,0 。(3):化简：(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1 -( 888888X 888888)=8 x 8- (888888 x 888888)=1-( 111111X 111111) =1/.( 因为： 11*11=121,111*111=12321,1111*1111=12343

11、21, 所以。 )二：估算法： 求：a=1 -(1/1992+1/1993+1/1994+ +1/2003)的整数部分。解：用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。假定除数部分各加数都是1/1992，则a=1 - (12/1992)=166。 若除数部分各加数都是 1/2003，则 a=1-(12/2003)=166+11/12 所以它的整数部分是 166。三：正难则反法。直接求解困难时，换个角度从反面求解。(1)：除了本身， 合数 7854321 的最大因数是多少一般想法是将其分解质因 数求之，但这个数很大，做起来很繁琐。巧解：先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。 因为该数

12、各位 数字和能被 3整除，所以这个数的最小因数是 3，最大因数是： 7854321-3=261807。( 2)：某厂人数在 90 110 之间，做工间操排队时，站 3 列正好；站 5列少 2 人；站7 列少 4 人，这厂有多少人解： 按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为： 该厂工人站3 列多 3人；站 5列多 3人；站 7列多 3人求这厂人数的问题。即求 比 3， 5,7 的最小公倍数多 3 的数是多少。【 3,5,7 】=105， 105+3=108 人。这厂 有 108 人。四：慎密的逻辑推理：(1)：幼儿园的小朋友分饼干，每人分 5块，则差 27块。每人分 4 块，正

13、好分完。这个幼儿园有多少小朋友分了多少饼干解：一般用方程法： 设有 x 个小朋友。 5x-4x=27, x=27. 饼干为： 27X 4=108块。巧解：每人分 4 块，正好分完，每人多分一块( 5 块)差 27块， 说明小朋友为：27-仁27个，饼干为：27X 4=108块(2): 某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少 120 盒，各卖出 164 盒后，乙剩下的是甲剩下的 3 倍，求原来两台各有多少盒磁带一般用方程法：设甲剩 x 台，乙剩 3x 台. (3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180.甲原有： 60+164=224盒， 乙原有 180+164=344盒。推理

14、巧解：因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少 120 盒，乙 是甲的 3 倍，这就转化为差倍问题了。 120-( 3-1 ) =60。60X 3=180. 甲原有： 60+164=224盒， 乙原有： 180+164=344盒(3): 甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的 7/8 时，乙骑到全案程 6/7 ， 这时两人相距 140 米。如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少解：一般方法：7/8:6/7=49: - (7/8-6/7 )=7840 , 7840:x=49:48, x=7680 7840-7680=160 米推理巧解思路：直接求甲到终点时比乙多走多少米。甲走 7/8 时

15、比乙多 走 140 米甲走 1/8 时比乙多走 140/7=20 米。所以甲走 8/8(全程) 时，比乙多走 140+20=160米(4)：求分母为 40 以内所有自然数的真分数的和。 1/2+ ( 1/3+2/3 ) + ( 1/4+2/4+3/4 )+ ( 1/5+2/5+3/5+4/5 ) +。 +39/40解：用通分法求和很繁琐。通过分析数量关系可知，每个加数乘以 2，可顺次得到 1、 2、3、4/ oooooo 39。所以，(20 X 39) - 2=390 即为所求。( 5)：一正方形,当竖边减少 20%,横边增加 2 米时,得到的长方形面积与原 正方形面积相等，求原正方形面积。解

16、：一般思路：因为正方形面积=边长X边长。所以应先求边长。. 用方程解：设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。长方形的宽为：1X (1-20%)=80%个单位长度，长为：一个单位面积十 80%个 单位长度 =个单位长度，与2米对应的单位长度为：=个单位长度。所以正方 形边长(一个单位长度)=2宁=8米，正方形面积=8x8=64平方米。 很繁琐。巧解思路：因竖边减少 20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增 加 2 米，增加的面积相等。 所以设原正方形边长为 x 米，则：20%x X x=80%x X 2 x=8 米。正方形面积=8X 8=64平方米.（6）：某班有 40名学生，考数

17、学时有 2人缺考，这 38人平均分数是 89， 这 2 名学生补考后，两人的平均成绩比全班 40 人的平均成绩多分， 这两人的平 均成绩是多少 解：一般从求平均数的共识考虑，用方程解：设这两人的平均成绩 为 x, 则：x-（89*38+2x） 宁 40=, x=99.推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质） 。这两人的平均分数 比全班平均分数多分，把X 2=19补给38名学生，每人增加分，所以这两人平均分 数为： 89+=99。五：注意一般解法的特殊形式：（1）:求平均数的一般方法：公式法，平均数=总数量十总份数。但当份数 相等时，巧解法： 平均数=（第一份数量 +第二份数量 +。 +第 n 份

18、数量）宁份数。如： 某人晨练， 第一个 5分钟的速度是 100米/分，第二个 5分钟的速度 是 110 米 / 分，求他这 10 分钟内的平均速度一般解法：平均数=（100X 5+110X 5）十（5+5）=105米/分因为“份数”相同，可巧解：平均数 =(100+110)十2=105米/分。(2)：甲(带着一条狗)乙两人同时从相距 100千米的两地出发相向而行，甲 速度为 6千米/小时，乙速为 4千米/小时， 狗速为 10 千米/小时， 狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。直到甲乙两人相遇。这狗走 了多少米解：若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。相遇时走的路程， 再加起来是很困难的

19、。一般巧解方法是：从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间， 所以狗走的时间=100 -(4+6) =10 小时， 狗走的路程=10X 10=100千米.这还不算巧，更巧的方法是：从题意可知：甲乙速度和 =狗速，并且走的时间相同，所以，甲乙共走的路程就 =狗走的路程 =100千米。总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。(三) 总练习题(用简便方法计算 1-16 题，用多种方法 计算 17-30 题，并指出最巧方法。17 30 题只给出巧解答案。)(I) 925-28-72+75 (2)( 64 X 125) - (16 X 28) (3) - 25 55X 55/56 (5)+(

20、6)1 -( 55555X 55555) (11X 11=121, 111 X 11 仁 12321, 1111 X1111=1234321 )(7)18 X 5/7-5 X 4/7 (8)999 X 222+333X 334 (9) XX 十 X 十 4)(10) X 64+X 65(II)* - (12)43*+860* (13)(9+2/7+7+2/9) - (5/7+5/9)(14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30 ( 15) (1+1/2+1/3+ 。 +1/1999)X( 1/2+1/3+1/4+ 。+1/2000)-(1+1/2+1/3+ +1/2000)（1/2+1

21、/3+1/4 +1/1999）（15）4327-98 （16）求： 5+10+15+20+。 +200的和（17）比较 9/10 和 11/12 的大小。（提示：有比较分子、比较分母、比较 与 1 的差、比较它们的倒数、 变成整数比较 和用真分数特点比较等方法。 但最 巧的比较方法是用“规律”比较：分子分母都相差 1 时，分母大的分数大。）（18）比较： 2222221/2222223 和 3333331/3333334 的大小。（提示：巧法 是先比较他们与 1 的差。）（19）某厂工人植树，若每人植 5棵，剩 50棵，若每人植 6棵，差 40棵。 这厂有多少工人他们共植多少棵树巧解：由题意可

22、知，每人多种 1 棵，就多种 50+40=90棵，所以这场工 人有90 -仁90人，共植5*90+50=500棵。（20）张老师用 216 元买钢笔奖励学生，若每支便宜 1元，可多买 3支，钢 笔原价是多少巧解：因为总价=单价X数量，所以把216分解成两个数相乘有2和108 、3 和 72 、4 和 54 、6 和 36 、8 和 27 、 9 和 24。根据题意，从后两组 数可知每支笔原价是 9 元。（21）王华和李明在银行都有存款，原来王比李少 1/6，每人捐出 20元后， 李比王多 25%，两人原来存款各是多少巧解：由王比李少 1/6 可知 ；李存款是他两存款差的 6 倍，由李比王 多

23、25%可知，捐出 20 元后李存歀是他两存款差的 5 倍，捐款前后“差”不变， 李捐出 20元后，自己的钱变成“差”的 5 倍，所以“差”是 20 元。李原有钱为 20*6=120 元 。王原有钱 120-20=100 元。（22） 甲乙两消防队共有 338人，从甲队调出 1/3 ，从乙队调出 1/7 的和是 78 人，甲乙两队各有多少人巧解：假设甲乙调出的人数都扩大到 3倍，则共调出78X 3=234,原 消防队只剩乙队的4/7 ,所以原乙消防队有：（338-234）-4/7=182人，原甲队 有 338-182=156 人。（23）猴吃桃，第一天吃了全部的 1/9 ，第二天吃余下的 1/8

24、 ，第三天吃又 余下的 1/7 。第八天吃余下的 1/2 ，第九天吃了一个正好吃完，原 有桃多少个巧解：从题意可知：每天都吃了总数的 1/9 ， （第二天吃 8/9X 1/8=1/9, 第三天吃7/9*1/7=1/9）, 所以桃子总数为：1十1/9=9个。（24） 妈妈给上衣缝纽扣，若每天缝 1 5件，比规定日期晚 2 天，每天缝 18 件，就可提前 3 天，这批上衣是多少件巧解：按工程问题做：（2+3）-（ 1/15-1/18 ） =450件。（25）：一架飞机的燃料最多可用 6 小时，飞机去时顺风，速度为 1500 千米/小时，返回时逆风，速度为 1200千米/ 小时，飞机最多飞出多 远就

25、要往 回飞巧解：按工程问题（相遇问题）思路来解答。按题意转化为往返多少 千米用 6 小时。6-（ 1/1500+1/1200 ） =4000千米。（26）：某人卖商品，第一天按 11 元/ 个的利润卖出 10 个，第二天是五 一，按 5 元/个的利润卖出 11 个，两天卖出的总价（营业总额）相同，求该商品 的进价巧解：因为总价=（利润+进价）X个数。第一天利润为11X 10=110 元，第二天若卖 10个，利润为 5X 10=50元，总额少 60元，多卖出一个，利润 仅为 5X 11=55元，第二天少得利润 60-5=55 元，所以，一件商品的进价为 55 元。（ 27）一农民死前立遗嘱：要把

26、 17 头牛分给三个儿子，大儿子得 1/2 ，二 儿子得 1/3 ，三儿子得 1/9 ，（不得杀或卖）三个儿子不会分，你 应如何分巧解： 17 不是 2 、3 、9 的倍数，不能安分率分配，应把三个分率 看成分牛时每人得的份数。 1/2:1/3:1/9=9:6:2 ，所以：17 -( 9+6+2) =1头，三个儿子分别应分：9头，6头，2头。另一巧解方法是：三个分率的分母最小公倍数是 18，可以 18 头牛为 单位“ 1”，进行分配。18X 1/2=9,18 X 1/3=6,18 X 1/9=2(28) 学校买进一批白色、 彩色粉笔， 白色是彩色的 3 倍，开学后平均每周 用 36 盒白色的、

27、 8 盒彩色的。几周后，白色的用完，彩色的还剩 36 盒，原来购 进白、彩粉笔各多少盒巧解：因为白是彩的 3 倍，若每周按比例白 36盒，彩 12盒使用，則 同时用完，现在每周少用彩笔12-8=4盒，可见用了 36十4=9周，所以 白色粉笔 为： 36X 9=324盒， 彩色粉笔为： 8X 9+36=108盒。(29)前六(2) ，若甲、乙速度不变，狗速变为 15千米/ 小时，甲乙两人 相遇时，狗跑了多少千米 巧解：因为狗与两人运动时间相同，所以，路程和时间成正比 . x/100=15/10, x=150 千米。( 30)某蓄水池长、宽、深分别为 10 米、8 米、3 米。一进水管以小时使 水

28、深达米的速度往池内放水，多少时间可放满水池巧解：思路：水深达到 3 米，就满池了。因为放水速度不变，所以水 深与时间成正比，3/=x/ x=6 小时。或3*(*) =6小时。同学们：快来看博客上的文章吧， 它有助于你分析问题和解决问题能力的 提高，大大提高你学习新知识、复习旧知识的效率。老师们：快来看吧，看后会使你增加一些引导学生“复习知识”的方法， 从而提高复习效率。文中不妥之处， 诚请指正。 谢谢。加法类似) ：交换律， a*b=b*a, 结合律，( a*b ) *c=a*(b*c),分配率，( a+b) xc=ac+bc, (a-b) X c=ac-bc.(4) 除法运算性质： (与减法

29、类似) ， a* (bX c)=a * b* c, a*(b* c)=a * bxc, a* b* c=a* c* b,(a+b)宁c=a*c+b*c, (a-b) 宁c=a*c-b 宁c. 前边的运算定律、 性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。后面数值的运算 符号不变。例 1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。（运用加法交换 律和结合律） 。 减号或除号后面加上或去掉括号， 后面数值的运算符号要改 变。例 2: 657-263-257=657-257-263=400-263=

30、147.（运用减法性质，相当加法交换律。）例 3: 195- ( 95+24) =195-95-24=100-24=76（运用减法性质）例 4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92.（同上）例 5:( +125)X 8=X 8+125X 8=6+1000=1006. ( 运用乘法分配律 )例 6:( )X 8=125XX 8=1000-2=998. (同上)例 7:（）* =*。（ 运用除法性质）例 8: (450+81) * 9=450* 9+81* 9=50+9=59. ( 同上，相当乘法分配律 )例 9： 375*(125*)=375*125*=3*=. (

31、 运用除法性质 )例 10: *( 0。6X) =* =7* =20.(同上)例 11: 12 X 125XX 8=(125 X 8) X (12 X =1000X 3=3000.(运用乘法交换律和结合律)例 12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227. ( 运用加法性质和结合律)例 13:（48X 25X 3）* 8=48* 8X 25X 3=6X 25X 3=450. （运用除法性质 , 相当加法性质 ）（ 5）和、差、积、商不变的规律。1 : 和不变:如果 a+b=c, 那么，( a+d) +(b-d)=c,2: 差不变:如果 a-b=c, 那么，( a+d) -(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c3: 积不变:如果 a*b=c, 那么 ,(a*d)*(b * d)=c,4:商不变：如果 a 宁 b=c,那么， (a*d)* (b*d)=c, (a 宁 d)宁(b 宁 d)=c.例 14: +