第五章离散作业答案.docx
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第五章离散作业答案
第五章代数结构
5.1代数系统的组成
1.解：
（a）此二元运算*不是封闭运算。
∵如：
当x=1,y=2时，x*y=x-y=1-2=-1∉Z+。
（b）此二元运算*不是封闭运算。
∵如：
当x=y时，x*y=|x-y|=0∉Z+。
（c）此二元运算*是封闭运算。
∵LCM（x,y）是大于等于Max（x,y）的一个正整数，LCM（x,y）∈Z+。
2.证明：
∵有左幺元e，
∴∀x∈S，有e*x=x。
又∵是可交换的，
∴有x*e=x。
∴左幺元e为幺元。
同理，右幺元亦为幺元。
证毕
3.证明：
（1）当n=1时，x=x成立。
（2）假设当n=k时，xk=x。
（3）当n=k+1时，xk+1=xk*x=x*x=x。
综上
（1）
（2）（3），命题成立。
证毕
4.解略。
5.解：
运算表如下：
*
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
显然二元运算是封闭的。
*不满足交换律，满足结合律。
a,b,c皆为左幺元，右零元。
6.解：
（a）∵a*b=a+b-3ab=b+a-3ba=b*a,
∴a*b=b*a。
∴*是可交换的。
∵（a*b）*c=（a*b）+c-3（a*b）c=b+a-3ba+c-3（a+b-3ab）c
=a+b+c-3（ab+ac+bc）+9abc
a*（b*c）=a+（b*c）-3a（b*c）=a+b+c-3bc-3a（b+c-3bc）
=a+b+c-3（ab+ac+bc）+9abc
∴（a*b）*c=a*（b*c）,
∴*是可结合的。
（b）设幺元为e,
∴e*a=a*e=a+e-3ae=a,
∴e（1-3a）=0,
又∵a具有任意性，
∴e=0∈Q。
∴的幺元为0。
（c）∵令a*b=a+b-3ab=0,
∴b（1-3a）=-a.
当a=1/3时，无逆元。
当a≠1/3时，a-1=b=-a/（1-3a）∈Q。
7.解：
∵a*b=（a+1）×（b+1）-1=b*a，
∴运算*是可交换的。
∵（a*b）*c=[（a+1）（b+1）-1]*c=（a+1）（b+1）（c+1）-1,
a*（b*c）=a*[（b+1）（c+1）-1]=（a+1）（b+1）（c+1）-1,
∴运算*是可结合的。
设幺元为e,则
a*e=（a+1）（e+1）-1=a
得：
e=0∈R。
∴存在幺元e。
令a*b=（a+1）×（b+1）-1=0，
当a=-1时，不存在a-1.
当a≠-1时，a-1=b=-a/（a-a）∈R。
8.解略。
9.证明：
∵◦是可结合的，
∴（a◦a）◦a=a◦（a◦a），
又∵若x◦y=y◦x,则x=y，
∴（a◦a）=a。
证毕
10.解：
运算表如下：
◇
f1
f2
f3
f4
f1
f1
f2
f3
f4
f2
f2
f2
f2
f2
f3
f3
f3
f3
f3
f4
f4
f3
f2
f1
由运算表可知：
f1为幺元。
f4有逆元，f4-1=f4。
11.解：
运算表如下：
☆
（a,α）
（a,β）
（a,γ）
（b,α）
（b,β）
（b,γ）
（a,α）
（a,α）
（a,β）
（a,γ）
（b,α）
（b,β）
（b,γ）
（a,β）
（a,β）
（a,β）
（a,γ）
（b,β）
（b,β）
（b,γ）
（a,γ）
（a,γ）
（a,γ）
（a,γ）
（b,γ）
（b,γ）
（b,γ）
（b,α）
（b,α）
（b,β）
（b,γ）
（a,α）
（a,β）
（a,α）
（b,β）
（b,β）
（b,β）
（b,γ）
（a,β）
（a,β）
（a,γ）
（b,γ）
（b,γ）
（b,γ）
（b,γ）
（a,γ）
（a,γ）
（a,γ）
12.（英文题）略。
13.（英文题）略。
5.2半群与独异点
1.解：
群如图：
*
a
b
a
a
b
b
a
b
2.证明：
（1）∵x*y=max（x,y）∈N，
∴是封闭的。
（2）∵（x*y）*z=max（max（x,y）,z）=max（x,max（y,z））=x*（y*z），
∴是可结合的。
（3）∵1*x=x*1=x,
∴1是的幺元。
综上
（1）
（2）（3）得，是独异点。
证毕
3.证明：
设r,s,t∈Z∪{ε}，
r=r0r1r2……rn，
s=s0s1s2……sn，
t=t0t1t2……tn，
（1）显然r*s=r0r1r2……rns0s1s2……sn∈Z∪{ε},
∴是封闭的。
（2）∵（r*s）*t=r0r1r2……rns0s1s2……snt0t1t2……tn
=r*（s*t）
∴*满足结合律。
（3）∵ε*r=r*ε=r0r1r2……rn，
∴ε为的幺元。
综上
（1）
（2）（3）得，是独异点。
证毕
4.解：
（a）易证（略）。
（b）<{a,b},*>,<{b,c}*>均构成独异点。
5.证明：
∵是一个半群。
∴满足结合律。
任取y∈S,则
（x*z）*y=x*（z*y）=x*z
∴（x*z）为一个左零元。
证毕
6.证明：
∵a,b左可约，
∴若a*x=a*y⇒x=y,
b*x=b*y⇒x=y。
又∵是一个半群，
∴*满足结合律。
若（a*b）*x=（a*b）*y
⇒a*（b*x）=a*（b*y）
⇒b*x=b*y
⇒x=y
∴（a*b）是左可约的。
证毕
7.证明：
设为一个独异点，T为S的左可逆元的集合。
现在即证为一个独异点。
（1）∵e*e=e（e为幺元）
∴e∈T。
（2）∵为一个独异点，
∴是可结合的。
（3）设a,b∈T,则∃a1∈S,b1∈S,
使得a*a1=e,b*b1=e,
又∵m=b1*a1∈S,
∴（a*b）*（b1*a1）=a*（b*b1*a1）=e。
∴a*b是m的左逆元。
∴a*b∈T。
综上
（1）
（2）（3）可得，是一个独异点。
证毕
8.解：
的子半群有：
<{[0]},+6>,<{[0],[3]},+6>,<{[0],[2],[4]},+6>,。
例：
为独异点，<{[0],[2],[4]},+6>为的一个子半群，显然，
<{[0],[2],[4]},+6>为独异点。
所以独异点的子半群可以是一个独异点。
9.证明：
显然由运算表可看出，是一个循环群。
∴是一个独异点。
10.（英文题）略。
11.（英文题）略。
5.3群
1.（a）∵5×76=2∉S
∴S不满足封闭性，
∴不是群。
（b）∵6×87=2∉S
∴S不满足封闭性，
∴不是群。
（c）∵不存在S上关于*的幺元，
∴不是群。
（d）∵*不满足结合律，
∴不是群。
（e）为一个群，C为幺元。
a-1=d,b-1=b,c-1=c,d-1=a。
（f）假设是群，
∵c*c=c*d=a，
∴根据消去律：
c=d，
∴产生矛盾，
∴不是群。
2.解：
任取a,b,c∈Q+，
（1）a*b=1/2ab∈Q+，
∴*不满足封闭性。
（2）（a*b）*c=1/4abc
a*（b*c）=1/4abc
∴（a*b）*c=a*（b*c）
∴满足交换律。
（3）∵a*2=2*a=a，
∴2为幺元。
（4）∵a*（4/a）=（4/a）*a=2，
∴a-1=4/a∈Q+。
∴综上
（1）
（2）（3）（4），（Q+，*）群。
3.证明：
任取（a,b）,（c,d）,（e,f）∈R*×R，
（1）（a,b）*（c,d）=（ac,bc+d）∈R*×R，
∴*满足封闭性。
（2）∵[（a,b）*（c,d）*（e,f）]=（ac,bc+d）*（e,f）=（ace,bce+de+f），
∵（a,b）*[（c,d）*（e,f）]=（a,b）*（ce,de+f）=（ace,bce+de+f），
∴[（a,b）*（c,d）*（e,f）]=（a,b）*[（c,d）*（e,f）]。
∴*满足结合律。
（3）∵（1,0）*（a,b）=（a,b），
（a,b）*（1,0）=（a,b）,
∴（1,0）为*的幺元。
（4）∵（a,b）*（1/a,-b/a）=（1,0），
（a,b）*（1/a,-b/a）=（1,0），
∴（a,b）-1=（1/a,-b/a），
∴R*×R中每个元素都有逆元。
综上
（1）
（2）（3）（4），（R*×R,*）是一个群。
证毕
4.证明：
假设m≠n（m>n）时，有am=an，
设运算符为*，则：
am=an*e=an+（m-n）=an*am-n=am*am-n，
∴am-n=e（由消去律可得），
∴m-n为a的阶，矛盾。
∴假设不成立。
∴当m≠n时，am≠an。
证毕
5.解：
假设a=a-1，则：
a2=a*a=a*a-1=a-1*a=e,
从而a的阶数为2，与题证矛盾。
∴a≠a-1。
证毕
6.解：
∵a-1°（a-1）-1=（a-1）-1°a-1=e，
∴（a-1）-1=a
同理，仍成立。
7.解：
（1）显然根据运算表，◇满足封闭性。
（2）由表易得：
P4为幺元。
又∵P1◇P3=P3◇P1=P4，P2◇P2=P4，
P5◇P5=P4，P6◇P6=P4，P7◇P7=P4，P8◇P8=P4。
∴对任意Pi都有逆元且Pi-1∈G。
综上
（1）
（2），构成群。
5.4子群与群同态
1.解：
运算表如下：
+6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
的子群：
<{0},+6>;;<{0,2,4},+6>;<{0,3},+6>。
2.证明：
（1）充分性：
∵HK=KH，
∴∀h∈H,k∈K,存在h0∈H,k0∈K,满足h*k=k0*h0，
设h1*k1∈HK,h2*k2∈HK,则存在h3*k3∈HK,
使得（h1*k1）*（h2*k2）=（h1*h3）（k3*k2）∈HK,
∴*在HK上满足封闭性。
又∵（h1*k1）*（k1-1*h1-1）=e,
存在h*k=（k1-1*h1-1）∈HK。
∴∀（h1*k1）∈HK都有逆元。
∴综上，是的子群。
（2）必要性：
设HK是群的子群，∀x∈HK,有x-1∈HK,
令x-1=h*k,则存在h1*k1=k-1*h-1,
使得x=（x-1）-1=k-1*h-1=h1*k1∈KH,
∴HK⊆KH。
同理可证：
KH⊆HK。
∴HK=KH。
综上
（1）
（2）可知，命题成立。
证毕
3.证明：
∵是群的子群，
∴k⊆H,且是群。
又∵是的子群，
∴H⊆G，
∴K⊆H⊆G且是群，
∴是群的子群。
证毕
4.证略。
5.证略。
6.证明：
（1）∀x,y∈S,则f（x）=g（x）,f（y）=g（y）.
∵f（x*y）=f（x）⊕f（y）=g（x）⊕g（y）=g（x*y）,
∴f（x*y）=g（x*y）,
∴x*y∈S,封闭。
（2）设e为G的幺元，eH为H的幺元。
∴f（e）=g（e）=eH,
f（x*x-1）=f（x）⊕f（x-1）=g（x）⊕g（x-1）=eH,
又∵f（x）=g（x）,
根据消去律得：
f（x-1）=g（x-1）。
∴x-1∈S，即S中每个元素都有逆元。
综上
（1）
（2），是是子群。
证毕
7.解：
运算表如下：
•
1
i
-1
-i
1
1
i
-1
-i
i
i
-1
-i
1
-1
-1
-i
1
i
-i
-i
1
i
-1
10
01
ⓧ
10
01
10
01
（）
-10
0-1
-10
0-1
（）
-10
01
-10
01
（）
10
0-1
10
0-1
（）
-10
0-1-1
（）
-10
0-1
（）
10
01
（）
10
0-1
（）
（）
-10
01
（）
-10
01
（）
10
0-1
（）
10
01
（）
-10
0-1
-10
01
（）
（）
（）
（）
（）
10
01
（）
10
0-1
（）
10
0-1
（）
-10
01
（）
-10
0-1
（）
（）
由两运算表关系可以看出它们不是同构的。
8.证明：
显然[1]1≠[1]2≠[1]3≠……[1]n=[0]。
构造函数fk（[x]）=[1]k+n[x],
易证当i≠j（1≤i,j≤n）时，fi（[x]）≠fj（[x]）,
即fi（[x]），fj（[x]）为不同的函数。
1∀[x],[y]∈Nn且[x]≠[y]，
则有fk（[x]）=[1]k+n[x]
fk（[y]）=[1]k+n[y],
若fk（[x]=fk（[y]），则根据消去律，[x]=[y],矛盾。
∴fk（[x]）为单射函数。
2∀[y]∈G，则∃[x]=[1]n-k+n[y]∈G，
使得fk（[x]）=[1]k+n（[1]n-k+n[y]）=[y]。
∴fk（[x]）是满射函数。
综上①②，fk（[x]）是双射函数。
又∵1≤k≤n,
∴有n个fk双射，使有n个自同态。
9.（英文题）略。
10.（英文题）略。
5.5特殊的群
1.证明：
∵是独异点,
∴有幺元e。
∵对∀a∈G,有a*e=a*e*e=e,
∴a=e。
∴=<{e},*>,
∴是一个阿贝尔群。
证毕
2.证明：
要证是一个交换群，即证M中每个元素均有逆元。
设|M|=n，对任意x∈M，
若x=e,x有逆元；
若x≠e,则x，x2，x3……xn+1中必有1≤i使得xi=xj，
则xj-i=e，
进而x*xj-i-1=e。
∴x有逆元xj-i-1。
故是一个交换群。
证毕
3.证明：
任取a,b∈G,则a*b∈G，
∴a-1=a,b-1=b,
∴a*b=（a*b）-1=b-1×a-1=b*a,
∴是一个交换群。
证毕
4.证明：
∵1阶，2阶，3阶群均为循环群，
∴1阶，2阶，3阶群都是交换群。
4阶群的一个为循环群，故为交换群，
另一个群每个元素逆是其本身，由题3，此群亦为交换群。
证毕
5.证明：
（[2]为生成元，证明较困难！
）
6.证明：
（a）∵[1]1=[1],[1]2=[2],[1]3=[3],[1]4=[4],[1]5=[0],
∴[1]为群的生成元。
∴为循环群。
（b）∵[1]1=[1],[1]2=[2],[1]3=[3],[1]4=[4],[1]5=[5],
[1]6=[6],[1]7=[7],[1]8=[0],
∴[1]为群的生成元。
∴为循环群。
证毕
7.证明：
（1）首先证明阶大于2的元素成对出现。
①任取a∈G,a的阶大于2。
∴|a|>2，
∴a=a-1,
又∵|a|=|a-1|,
∴|a|>2。
3若b*a=e,c*a=e,
则根据消去律，得b=a,
∴每个阶大于2的元素只有一个逆元。
由①②可得，首先证明阶大于2的元素成对出现。
（2）|e|=1,e∈G。
综上
（1）
（2）得，阶为偶数的群中阶为2的元素个数一定为奇数。
8.证明：
∵f是从群A到B的满同态，
∴由定理5.4.6的推论可得，B为一个群。
设|A|=n，
∵A是一个循环群，
∴存在生成元a，
使得A={a，a2，a3，……，an=e},
∴∀b∈B,∃ak,使得f（ak）=b。
又∵f（ak）=f（a）k,
∴B中任一元素均可由f（a）表示。
∴f（a）为B的生成元。
∴B也是一个循环群。
9.解：
设是n阶群，∀a∈G且a的阶为r。
由拉格朗日定理可知，（a）的阶r一定是n的因子。
另一方面，设（a）是由a生成的子群，由于a的阶为r,故
（a）={a0=e,a1,a2,……ar-1}。
因此（a）的阶等于a的阶r,故r是n的因子。
若令n=mr，其中m,r为正整数，则有
an=arm=（e）m=e。
证毕
10.（英文题）略
11.（英文题）略
5.6陪集与拉格朗日定理
1.解：
（a）<{[0]},+5>,
（b）<{[0]},+8>,<{[0],[4]},+8>,<{[0],[2],[4],[6]},+8>
（c）<{[0]},+12>,<{[0],[6]},+12>,<{[0],[4],[8]},+12>,
<{[0],[3],[6],[9]},+12>,<{[0],[4],[8],[12]},+12>。
2.解略。
3.解略。
4.解：
显然是的子群。
0+H={5k|k∈Z}
1+H={5k+1|k∈Z}
2+H={5k+2|k∈Z}
3+H={5k+3|k∈Z}
4+H={5k+4|k∈Z}
5mH=0H,（5m+1）H=1H,（5m+2）H=2H,
（5m+3）H=3H,（5m+4）H=4H。
（m∈N）
5.解：
子群:
<{[0]},+6>,<{[0],[3]},+6>,<{[0],[2],[4]},+6>,.
令H1={[0]}，H2={[0],[3]},H3={[0],[2],[4]}。
<{[0]},+6>的左陪集：
[0]H1={[0]}，[1]H1={[1]}，[2]H1={[2]}，
[3]H1={[3]}，[4]H1={[4]}，[5]H1={[5]}。
<{[0],[3]},+6>的左陪集：
[0]H2=[3]H2={[0],[3]}，
[1]H2=[4]H2={[1],[4]}，
[2]H2=[5]H2={[2],[5]}。
<{[0],[2],[4]},+6>的左陪集：
[0]H3=[2]H3=[4]H3={[0],[2],[4]}，
[1]H3=[3]H3=[5]H3={[1],[3],[5]}。
6.（正规子群题）略。
7.（正规子群题）略。
8.（正规子群题）略。
9.（英文题）略。
10.（英文正规子群题）略。
5.7环和域
1.解:
是交换环,不是含幺环。
是含零因子环，零因子：
b,c,d。
2.证明：
（1）显然（Z，⊕）是阿贝尔群。
（2）对任意a,b,c∈Z,有
aⓧb=a+b-ab∈Z。
∴（Z，⊕）是封闭的。
∵（aⓧb）ⓧc=（aⓧb）+c-（aⓧb）c=b+a-ba+c-（a+b-ab）c
=a+b+c-ab+ac+bc）+abc
aⓧ（bⓧc）=a+（bⓧc）-a（bⓧc）=a+b+c-bc-a（b+c-bc）
=a+b+c-（ab+ac+bc）+abc
∴（aⓧb）ⓧc=aⓧ（bⓧc），（Z，⊕）可交换。
又∵aⓧb=bⓧa，
∴（Z，⊕）可交换，且0为（Z，⊕）的幺元。
（3）（a⊕b）ⓧc=a+b+2c-1-（ac+bc）,
（a⊕b）ⓧ（b⊕c）=a+b+2c-1-（ac+bc）,
∴（a⊕b）ⓧc=（a⊕b）ⓧ（b⊕c）。
又∵（Z，⊕）是可交换的，
∴ⓧ对⊕满足可分配。
综上
（1）
（2）（3），（Z，⊕，ⓧ）是一个含幺交换环。
证毕
3.解：
（a）
（1）易证（Zm,+）是阿贝尔群。
（2）易证（Zm,*）是独异点。
（3）显然*对+可分配，且*满足交换律。
∴（Zm,+,*）是交换环。
（b）构成环，但不构成交换环。
4.证明：
（a）∵∀a∈A,有a2=a,
∴（a+a）·（a+a）=a+a,
⇒a2+a2+a2+a2=a+a
⇒a+a+a+a=a+a
根据消去律：
a+a=0。
（b）∀a,b∈A,有：
（a+b）·（a+b）=a+b
⇒a2+a·b+b·a+b2=a+b
⇒a·b+b·a=0
又由（a）得a·b+a·b=0,
根据消去律，得：
a·b=b·a。
∴（A，+，·）是一个交换环。
证毕
5.证明：
（1）①易证（{a+b#|a,b∈Z},+）是阿贝尔群，0为其幺元。
②易证（{a+b#|a,b∈Z},·）满
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