广东省揭阳市高三高考第二次模拟考试数学理试题+Word版含答案.docx
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广东省揭阳市高三高考第二次模拟考试数学理试题+Word版含答案
揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.平面直角坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，，以下说法正确的是（）
A．B．C．D．
4.已知直线、，平面、、，下列命题正确的是（）
A．若，，，则B．若，，，则
C.若，，则D．若，，，则
5.已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（）
A．B．C.或D．或
6.已知的展开式中常数项为，则的值为（）
A．B．C.D．
7.已知函数的部分图象如图所示，则的值为（）
A．或B．C.D．或
8.在如图的程序框图中，输出的值为（）
A．B．C.D．
9.已知双曲线的焦距为，、是其左、右焦点，点在双曲线右支上，的周长为，则的取值范围是（）
A．B．C.D．
10.如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为，则此几何体的体积为（）
A．B．C.D．
11.过抛物线上两点、分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）
A．B．C.D．
12.把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则的取值范围是（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线在点处的切线方程为．
14.题库中有道题，考生从中随机抽取道，至少做对道算通过考试.某考生会做其中道，有道不会做，则此考生能通过考试的概率为．
15.已知等差数列中，，、、成等比数列，把各项如下图排列：
则从上到下第行，从左到右的第个数值为．
16.平面四边形中，，，，，则的最小长度为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的前项的和为，满足，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和与积分别为与，求与.
18.如图，在四面体中，,.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若与平面所成的角为，点是的中点，求二面角的大小.
19.甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：
雨天没收入，晴天出工每天元；方式而：
雨天每天元，晴天出工每天元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近年此月的下雨天数（）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的值为依据作出选择，丙以的平均值为依据作出选择.
8
9
10
11
12
13
频数
3
1
2
0
2
1
（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；
（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？
（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过天的概率.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.
（Ⅰ）求椭圆的方程和点的坐标；
（Ⅱ）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.
21.已知函数，
（Ⅰ）若，且是函数的一个极值，求函数的最小值；
（Ⅱ）若，求证：
，.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的圆心为，半径为，现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）设，是圆上两个动点，满足，求的最小值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数，，
（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求不等式的解集.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BACAD6-10:
CCDCB11、12：
BC
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ），，
两式相减，得，
，又，
所以当时，是首项为1，公比为3的等比数列，
，
由得，满足上式，
所以通项公式为；
（Ⅱ），得，公比为9，
，
．
（18）解：
（Ⅰ）由已知得，
，
又，，
，
，
又，，
，
.
（Ⅱ）解法1：
由（Ⅰ）知，AB与平面BCD所成的角为，即，
设BD＝2，则BC＝2，在中，AB＝4，
由（Ⅰ）中，得平面ABC⊥平面ABD，在平面ABD内，过点B作，则平面ABC，以B为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
，由，
，
得，
∴，，
设平面BDE的法向量为，
则，取，解得，
∴是平面BDE的一个法向量，
又是平面CBD的一个法向量．
设二面角的大小为，易知为锐角，
则，
∴，即二面角的大小为．
【解法2：
由（Ⅰ）知，与平面所成的角为，即，
分别取、的中点、，连、，
在和中，为斜边中点，故，
∴；
又∵平面，∴，
又∵∴；
∴为二面角的平面角，
由（Ⅰ）知平面，又，
故平面，从而，
∴，
，即二面角的大小为．
（19）解：
（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为、，
，
，
所以甲选择计酬方式二；
由频数分布表知频率最大的n=8，
，
，
所以乙选择计酬方式一；
n的平均值为，
所以丙选择计酬方式二；
（Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况，
但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，
所以丙的统计范围最大，
三人中丙的依据更有指导意义；
（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率为.
（20）解：
（I）设，，
可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，
由题意知，得，
由，得，
所以椭圆的方程为，
点P的坐标为.
（II）由过点P的直线l2与椭圆相交于两点，知直线l2的斜率存在，
设l2的方程为，由题意可知，
联立椭圆方程，得，
设，则，得，
所以；
由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为，即
圆心到l1的距离，又圆的半径，
所以，
，
由即，得，
，
设，则，，
当且仅当即时，取“＝”，
所以△ABC的面积的取值范围是．
（21）解：
（I），定义域为，
．
由题意知，即，解得，
所以，，
又、、（）在上单调递增，
可知在上单调递增，又，
所以当时，；当时，．
得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为．
（II）若，得，
由在上单调递增，可知在上的单调性有如下三种情形：
①当在上单调递增时，
可知，即，即，解得，
，令，则，
所以单调递增，，所以；
②当在上单调递减时，
可知，即，即，解得，
得，所以；
[或：
令，则，
所以单调递减，，所以；]
③当在上先减后增时，得在上先负后正，
所以，，即，取对数得，
可知，
所以；
综上①②③得：
，．
【或：
若，得，
由在上单调递增，分如下三种情形：
①当恒成立时，只需，即，解得，
可知在上单调递增，，令，
则，所以单调递增，，
所以；
②当恒成立时，只需，即，解得，
可知在上单调递减时，，
所以；
③当在上先负后正时，在上先减后增，
所以，，即，取对数得，
可知，
所以；
综上①②③得：
，.】
（22）解：
（I）圆的直角坐标方程为，
化为极坐标方程为；
（II）设，
，
由，得，，
故，即的最小值为．
（23）解：
（I），
由题意知，得，解得；
（II）不等式为，即
若，显然不等式无解；
若，则．
①当时，不等式为，解得，
所以；
②当时，不等式为，恒成立，
所以；
③当时，不等式为，解得，
所以；
综上所述，当时，不等式的解集为空集，
当时，解集为．
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