北师大版数学七年级下册数学第4章《三角形》单元测试题含答案.docx

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北师大版数学七年级下册数学第4章《三角形》单元测试题含答案

北师大版2019-2020学年七年级下册第4章《三角形》单元测试题

（满分120分）

姓名：

___________班级：

___________成绩：

___________

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（　　）

A．8cm，7cm，13cmB．6cm，6cm，12cm

C．5cm，5cm，2cmD．10cm，15cm，17cm

2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．若三角形三边长分别为2，x，3，且x为正整数，则这样的三角形个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

4．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（　　）

A．甲B．乙C．丙D．丁

5．如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠CB．AE＝ADC．BE＝CDD．∠AEB＝ADC

6．若线段AD、AE分别是△ABC的BC边上的中线和高线，则（　　）

A．AD≥AEB．AD＞AEC．AD≤AED．AD＜AE

7．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AB．已知∠A＝74°，∠B＝46°，则∠BDC的度数为（　　）

A．104°B．106°C．134°D．136°

8．如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（　　）

A．44°B．66°C．88°D．92°

9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）

①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．

A．①②③④B．①②③C．②④D．①③

10．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中∠A＝52°，则∠ABX+∠ACX＝（　　）

A．38°B．48°C．28°D．58°

二．填空题（共8小题，满分24分）

11．在△ABC中，∠A＝50°，若∠B比∠A的2倍小30°，则△ABC是　　三角形．

12．如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，则补充条件　　可使△ACE≌△DBF（填写你认为合理的一个条件）．

13．如图，在△ABC中，D在AC上，连结BD，且∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A的度数为　　．

14．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2　　．

15．在△ABC中，已知∠B＝50°，∠C＝60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，则∠DAE的度数是　　．

16．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为　　．

17．已知一个三角形的两边长分别为2cm和3cm，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是　　cm．

18．AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO＝AC，则∠ABC＝　　．

三．解答题（共8小题，满分66分）

19．点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：

△ABC≌△CDE．

20．如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠C＝76°，∠BED＝64°．求∠BAC的度数．

21．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF．求证：

AB＝AC．

完成下面的证明过程

证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC　　

∴∠BED＝∠CFD＝Rt∠

∵D是BC的中点

∴BD＝　　

又∵BE＝CF

∴Rt△BDE≌Rt△CDF　　

∴∠B＝∠C　　

∴AB＝AC　　

22．如图，已知∠ABC，求作：

（1）∠ABC的平分线BD（写出作法，并保留作图痕迹）；

（2）在BD上任取一点P，作直线PQ，使PQ⊥AB（不写作法，保留作图痕迹）．

23．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F．

（1）如图1，直接写出AB与CE的位置关系；

（2）如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：

HK＝BK．

24．如图

（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．

25．探究与发现：

如图

（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图

（1）观察“规形图

（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：

①如图

（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　　°．

②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．

26．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝　　．

（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．

①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？

请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？

请直接写出你的结论．

参考答案

一．选择题（共10小题）

1．【解答】解：

根据三角形的三边关系，得

A、8+7＞13，能组成三角形；

B、6+6＝12，不能组成三角形；

C、2+5＞5，能组成三角形；

D、10+15＞17，能组成三角形．

故选：

B．

2．【解答】解：

观察图象可知：

选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，

选项A中的三角形无法判定三角形的类型，

故选：

A．

3．【解答】解：

由题意可得，4﹣2＜x＜4+2，

解得2＜x＜6，

∵x为整数，

∴x为4、5、3，

∴这样的三角形个数为3．

故选：

B．

4．【解答】解：

A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；

B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；

C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；

D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；

故选：

B．

5．【解答】解：

A、根据ASA（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；

B、根据SAS（∠A＝∠A，AB＝AC，AE＝AD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；

C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；

D、根据AAS（∠A＝∠A，AB＝AC，∠AEB＝∠ADC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；

故选：

C．

6．【解答】解：

如图所示：

故选：

A．

7．【解答】解：

∵∠A＝74°，∠B＝46°，

∴∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACD＝

∠ACB＝

×60°＝30°，

∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝104°，

故选：

A．

8．【解答】解：

∵PA＝PB，

∴∠A＝∠B，

在△AMK和△BKN中，

，

∴△AMK≌△BKN，

∴∠AMK＝∠BKN，

∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，

∴∠A＝∠MKN＝44°，

∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°，

故选：

D．

9．【解答】解：

∵BE是中线，

∴AE＝CE，

∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；

∵CF是角平分线，

∴∠ACF＝∠BCF，

∵AD为高，

∴∠ADC＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，

∴∠ABC＝∠CAD，

∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，

∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；

∵AD为高，

∴∠ADB＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，

∴∠ACB＝∠BAD，

∵CF是∠ACB的平分线，

∴∠ACB＝2∠ACF，

∴∠BAD＝2∠ACF，

即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；

根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；

故选：

B．

10．【解答】解：

连接AX，

∵∠BXC＝90°，

∴∠AXB+∠AXC＝360°﹣∠BXC＝270°，

∵∠A＝52°，

∴∠BAX+∠CAX＝52°，

∵∠ABX+∠BAX+∠AXB＝180°，∠ACX+∠CAX+∠AXC＝180°，

∴∠ABX+∠ACX＝360°﹣270°﹣52°＝38°，

故选：

A．

二．填空题（共8小题）

11．【解答】解：

∵∠B比∠A的2倍小30°，

∴∠B＝2×50°﹣30°＝70°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，

∴△ABC是锐角三角形，

故答案为：

锐角．

12．【解答】解：

添加条件∠ECA＝∠FBD，理由如下：

∵AB＝DC，

∴AB+BC＝CD+BC，

即AC＝BD，

在△EAC和△FDB中

，

∴△EAC≌△FDB（ASA）．

故答案为：

∠ECA＝∠FBD（答案不唯一）．

13．【解答】解：

设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x，

∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，

∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，

∴5x＝180°，

∴x＝36°，

∴∠A＝36°，

故答案为36°．

14．【解答】解：

如图，

∵∠1＝∠C+∠4，∠2＝∠C+∠3，

∴∠1+∠2＝∠C+（∠3+∠4+∠C）＝78°+180°＝258°，

故答案为＝258°．

15．【解答】解：

∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝

∠BAC＝35°．

∵AE⊥BC于E，

∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，

∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝35°﹣30°＝5°．

故答案为：

5°．

16．【解答】解：

∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为15cm，

∴BD＝15﹣6﹣5＝4cm，

∵AD是BC边上的中线，

∴BC＝8cm，

∵△ABC的周长为21cm，

∴AC＝21﹣6﹣8＝7cm．

故AC长为7cm，

故答案为：

7cm．

17．【解答】解：

设第三边长为x，

则3﹣2＜x＜2+3，即1＜x＜5．

又x为偶数，因此x＝2或4，

故这个三角形的周长是：

2+2+3＝7（cm）或2+3+4＝9（cm）．

故答案为：

7或9．

18．【解答】解：

如图1，∵AD、BE是锐角△ABC的高，

∴∠AEO＝∠BDO＝90°，

∵∠AOE＝∠BOD，

∴∠DBO＝∠DAC，

∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°

∴△BDO≌△ADC（ASA），

∴BD＝AD，

∴∠ABC＝∠BAD＝45°，

如图2，同理证得△BDO≌△ADC（ASA），

∴BD＝AD，

∴∠ABD＝∠BAD＝45°，

∴∠ABC＝135°，

故答案为：

45°或135°．

三．解答题（共8小题）

19．【解答】证明：

∵点C是AE的中点，

∴AC＝CE，

在△ACB与△CED中

，

∴△ABC≌△CDE（SAS）．

20．【解答】解：

∵AD是△ABC的高，∠C＝76°，

∴∠DAC＝14°，

∵BE平分∠ABC交AD于E，

∴∠ABE＝∠EBD，

∵∠BED＝64°，

∴∠ABE+∠BAE＝64°，

∴∠EBD+64°＝90°，

∴∠EBD＝∠ABE＝26°，

∴∠BAE＝38°，

∴∠BAC＝∠BAE+∠CAD＝38°+14°＝52°．

21．【解答】解：

∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）

∴∠BED＝∠CFD＝Rt∠（垂直的定义）

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

又∵BE＝CF，

∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）

∴AB＝AC（在同一个三角形中，等角对等边）．

故答案：

已知；CD；HL；全等三角形的对应角相等；在同一个三角形中，等角对等边．

22．【解答】解：

（1）作法：

①以B点为圆心，任意长为半径画弧分别交BA、BC于M、N点；

②再以M、N为圆心，以大于它们之间的距离的二分之一为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于E，

则BD为所作；

（2）如图，PQ为所作．

23．【解答】解：

（1）AB与CE的位置关系是垂直，AB⊥CE

（2）证明：

∵Rt△ABC≌Rt△CED

∴AC＝CD，BC＝ED，∠E＝∠B

又∵∠ACB＝90°

∴∠ADC＝45°

又∵∠CDE＝90°

∴∠EDG＝∠HDG＝45°

∵CH＝DB

∴CH+CD＝DB+CH

即HD＝CB

∴HD＝ED

在△HGD和△EGD中

∴△HGD≌△EGD（SAS）

∴∠H＝∠E

又∵∠E＝∠B

∴∠H＝∠B

∴HK＝BK

24．【解答】解：

（1）△ACP≌△BPQ，

∵AC⊥AB，BD⊥AB

∴∠A＝∠B＝90°

∵AP＝BQ＝2，

∴BP＝5，

∴BP＝AC，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ；

∴∠C＝∠BPQ，

∵∠C+∠APC＝90°，

∴∠APC+∠BPQ＝90°，

∴∠CPQ＝90°，

∴PC⊥PQ；

（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，

①若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BP，AP＝BQ，可得：

5＝7﹣2t，2t＝xt

解得：

x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，

则AC＝BQ，AP＝BP，可得：

5＝xt，2t＝7﹣2t

解得：

x＝

，t＝

．

25．【解答】解：

（1）如图

（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：

过点A、D作射线AF，

∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，

∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，

即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）①∵∠X＝90°，

由

（1）知：

∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠ABX+∠ACX＝50°，

故答案为：

50；

②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，

∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴∠ADC＝

∠ADB，∠AEC＝

∠AEB，

∴∠ADC+∠AEC＝

＝45°，

∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．

26．【解答】

（1）解：

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∵

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE，

∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC＝∠DCE，

∵∠BAC＝25°，

∴∠DCE＝25°，

故答案为：

25°；

（2）解：

当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∵

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE，

∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC＝∠DCE，

∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，

北师大版

∴α＝β；

（3）解：

当D在线段BC上时，α+β＝180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α＝β．