初中数学课程简报第二期.docx
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初中数学课程简报第二期
专家引领
运算也是推理
马复
符号运算也是一种推理过程．那么，有时通过符号运算，我们还能够揭示出存在于具体问题中的数学规律．
如下面的问题：
老王开车从A到D，全程共72
千米．其中AB段为平地（见右图），
车速是30千米/时；BC段为上山路，车速是22．5千米/时，CD段为下山路；车速是36千米/时.已知下山路是上山路的2倍，老王开车从A到D共需要多少时间？
分析：
因AB段路程与BC，CD段路程没有确定的关系，似乎缺少一个条件，可解吗？
第一步：
选择几个特殊值（AB长）试一试，观察结果的特点.
结果竟然是确定的——都是2.4！
猜想：
结果与AB段路程长短无关？
需要确认.
解：
设立字母表示问题中的有关量：
AB=x，BC=d，CD=2d.
列式求解：
总时间为T=
+
+
，而且x+d+2d=72.
代入后：
T=
+
=2.4.结论与x，d的值无关.
进一步的思考：
其中的已知量不可以改变吗？
有没有更一般的结论？
按照上述题目中的已知，可以这样做：
设平路行驶速度为5v，那么上山、下山的速度就分别是
v，6v，而AD=12v.代入后：
T=
+
+
，而且x+d+2d=12v，解得T=2.4.
一般性结论：
老王开车从A到D，全程共12a千米.其中AB段为平地，车速是5a千米/时；从BC段为上山路，车速是
a千米/时；CD段为下山路，车速是6a千米/时.已知下山路是上山路的2倍，那么，老王开车从A到D需要2.4小时.
其中，a=6就是原题，换其他的a值可以得到其它的题.
用字母表示未知量，对未知量进行运算，并且观察运算过程，可以发现一般性结论.解题过程中还蕴含对相关数学关系的领悟.
思考求解过程表明：
结论之所以与x、d的值无关，是因为x，d在运算过程中被消去了.换言之，在现有的已知条件下，取任何的x，d值，结论都相同.那么，什么是决定该问题结论的实质性条件？
不可能只能是30，60，22.5，72这样的特定数值！
但也不是换任意的数值都行.满足什么条件的数值可以呢？
从上面的结论中可以看到：
既然a可以取任意正值，那么，从理论上来看，2.4这个唯一结论的适合范围就太大了——AD可以是任意长路程，只要它与速度满足那个关系式！
2.4又是从哪里来的呢？
它很神秘吗?
显然不是的.只要将全程路长改一下就可以了，事实上：
T=
.
进一步：
那么，这个问题解的原理究竟是什么？
事实上，我们知道，对一个匀速运动过程而言，当我们知道一段路程的全长，以及行驶过程中的速度时，行驶时间就是确定的.而对于一个变速运动过程而言，在知道路程长度的情况下，只有知道平均速度，才能够确定行驶时间.所以，只要车辆在BC段和CD段的平均速度与AB段的速度相同，那么就一定有类似的结论.
例如：
若BC段和CD段的路程仍然是1:
2，取BC段速度为v，AB段速度为
v，CD段速度为3v，AD全长为mv，就可以得到其他结果.
进一步，还可以做变化：
BC段和CD段的路程不是1:
2，改为其他，则又能够得到另外的结论，只不过没有实质性新意了.
在后续的代数学习，如解方程、解不等式、确定函数表达式以及函数最值等问题中，都需要对关系式进行适当的恒等变形，因此，符号运算成为后续数学学习（特别是代数学习）的一个基本技能，符号运算是后续问题解决的基础．
专题二《函数的教学》研修要点
省课程专家禇爱华云鹏
函数是初中代数的一个核心学习内容。
在《课程标准》中，它实际上贯穿在整个义务教育的课程内容之中。
一次函数的学习不能仅仅着眼于解决几道题目，而应不断加深对函数思想的领会，你是这么认识的吗?
在反比例函数的学习过程中，学生较为常见的困难有哪些？
怎样处理？
一次函数与反比例函数和二次函数明显不同的是什么?
二次函数是研究某些单变量最优化问题的常用数学模型，你同意这个观点吗?
教师如何进行函数型应用题的教学？
视频中推荐的做法有效吗？
许多问题表面上看起来不是数学问题，只有去粗取精、去伪存真，找出影响事物性质的主要因素后，才能把它抽象成为数学问题。
这是否是函数难学的原因之一呢?
函数难学的其他原因又有哪些呢?
通过学习今天的研修专题《函数的教学》，要有效地突破这一个个难点，老师们，您准备好了吗？
热点聚焦
热点之一：
关于因式分解
我看因式分解教学的初高中过渡
临清市京华中学张曼
省课程专家张宝军，推荐理由：
张老师的见解有独到之处，“让初高中教材的编委老师共同探讨初高中教材的脱节之处，让所有的学生可以轻松快乐的学习”道出了初、高中衔接所要加强的工作。
为了学生将来的发展，对学有余力的学生加强培养，提高他们的解题能力，激发探知的欲望，是初高中老师共同的责任。
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。
《数学课程标准》虽然降低了因式分解的特殊技巧的要求，也对因式分解常用的四种方法减少为二种，且公式法的应用中，也减少为2个公式，但丝毫没有否定因式分解的教育价值及其在代数运算中的重要作用。
《数学课程标准》对因式分解的要求有严格的界定，如应用公式法只要求平方差、完全平方公式，且直接用公式不超过二次。
而对于十字相乘法，根据《数学课程标准》的目标，课本不作要求。
但是，现在高中教材则更加注重与大学接轨，高中数学的基本内容都放在了高一，和初中教材的衔接出现了参差不齐的问题。
许多初中没学的内容要让高中老师将每个知识点都讲透也不太可能。
所以，很多学生一下从初中的简单过渡到高一的难度，肯定会不太适应。
如因式分解中常用的方法——十字相乘法，对于高中的解一元二次不等式，有着密切的联系，经过几年的课程改革，面对中考，初中阶段补充完全没有必要。
可是如果不补充，对于高中正常的教学可能就难以顺利开展下去。
我个人认为，应该让初高中教材的编委老师共同探讨初高中教材的脱节之处，让所有的学生可以轻松快乐的学习。
从自身出发，我们也应该反思我们的教学，我们应该更多的交给学生思考问题、探索问题的方法，是过程，而不是结论。
当我们的孩子有更多解决问题的法宝的时候，适当的脱节不正好给了他们无穷发挥的空间吗？
让所有的教育工作者共同努力，创造最适合孩子们的教材，最适合孩子们的课堂！
！
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初中数学教学应增加十字相乘分解因式的教学
栖霞市苏家店镇第一初级中学 苗春达
省课程专家吕学江推荐，推荐理由：
对于二次三项式以及可用“换元”、“主元”思想化归成的二次三项式，用“十字相乘法”分解简明便捷，对后继的分式化简、解某些一元二次方程支持很大，也是高中相关问题解决的基础。
苗老师从自己教学实践出发提出需补充学习的建议和做法有代表性，我表示认同。
老师们处理该问题必须遵循课标，但作为课程资源的开发者、创造者，允许在不冲击通法、不加重课业负担的前提下做有益的补充。
现在数学课本中，因式分解的方法不外乎提公因式法，公式法。
而十字相乘法因式分解却被删去了。
我认为应该增加十字相乘分解因式的教学内容。
首先，增加这一部分内容不会增加学生的学习负担，学生学习这一内容并不困难。
其次，我认为因式分解是作为一种数学工具出现的，它最终是为了让学生进一步的学习作好准备，如分式的化简，解方程，等等。
而十字相乘也是今后学习中尤其是解决一元二次方程以及二次函数的有用工具。
尤其是学生进入九年级，一些综合代数题目，只要涉及到解一元二次方程，绝大部分可以用十字相乘来解决。
因此，十字相乘这一方法，是无法回避的。
相信许多老师在教学实践中都自然而然地教给了学生这一知识。
而学生掌握这一方法，会大大加快解方程的速度，减轻学习负担。
高中的一些知识，如一元二次不等式的解法，要用到十字相乘，但是由于初中教学实际中要大量运用，把这一部分放在初中是很有必要的。
初中与高中对因式分解要求的差别
莱州市柞村中学张培明
省课程专家毕文卿推荐，推荐理由：
张老师对因式分解在初中与高中的差别方面有自己独到的见解。
文章从多个方面来分析问题，阐述观点清楚。
要真正落实素质教育，就必须让学生做到真正的自我发展，“我们的教学应该紧跟新课标走”。
文章也针对十字相乘法的教学提出了自己的一些建议。
初中和高中时两个不同的学段,但是他们所学知识是有联系的、前后照应的。
由于初中与高中的学生有所区别，对于初中的孩子来说，初中教育是义务教育，我们的目的也很明确，就是首先让所有的孩子都能接受基础教育、掌握一定的数学知识，另一方面是学生提高能力，为升学做准备。
初中毕业以后，学生多了很多选择，他们可以根据自己的情况，自己的喜好选择不同的学校，可以是重点高中，可以是普通高中，也可以是职业学校。
整体来看，初中教育是面上的普及，高中教育是提高。
所以在知识上是存在差别的，也就是初中教育不能延伸太多，否则会对很多学生产生压力，导致学生厌学，进而辍学。
但是对于有能力的学生来说十字相乘法和常用的分组分解法，为了以后高中的学习，我认为可以加上，作为选学内容。
在因式分解这一块上，初中新课标删掉了十字相乘法和常用的分组分解法，而在高中，这一些还是要继续研究的，这样看来好像是形成了断层，加大了高中的授课压力，其实不然，初中学生掌握知识的能力是有限的，如果再把这些东西加进去，只会让学生产生混淆，知识过于凌乱，不一定是一件好事，我们在授课的过程中，可能会出现十字相乘的问题，但是我们可以引导学生从另一个侧面进行分析，利用别的知识一样可以解决的。
这种情况也是很少出现的，毕竟我们的教学应该紧跟新课标走的，习题的筛拣需要一个过程，所以我们应该让数学变得简单实用。
因此我认为十字相乘法分解因式可以作为数学兴趣小组课外研究的内容，既可以让一些尖子生拓展知识面，提高能力，增加兴趣，又不会因增加学习内容和难度，而影响其他学生的学习。
热点之二：
关于应用题之题型教学
方程应用题的教学是否应当遵循题型教学
子路中学 李广文
省课程专家褚爱华推荐，推荐理由：
本文虽然短小，但分析到位，给我们以启示。
对于方程的题型教学，老师们都有自己的看法。
无论传统教材，还是现在每个版本的教材，应用题的教学基本都是以题型出现的，但是不能仅仅认为教会学生解决这些题型，甚至我们帮助学生总结出每一题型公式、套路就可以了，这不是目的。
我们是借助题型教方法，跳出题型长能力，方程教学的根本是培养学生的建模能力，提高分析问题和解决问题的能力。
方程的应用题一直是教学中的难点，同样也是学生学习感到非常棘手的地方。
为解决这个矛盾，许多教师以题型教学去完成教学任务，由于这样可使知识点集中，分类明显，结构清晰，学生非常易于接受，在教学过程中收到了很不错的效果。
但是这样做也有一个弊端，就是很容易造成学生的思维定势，不利于学生发散性思维的训练和培养，发展性明显不足。
这个问题应该辨证的来看。
例如：
我们会很自然地将方程类应用题归结为以下几种基本类型；比如行程、效率、分配、利润等等几种典型的，既方便于教学，也更能让学生很快的接受，顺利地完成教学任务。
但是对于不是很明显地能划分入这几类中的应用问题学生却是无从下手。
因此，平时教学可以先从题型入手，到基本能掌握时，一定要使学生从这部分知识拓展出去，用一些典型的例子来克服定势。
方程应用题的教学没有必要遵循题型教学
州城镇第二中学孟宪翠
省课程专家邱军推荐，推荐理由：
不以对错，而以优劣来评价题型教学，说明教师在实践中做了认真的思考，尽管文中有些看法较为偏激，值得商榷，但利于学生长期发展的本意是对的。
既然此处提出这一题目，我想肯定是因为在实际教学中有老师在运用这一方法，而且据我的观察，运用此法教学的老师还不在少数。
这也说明该方法，在某种程度上是比较有效果的。
从道理上讲，任课教师把看似杂乱又深奥难懂的应用题归纳为简简单单的几类题型，把每类题型都进行深入细致的讲解，让学生在遇到应用题时先看他们属于哪一类题型，然后再对号入座，运用相应的方法解决，这也确实可以让学生理清思路，得以较快地解决问题。
但是——请注意我此处的但是：
第一，我们只能够把常见题型进行分类，所以题型教学就具有相当大的限制；第二，运用方程解应用题的关键是找等量关系而非所谓的“题型”，只要找到了正确的等量关系，问题便迎刃而解。
在题型教学下的学生必定是先看该题目属于哪种题型，然后还是需要找具体问题中的等量关系，这就相当于增加了一个步骤。
从这个意义上讲，题型教学非但没有使问题简单化，反而复杂化了；第三，从技能而言，我们的目的是让学生能够把方程作为方便实用的工具来解决实际生活中可能遇到的问题，而不是让他们去给大千世界去分类，题型教学有点舍本逐末；第四，也是最后最为关键的一点——我们为什么非要把孩子装在套子里？
方程应用题的教学如果遵循题型教学，势必会限制学生的思维、造成学生刻板、教条的思考习惯，对学生的长期发展不利。
综上所述，虽然在方程应用题的教学中题型教学可以在短时间内，在一定范围内收到比较理想的效果，但是，其弊则更大。
我们不可以仅仅是“为解题而教学”“为分数而教学”，我们更应该注重学生的长足发展，使其掌握技能、发展能力，保护学生灵活的思维方式。
方程应用题的教学是否应当遵循题型教学
山东省临沂第八中学周玉霞
省课程专家汤华财推荐，推荐理由：
周老师一方面承认在初中阶段的应用题教学中应当遵循题型教学，有利于学生掌握解应用题的方法，克服难点，同时指出遵循题型教学并不等同于让学生去死套模式，而是让学生在分类学习的过程中，建立起解决问题的数学模型，找到解决问题的思路，提高学生分析问题、解决问题的能力，这是进行分类教学的最终目的，我们不能因为归类教学而使学生形成思维定势，违背新课程标准的要求。
在初中阶段的应用题教学中，我个人认为还应当遵循题型教学。
因为应用题的学习是学生学习的一个难点，很多学生一见到应用题就头晕，更何况用方程的思想解决应用题这是初中学习的一个重点。
为了更好的分解这一重点和难点，在一开始的应用题教学中很有必要进行题型教学，即所谓的先让学生进格，然后再出格。
其实在课本的安排上也大致遵循了这一原则吧。
当然遵循题型教学，并不等同于让学生去死套模式，而是让学生在分类学习的过程中，不断建立起最基本的数学模型，遇到问题能够找到思考的方向，进而提升自己分析问题解决问题的能力。
比如在应用题的学习中，我们常见题型有如下几种：
（1）行程问题。
要掌握行程中的基本关系：
路程＝速度×时间。
相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：
各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：
两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
环形跑道上的相遇和追及问题：
同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
航行问题：
相对运动的合速度关系是：
顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。
行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。
（2）工程问题。
其基本数量关系：
工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
（3）利润率问题。
其数量关系是：
商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％。
（4）银行储蓄问题。
其数量关系是：
利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×360。
（5）数字问题。
要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。
列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。
题型教学的利弊权衡
兖州市第十五中学 边玉华
省课程专家吕学江推荐，推荐理由：
列方程解应用题关键是正确选择问题情景中的等量关系，设定恰当的未知数用方程表达出来。
边老师所讲可以题型教学，只是为引导学生用简捷的思维路径或惯用的知识经验直抵所寻求的等量关系，在实际教学中是有效的。
我同意边老师的观点，需牢牢把握探求等量关系这一关键，不至于用分类、套模型等框住学生分析解决问题的思路。
在初中数学中，对应用题的处理对教师与学生来说都是个难题。
对学生来说，应用题题型千变万化，题意纷繁复杂，如何从中提取有用的信息，准确建立数学模型，对学生来说非一朝一夕之功。
而对教师而言，如何通过典型例题的处理，以点代面，迅速提高学生应用题解题能力，是每位教师在处理这部分内容时都要思考的一个问题。
针对这种现状，有人提出在方程应用题的教学实施题型教学，即将应用题分成不同的类型，进行归类处理，然后归结出解题模式，在学生碰到类似题目时，运用惯性思维将题解出。
但我认为这种一劳永逸的想法在教学中未必行得通，理由在于：
1．应用题题型多样，如列方程解应用题的常见题型有:
（1）和、差、倍、分问题；
（2）行程问题；（3）调配问题；（4）工程问题；（5）浓度问题；（6）体（面）积问题；（7）利润率问题；（8）数字问题等，而新题型又不断涌现，受教学时间等因素的制约，不可能也没必要全部涉及到。
2．即使每种类型的题目我们都总结出了所谓的解题方法与技巧，就能解决这个难题吗？
我们知道，对应用题的处理是考察学生的分析问题及解决问题的能力，需要学生收集处理信息，分析综合的全面结合。
因而，如果死搬硬套对学生来说收效甚微。
我认为，在方程解应用题的教学中我们可以实施题型教学，通过典型题目，掌握每种题目类型的基本数量关系，如“路程=速度*时间”，“利润率=利润/进价”等。
但更重要的要将教与学的重点放在题意的理解与数学的建模上，通过教师的设计引导，让学生分析出隐含的等量关系，以逐步提高学生的解题能力。
例如：
要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
教师引导学生思考：
1．你读取到哪些信息？
知道哪些数量关系？
2．为什么上下边衬与左右边衬的宽度之比也是9︰7？
3．若设封面上、下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm,则中央矩形的长为 cm，宽为 cm.
4．列方程 。
5．方程的解都符合实际意义吗？
6．如果设其他未知数，是否可以更简便地解决上面的问题？
在解决这个探究时，可以在黑板上作图形，借助图形帮助同学们理解。
在问题2中，是要现搞清封面的长宽之比为27︰21=9︰7由中央矩形长、宽与封面长、宽比例相同也是9︰7，由此可以断定上下边衬与左右边衬宽度之比也是9︰7。
掌握这种由比例来设未知数的方法，当然，要会通过图形找一些数量关系。
遵循题型教学只能给今后的教与学带来被动
枣庄市第四十一中学 冯君才
省课程专家孟伯谨推荐，推荐原因：
冯老师在文中指出了应用题成为学生学习难点的原因，同时也指出了应用题教学的重点所在，其观点值得大家借鉴和学习。
应用题是学生学习的难点，主要是不能够理清实际问题中的复杂的数量关系，因而列不出方程。
因此对应用题的教学，应当把重点放在让学生如何把未知转化为已知，如何去发现等量关系上，而不应过分地看重遵循题型教学。
遵循题型教学很容易造成学生机械地记忆解题模型，这不仅束缚了学生的思维，还很容易挫伤学生的学习积极性。
如行程问题，只要指导学生根据题意画出草图，进而找出等量关系，学生解起题来就很容易，对其它题型的学习也有好处。
但如果过分地遵循题型教学，学生往往就去想这个问题是属于具体的哪一个类型，再去解决，而不是去寻找等量关系。
如果学生套上了题型，就眼前解决这一问题很容易，也会很正确，但套不上会怎样呢？
因此，遵循题型教学，这不仅不利于提高学生分析问题的能力，更会影响学生的智力开发，只会给今后的教与学带来被动。
经验分享
因式分解教学建议
夏津县第六中学宋兴林
省课程专家张全红推荐，推荐理由：
因式分解教学是教师关注的热点问题之一，宋兴林老师结合自己的教学经验，对因式分解教学给出了详细的分析并给出教学建议，是一篇值得关注的文章。
关于因式分解教学存在困惑的和有自己独到见解的教师可以阅读本篇文章，也推荐教师们阅读首都师范大学王尚志教授《如何认识“十字相乘法”？
》一文，在专题一拓展材料中，网址如下：
1．重视对因式分解意义的理解教学，认识因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形，防止学生对整式运算与因式分解的概念发生混淆。
在概念引入时应引导学生观察、对比因式分解与整式乘法两者的区别、联系，归纳因式分解与整式乘法的变形特点，真正理解因式分解变形的目的和意义，在这基础上给出一些因式分解后结果的特征，例如结果是几个小括号的乘积，括号外面没有加减号等明显特征，让学生辨别一些似是而非的恒等变形，判断这些较明显恒等变形是不是因式分解变形，从而牢固掌握因式分解的含义。
2．重视提公因式法分解因式，它是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法。
它的理论依据是乘法分配律。
在讲解时可以先复习单项式除以单项式，然后练习寻找公因式，提出公因式后再用单项式除以单项式的方法就是提公因式法。
用这个方法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要的。
3．运用公式法的关键是熟悉各公式的形式和特点。
对初学者来说，如何根据要分解的多项式的形式特点（项数、系数、指数）来选择用什么公式，往往不是很容易，这也是运用公式的难点。
因此在教学中应注意分析实例，指明思路、交待方法，以便克服难点。
4．保证基本的运算技能的落实，避免繁杂的题型训练。
符号运算对于数学来说是必不可少的，运用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标，由于因式分解在后面几章的学习中还可以继续巩固，因此教学中要依据教材的要求，适当的分阶段进行必要的训练，使学生在具备基本的运算技能的同时，能够明白每一步的算理。
教学中要避免过多繁琐的运算，不追求试题数量和试题的难度。
在讲解时要注意：
①设置好问题背景；②由易到难，符合学生的认知；③观察学生的思考层次。
5．评价：
①注重从具体的因数分解类比得出因式分解的过程，以及探索因式分解方法过程的评价。
②对知识技能的评价应注重学生对因式分解意义的理解和应用。
③关注学生能否选取适当的方法将一个多项式进行因式分解，甚至在分解因式时，可以让学生说明每一步思考的理由。
④关注学生能否感受到用类比的思想方法去分析、理解整式乘法与因式分解的关系。
方程应用题的分析方法教学
山东省济南实验初级中学 虞瑾
省课程专家姜仲平推荐，推荐理由：
虞老师对方程应用题的教学有自己独到的思考和实践，文虽不长，但朴实有益，很好的渗透了新课程理念。
虞老师善于挖掘教材内涵，通过对常见应用问题的处理，培养学生发现问题解决问题的能力，对应用问题的教学抓住了其本质的东西，有现实意义和时效性，值得借鉴。
我通过多年的教学发现，遵循题型分类的教学容易禁锢学生思维，不利于培养学生分析、解决问题的能力，尤其对学生总结、归纳行之有效的学习方法不利。
所以我现在对于任何类型的应用题，在初中阶段从初一的列代数式，到以后一系列各种类型的方程、方程组的应用，不等式、不等式组的应用，函数的应用等，基本涵盖了初中代数知识的所有应用，我都采取了同样的分析方法：
⑴列表格；⑵
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