第五章离散作业答案.docx

1、第五章离散作业答案第五章 代数结构5.1代数系统的组成1.解：(a)此二元运算*不是封闭运算。如：当x=1,y=2时，x*y = x-y = 1-2 = -1 Z+ 。(b)此二元运算*不是封闭运算。如：当x=y时，x*y = |x-y| = 0 Z+ 。 (c)此二元运算*是封闭运算。 LCM(x,y)是大于等于Max(x,y)的一个正整数，LCM(x,y) Z+ 。2.证明：有左幺元e， xS，有e*x=x。 又是可交换的， 有x*e=x。 左幺元e为幺元。 同理，右幺元亦为幺元。 证毕3.证明：(1)当n=1时，x=x成立。(2)假设当n=k时，xk=x。(3)当n=k+1时，xk+1=

2、 xk*x=x*x=x。综上(1)(2)(3)，命题成立。证毕4.解略。5.解：运算表如下：*abcaabcbabccabc 显然二元运算是封闭的。*不满足交换律，满足结合律。a,b,c皆为左幺元，右零元。6.解：(a)a*b=a+b-3ab=b+a-3ba=b*a,a*b=b*a。*是可交换的。(a*b)*c=(a*b)+c-3(a*b)c=b+a-3ba+c-3(a+b-3ab)c=a+b+c-3(ab+ac+bc)+9abca*(b*c)=a+(b*c)-3a(b*c)=a+b+c-3bc-3a(b+c-3bc)=a+b+c-3(ab+ac+bc)+9abc (a*b)*c= a*(b*

3、c), *是可结合的。 (b)设幺元为e,e*a=a*e=a+e-3ae=a,e(1-3a)=0,又a具有任意性，e=0 Q。 的幺元为0。(c)令a*b= a+b-3ab=0, b(1-3a)=-a. 当a=1/3时，无逆元。 当a1/3时，a-1=b=-a/(1-3a) Q。7.解：a*b=(a+1)(b+1)-1=b*a， 运算*是可交换的。 (a*b)*c= (a+1)(b+1)-1*c =(a+1)(b+1)(c+1)-1,a*(b*c)= a*(b+1)(c+1)-1 =(a+1)(b+1)(c+1)-1, 运算*是可结合的。 设幺元为e,则 a*e=(a+1)(e+1)-1=a

4、得：e=0R。 存在幺元e。 令a*b=(a+1)(b+1)-1=0， 当a=-1时，不存在a-1. 当a-1时，a-1=b=-a/(a-a) R。8.解略。9.证明： 是可结合的， (aa)a = a(aa)， 又若xy=yx,则x=y， (aa) = a。 证毕10.解：运算表如下：f1f2f3f4f1f1f2f3f4f2f2f2f2f2f3f3f3f3f3f4f4f3f2f1由运算表可知：f1为幺元。f4有逆元，f4-1 =f4 。11.解：运算表如下：(a,)(a,)(a,)(b,)(b,)(b,)(a,)(a,)(a,)(a,)(b,)(b,)(b,)(a,)(a,)(a,)(a,)

5、(b,)(b,)(b,)(a,)(a,)(a,)(a,)(b,)(b,)(b,)(b,)(b,)(b,)(b,)(a,)(a,)(a,)(b,)(b,)(b,)(b,)(a,)(a,)(a,)(b,)(b,)(b,)(b,)(a,)(a,)(a,)12.(英文题)略。13.(英文题)略。5.2 半群与独异点1.解：群如图：*abaabbab2.证明：(1)x*y = max(x,y) N，是封闭的。 (2)(x*y)*z = max(max(x,y),z)=max(x,max(y,z)=x*(y*z)，是可结合的。(3)1*x = x*1 = x, 1是的幺元。综上(1)(2)(3)得，是独异

6、点。证毕3.证明：设r,s,t Z， r=r0r1r2rn， s=s0s1s2sn， t=t0t1t2tn，(1) 显然r*s= r0r1r2rn s0s1s2snZ,是封闭的。 (2)(r*s)*t= r0r1r2rns0s1s2snt0t1t2tn=r*(s*t)*满足结合律。(3)* r = r *= r0r1r2rn， 为的幺元。综上(1)(2)(3)得，是独异点。证毕4.解：(a)易证（略）。 (b) , 均构成独异点。5.证明：是一个半群。 满足结合律。 任取yS,则 (x*z)*y = x*(z*y) = x*z (x*z)为一个左零元。 证毕6.证明：a,b左可约， 若 a*x

7、 = a*y x=y, b*x = b*y x=y。 又是一个半群， *满足结合律。 若(a*b)*x = (a*b)*y a*(b*x) = a*(b*y) b*x = b*y x=y (a*b)是左可约的。 证毕7.证明：设为一个独异点，T为S的左可逆元的集合。 现在即证 为一个独异点。 (1)e*e = e(e为幺元)eT。(2) 为一个独异点， 是可结合的。(3)设a,bT,则a1S,b1S,使得a*a1=e,b*b1=e,又m=b1*a1S,(a*b)*(b1*a1) = a*(b*b1*a1) = e。a*b是m的左逆元。a*bT。综上(1)(2)(3)可得，是一个独异点。证毕8.

8、解：的子半群有： , , , 。 例：为独异点，为的一个子半群，显然， 为独异点。所以独异点的子半群可以是一个独异点。9.证明：显然由运算表可看出，是一个循环群。 是一个独异点。10. (英文题)略。11. (英文题)略。5.3群1.(a) 57 6 = 2 S S不满足封闭性，不是群。(b) 68 7 = 2 S S不满足封闭性，不是群。 (c) 不存在S上关于*的幺元，不是群。 (d) *不满足结合律， 不是群。(e) 为一个群，C为幺元。a-1=d , b-1=b , c-1=c , d-1=a 。 (f) 假设是群， c*c = c*d = a ，根据消去律：c=d ，产生矛盾，不是群

9、。2.解：任取a,b,c Q+，(1) a*b =1/2ab Q+，*不满足封闭性。(2) ( a*b)*c = 1/4 abc a*(b*c) = 1/4 abc ( a*b)*c = a*(b*c) 满足交换律。(3) a*2 = 2*a = a，2为幺元。(4) a* (4/a) = (4/a)*a = 2，a-1 = 4/a Q+ 。 综上(1)(2)(3)(4)，（Q+，*）群。3.证明：任取(a,b) , (c,d) , (e,f) R*R，(1) (a,b) * (c,d) = (ac , bc+d) R*R， *满足封闭性。(2)(a,b) *(c,d) * (e,f) = (

10、ac , bc+d) * (e,f) = (ace, bce + de + f)， (a,b) *(c,d) * (e,f) = (a,b) * (ce , de+f) =(ace, bce + de + f)， (a,b) *(c,d) * (e,f) = (a,b) *(c,d) * (e,f)。 *满足结合律。(3)(1,0)*(a,b) = (a,b)， (a,b)*(1,0) = (a,b ), (1,0)为*的幺元。(4)(a,b)*(1/a , -b/a) = (1,0)， (a,b)*(1/a , -b/a) = (1,0)， (a,b)-1 = (1/a , -b/a)， R

11、*R中每个元素都有逆元。 综上(1)(2)(3)(4)，(R*R,*)是一个群。 证毕4.证明：假设mn(mn)时，有am = an， 设运算符为*，则： am = an * e = an+(m-n) = an * am-n = am * am-n， am-n = e (由消去律可得)， m-n 为a的阶，矛盾。 假设不成立。 当mn时，am an。 证毕5.解：假设a = a-1，则： a2 = a*a = a * a-1 = a-1*a = e , 从而a的阶数为2，与题证矛盾。a a-1 。 证毕6.解：a-1 (a-1)-1 = (a-1)-1 a-1 = e ， (a-1)-1=a

12、同理，仍成立。7.解：(1)显然根据运算表，满足封闭性。 (2)由表易得：P4为幺元。 又P1P3 = P3P1 = P4 ，P2P2 = P4， P5P5 = P4，P6P6 = P4，P7P7 = P4，P8P8 = P4。 对任意Pi都有逆元且Pi -1 G。 综上(1)(2)，构成群。5.4 子群与群同态1.解：运算表如下：+6012345001234511234502234501334501244501235501234 的子群： ; ; ; 。2.证明： (1)充分性：HK=KH，hH,kK,存在h0H,k0K,满足h*k= k0 *h0，设h1*k1HK,h2*k2HK,则存在

13、h3*k3HK,使得(h1*k1)*( h2*k2) = (h1*h3)(k3*k2) HK,* 在HK上满足封闭性。又(h1*k1)* (k1-1* h1-1)=e, 存在h*k=(k1-1* h1-1)HK。(h1*k1)HK都有逆元。 综上， 是 的子群。 (2)必要性： 设HK是群的子群，xHK, 有x-1HK,令x-1=h*k,则存在h1*k1=k-1*h-1,使得x=(x-1)-1 =k-1*h-1= h1*k1KH,HKKH。同理可证：KHHK。HK=KH。 综上(1)(2)可知，命题成立。 证毕3.证明： 是群的子群， kH, 且是群。 又是的子群， HG， KHG且是群， 是

14、群的子群。 证毕4.证略。5.证略。6.证明： (1)x,yS,则f(x)=g(x),f(y)=g(y). f(x*y)=f(x)f(y)=g(x)g(y)=g(x*y), f(x*y) =g(x*y), x*yS,封闭。 (2)设e为G的幺元，eH为H的幺元。 f(e)=g(e)= eH, f(x*x-1)=f(x)f(x-1)= g(x)g(x-1)= eH, 又f(x)=g(x), 根据消去律得：f(x-1)= g(x-1)。 x-1S，即S中每个元素都有逆元。 综上(1)(2)，是是子群。 证毕7.解：运算表如下：1i-1-i11i-1-iii-1-i1-1-1-i1i-i-i1i-1

15、1 00 11 00 11 00 1( )-1 0 0 -1-1 0 0 -1( )-1 0 0 1-1 0 0 1( )1 0 0 -11 0 0 -1( )-1 00 -1 -1( )-1 0 0 -1( )1 00 1( )1 0 0 -1( )( )-1 0 0 1( )-1 0 0 1( )1 0 0 -1( )1 00 1( )-1 0 0 -1-1 0 0 1( )( )( )( )( )1 00 1( )1 0 0 -1( )1 0 0 -1( )-1 0 0 1( )-1 0 0 -1( )( )由两运算表关系可以看出它们不是同构的。8.证明：显然1112131n=0。构造函

16、数fk(x)=1k +nx,易证当ij(1i,jn)时，fi(x) fj(x),即fi(x)， fj(x)为不同的函数。1 x ,yNn且x y， 则有 fk(x)= 1k +n x fk(y)= 1k +n y, 若fk(x = fk(y)，则根据消去律，x =y,矛盾。 fk(x)为单射函数。2 y G，则x=1 n-k+nyG， 使得fk(x)= 1k +n(1 n-k+ny)=y。 fk(x)是满射函数。 综上，fk(x)是双射函数。 又1kn, 有n个fk双射，使有n个自同态。9.(英文题)略。10.(英文题)略。5.5特殊的群1.证明： 是独异点, 有幺元e。 对aG,有a*e=a

17、*e*e=e, a=e。 = ,是一个阿贝尔群。证毕2.证明：要证是一个交换群，即证M中每个元素均有逆元。 设|M|=n，对任意xM，若x =e,x有逆元； 若xe,则x，x2，x3xn+1中必有1ijn+1, 使得xi=xj， 则xj-i=e， 进而x*xj-i-1=e。 x有逆元xj-i-1。 故是一个交换群。 证毕3.证明：任取a,bG,则a*bG， a-1=a,b-1=b, a*b= (a*b)-1= b-1a-1=b*a, 是一个交换群。 证毕4.证明：1阶，2阶，3阶群均为循环群，1阶，2阶，3阶群都是交换群。4阶群的一个为循环群，故为交换群，另一个群每个元素逆是其本身，由题3，此

18、群亦为交换群。证毕5.证明：（2为生成元，证明较困难！）6.证明：(a)11=1,12=2,13=3, 14=4, 15=0, 1为群的生成元。 为循环群。(b)11=1,12=2,13=3, 14=4, 15=5, 16= 6, 17= 7, 18= 0,1为群的生成元。为循环群。证毕7.证明：(1)首先证明阶大于2的元素成对出现。任取aG,a的阶大于2。 |a|2， a=a-1, 又|a|=|a-1|, |a|2。3 若b*a=e,c*a =e,则根据消去律，得b=a,每个阶大于2的元素只有一个逆元。由可得，首先证明阶大于2的元素成对出现。 (2) |e|=1,eG。 综上(1)(2)得，

19、阶为偶数的群中阶为2的元素个数一定为奇数。8.证明：f是从群A到B的满同态，由定理5.4.6的推论可得，B为一个群。设|A|=n，A是一个循环群， 存在生成元a，使得A=a，a2，a3，an=e,bB, ak,使得f(ak)=b。又f(ak)=f(a)k,B中任一元素均可由f(a)表示。f(a)为B的生成元。B也是一个循环群。9.解：设是n阶群，aG且a的阶为r。 由拉格朗日定理可知，(a)的阶r一定是n的因子。 另一方面，设(a)是由a生成的子群，由于a的阶为r,故 (a)=a0=e,a1,a2,ar-1。 因此(a)的阶等于a的阶r,故r 是n的因子。若令n=mr，其中m,r为正整数，则有

20、 an=arm=(e)m=e。 证毕10.(英文题)略11.(英文题)略5.6 陪集与拉格朗日定理1.解：(a) , (b) , , (c) , , , , 。2.解略。3.解略。4.解：显然是的子群。 0+H = 5k|kZ 1+H = 5k+1|kZ 2+H = 5k+2|kZ 3+H = 5k+3|kZ 4+H = 5k+4|kZ 5mH = 0H , (5m+1)H = 1H , (5m+2)H = 2H , (5m+3)H = 3H , (5m+4)H = 4H。 (mN)5.解：子群:, , , . 令H1=0，H2=0,3, H3=0,2,4。 的左陪集： 0H1 = 0，1H1

21、 = 1，2H1 = 2， 3H1 = 3，4H1 = 4，5H1 = 5。 的左陪集： 0H2 = 3H2 = 0,3， 1H2 = 4H2 = 1,4， 2H2 = 5H2 = 2,5。 的左陪集： 0H3 = 2H3 = 4H3 = 0,2,4， 1H3 = 3H3 = 5H3 = 1,3,5。6.(正规子群题)略。7.(正规子群题)略。8.(正规子群题)略。9.(英文题)略。10.(英文正规子群题)略。5.7 环和域1.解:是交换环,不是含幺环。 是含零因子环，零因子：b,c,d。2.证明：(1)显然（Z，）是阿贝尔群。(2)对任意a,b,cZ,有ab = a+b-abZ。（Z，）是封

22、闭的。(ab)c=(ab)+c-(ab)c=b+a-ba+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab+ac+bc)+abca(bc)=a+(bc)-a(bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)=a+b+c-(ab+ac+bc)+abc (ab)c = a(bc)，（Z，）可交换。 又ab = ba，（Z，）可交换，且0为（Z，）的幺元。(3)(ab)c = a+b+2c-1-(ac+bc),(ab)(bc) = a+b+2c-1-(ac+bc),(ab)c = (ab)(bc)。又（Z，）是可交换的，对满足可分配。 综上(1)(2)(3)，（Z，）是一个含幺交换环。 证毕3. 解：(a)(1

23、)易证（Zm,+）是阿贝尔群。(2)易证（Zm,*）是独异点。(3)显然*对+可分配，且*满足交换律。（Zm,+,*）是交换环。 (b)构成环，但不构成交换环。4.证明：(a) aA,有a2=a, (a+a)(a+a) = a+a, a2+a2+a2+a2= a+a a+a+a+a=a+a 根据消去律： a+a=0。(b)a,bA,有： (a+b)(a+b) = a+b a2+ab+ba+ b2= a+b ab+ba=0 又由(a)得ab+ab=0, 根据消去律，得： ab=ba。 （A，+，）是一个交换环。 证毕 5.证明： (1) 易证(a+b#|a,bZ,+)是阿贝尔群，0为其幺元。易证(a+b#|a,bZ,)满