高三数学一轮复习精品教案311集合教学设计.docx

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高三数学一轮复习精品教案311集合教学设计

第1课时　集合的概念与运算

1．集合的含义与表示

（1）了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

（2）在具体环境中，了解全集与空集的含义．

3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合间的关系与运算．

『梳理自测』

一、集合与元素

1．已知a∈R，b∈R，若

＝{a2，a＋b，0}，则a＝________，b＝________．

『解析』由已知得

＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1.

『答案』－1　0

◆此题主要考查集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

2．（2014·潍坊仿真）已知集合M＝{x|x2－3≤0}，则下列关系式正确的是（　　）

A．0∈M　　　　　　　　　B．0∉M

C．0⊆MD．3∈M

『解析』选A.M＝{x|x2－3≤0}＝{x|－

≤x≤

}，

∴0∈M.

◆此题主要考查元素与集合的关系：

属于或不属于，用符号表示为∈或∉．

3．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{4}B．{4，－1}

C．{4，5}D．{－1，0}

『解析』选B.B＝{0，1，2，3}，阴影为（∁UB）∩A＝{－1，4}．

◆此题主要考查集合的表示方法及意义：

集合的表示方法主要有列举法，描述法，Venn图法．

4．常用数集：

自然数集N；正整数集N*（或N＋）；整数集Z；有理数集Q；实数集R.

5．集合的分类：

按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．

二、集合间的关系

（2012·高考湖北卷）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

『解析』选D.A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，故满足C的集合为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．

◆此题考查了集合间的基本关系，如下表：

三、集合的基本运算

已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，U＝R，则A∩B＝________，A∪B＝________，∁UA＝________，∁U（A∩B）＝________．

『解析』A∩B＝{x|1＜x＜2}，A∪B＝{x|x＞－1}，∁UA＝{x|x≤1}，∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥2}．

『答案』{x|1＜x＜2}　{x|x＞－1}　{x|x≤1}　{x|x≤1或x≥2}

◆此题考查了集合的运算，如下表：

『指点迷津』　

1．一个性质

要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩（∁UB）＝∅这五个关系式的等价性．

2．两种方法

Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

如：

全集U＝R，A＝{x|a≤x≤a＋1}，B＝{x|x＜－1}，若A∩（∁UB）＝∅，则a的范围为a＜－2.

3．三个防范

①认清元素的意义，数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等，如{x|y＝

}与{y|y＝

}以及{（x，y）|y＝

}分别表示函数y＝

的定义域、值域以及函数图象上的点集；

②注意防范：

集合的基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解，求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解，如已知A＝

，误把集合A的补集写为

导致漏解；

③空集是任何集合的子集，注意对空集的讨论，防止漏解；注意集合中元素的互异性，防止增解，如关系“B⊆A”中，B可以为∅.

考向一　集合的基本概念

（1）（2013·高考山东卷）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．3

C．5D．9

（2）已知集合A＝{a＋2，（a＋1）2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则2015a的值为________．

『审题视点』　

（1）弄清B的元素是怎么构成的．

（2）讨论A中哪个元素可以为1.

『典例精讲』　

（1）①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；

②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；

③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.

综上可知，x－y的值可能为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.

（2）当a＋2＝1，即a＝－1时，

（a＋1）2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，

∴不符合题意．

当（a＋1）2＝1，即a＝0或a＝－2时，

①a＝0符合要求．

②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与（a＋1）2相同，不符合题意．

当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.

①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝（a＋1）2＝1，不符合题意．

②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意．

综上所述，a＝0.

『答案』　

（1）C　

（2）1

『类题通法』　1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．

2.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．

1．（2014·山东高考信息卷）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1』B．『1，＋∞）

C．『0，＋∞）D．（－∞，1）

『解析』选A.因为1∉A，故当x＝1时，有x2－2x＋a≤0，即12－2×1＋a≤0，解得a≤1.考向二　集合间的基本关系及应用

　（2014·江西省高三联考）若集合P＝{x|3＜x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x＜3a－5}，则能使Q⊆（P∩Q）成立的所有实数a的取值范围为（　　）

A．（1，9）　　　　　　　　　B．『1，9』

C．『6，9）D．（6，9』

『审题视点』　首先分析P与Q的关系，构造集合端点符合的不等式．

『典例精讲』　依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是

，解得6＜a≤9，即实数a的取值范围是（6，9』，选D.

『答案』　D

『类题通法』　

（1）通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏．

（2）对于集合的包含关系，B⊆A时，别忘记B＝∅的情况．对于端点的虚实可单独验证．

2．（2014·惠州市高三调研）已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（　　）

A．{－1}B．{1}

C．{－1，1}D．{－1，0，1}

『解析』选D.由题意知集合B的元素为1或－1或者B为空集，故a＝0或1或－1.故选D.

考向三　集合的基本运算

（1）（2014·德州二模）已知全集U＝R，集合A＝

，B＝{x|y＝loga（x＋2）}，则集合（∁UA）∩B＝（　　）

A．（－2，－1）　　　　　　　　B．（－2，－1』

C．（－∞，－2）D．（－1，＋∞）

（2）（2012·高考重庆卷）设平面点集A＝

，B＝{（x，y）|（x－1）2＋（y－1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为（　　）

A.

πB.

π

C.

πD.

『审题视点』　

（1）分别求两个函数的定义域，A与B，再求∁UA.

（2）A、B分别是区域的点集，利用数形结合求面积．

『典例精讲』　

（1）A＝{x|x＋1＞0}＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＋2＞0}＝{x|x＞－2}．

∴∁UA＝{x|x≤－1}，（∁UA）∩B＝{x|－2＜x≤－1}．

（2）借助图形，数形结合求解．

由题意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y＝

与直线y＝x将圆（x－1）2＋（y－1）2＝1分成C，D，E，F四部分．∵圆（x－1）2＋（y－1）2＝1与y＝

的图象都关于直线y＝x对称，从而SC＝SF，SD＝SE，而SC＋SD＋SE＋SF＝π，∴S阴影＝SC＋SE＝

.

『答案』　

（1）B　

（2）D

『类题通法』　集合的运算

（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

（2）对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

（3）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解；当集合是点集时，可利用数形结合求解．

3．

（1）（2014·“江南十校”高三联考）已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f（x）＝2－x（x∈A）的值域为B，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．（1，2』B．『1，2』

C．『0，1』D．（1，＋∞）

『解析』选A.由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，

∴B＝{y|1≤y≤2}，∁RA＝{x|x＜0或x＞1}，

∴（∁RA）∩B＝（1，2』．

（2）（2014·广东西北九校高三联考）设函数f（x）＝lg（1－x2），集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．『－1，0』B．（－1，0）

C．（－∞，－1）∪『0，1）D．（－∞，－1』∪（0，1）

『解析』选D.因为A＝{x|y＝f（x）}＝{x|1－x2＞0}＝{x|－1＜x＜1}，则Z＝1－x2∈（0，1』，

所以B＝{y|y＝f（x）}＝{y|y≤0}，A∪B＝（－∞，1），A∩B＝（－1，0』，故图中阴影部分表示的集合为（－∞，－1』∪（0，1），选D.考向四　与集合有关的新定义

　（2013·高考广东卷）设整数n≥4，集合X＝{1，2，3，…，n}．令集合S＝{（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（　　）

A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S

B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S

D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S

『审题视点』　明确集合S表示的含义，对S中的各种情况进行组合，综合分析．也可以对x，y，z，w赋值，利用特殊值排除不符合的选项．

『典例精讲』　方法一：

因为（x，y，z）∈S，则x，y，z的大小关系有3种情况，同理，（z，w，x）∈S，则z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x，y，w，z的大小关系有4种可能，均符合（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S.故选B.

方法二：

（特殊值法）因为（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则（y，z，w）＝（3，4，1）∈S，（x，y，w）＝（2，3，1）∈S，故（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.

『答案』　B

『类题通法』　解决创新集合新运算问题常分为三步：

（1）对新定义进行信息提取，确定化归的方向；

（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；

（3）对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．

4．（2013·高考福建卷）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f（x）满足：

（1）T＝{f（x）|x∈S}；

（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：

①A＝N，B＝N*；

②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；

③A＝{x|0＜x＜1}，B＝R.

其中，“保序同构”的集合对的序号是________．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）

『解析』举例说明有符合条件的函数即可．

①取f（x）＝x＋1，符合题意．②取f（x）＝

x－

，符合题意．③取f（x）＝tanπ

，符合题意．

『答案』①②③

　　　　　　　　　集合中元素特征认识不明致误

　（2012·高考课标全国卷）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　　　B．6

C．8D．10

『正解』　∵B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1，2，3，4，5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1，2；x＝4，y＝1，2，3；x＝5，y＝1，2，3，4.∴B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}，∴B中所含元素的个数为10.

『答案』　D

『易错点』　本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素（x，y）不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．

『警示』　判断集合中元素的性质时要注意两个方面：

一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、（x，y）；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）的定义域，{y|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）的值域，{（x，y）|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）图象上的点．

　　　　　　　　　　　　　遗忘空集致误

　若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为________．

『正解』　

（1）P＝{－3，2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；

当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－

，

为满足S⊆P可使－

＝－3或－

＝2，

即a＝

或a＝－

.

故所求集合为

.

『答案』　

『易错点』　在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S＝∅时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－

可以为－3或2.

『警示』　

（1）从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，勿遗忘S＝∅的情况．

（2）对含字母的问题，注意分类讨论．

1．（2013·高考全国新课标卷）已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

『解析』选B.先求解集合A，再进行集合之间的运算．

∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－

}，

∴A∩B＝{x|－

}，A∪B＝R.

故选B.

2．（2013·高考全国大纲卷）设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

『解析』选B.依据题目条件直接计算．

由题意可知，集合M＝{5，6，7，8}，共4个元素．

3．（2013·高考陕西卷）设全集为R，函数f（x）＝

的定义域为M，则∁RM为（　　）

A．『－1，1』B．（－1，1）

C．（－∞，－1』∪『1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

『解析』选D.由1－x2≥0，知－1≤x≤1，

∴M＝『－1，1』，∴∁RM＝（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

4．（2013·高考福建卷）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

『解析』选A.利用命题的真假判断充要条件．

∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，

∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．