初中数学课程简报第六期.docx
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初中数学课程简报第六期
专家引领
专题六《概率》研修要点
省课程专家颜峰吕学江毕文卿
今天，我们将与老师们一起研读马复教授和他的课程团队讲概率专题。
概率在我们应用数学中占有很重要的位置，用概率的知识预测随机事件发生的可能性大小，在日常生活、自然、科技领域有着广泛的应用。
学习概率知识，无论是今后继续深造还是参加社会工作都是十分必要的。
与代数、几何、统计一样，概率的学习也是梯次递进、螺旋上升的，循序渐进达到课程目标。
从学段课标要求来看，1—3年级只要求学生对数据统计过程有所体验，学会一些简单的收集、整理、描述数据的方法；初步体验不确定性，知道事件发生的可能性有大有小，会描述简单事件发生的可能性。
4—6年级提高为经历简单数据的统计过程，能合理的收集、整理、描述数据并作出自己的分析与预测；能表达一些简单事件发生的可能性，对简单事件发生的可能性作出预测并说出理由。
到7—9年级则要求学生从事收集、描述、分析、评价数据的全过程，体会抽样的必要性和用样本估计总体的思想；具体计算事件发生的概率，体会“大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值”，建立正确的概率直觉。
初中学段对对概率的学习分三个层次：
一、体验并明晰生活中存在着不确定现象。
事件发生的可能性是学生在现实生活中常有体验并具备一定的判断经验的，他们能够用诸如“肯定”、“不一定”、“不可能”、“偶尔”、“可能”的语言来描述。
例如，从一只装有10个红球的纸盒中任意摸出一球，一定是红球吗？
再加5个黑球，任意摸出一个，可能是黑球吗？
可能是黄球吗？
我们教学时需引导学生用“一定”、“可能”或“不可能”表达，依据学生生活经验，也可以制作教具动手操作，让他们有直观的判断，从中验证推断的合理性。
二、知道事件发生的可能性是有大小的。
例1从一只装有9个红球和1个黑球的纸盒中摸出一球，摸到红球、黑球的可能性一样吗？
摸到哪种颜色球的可能性大些？
例2抛出一枚硬币，落地后朝上的面一定是国徽吗？
可能性有多大？
例3某商场有奖销售，奖券中奖率为
，小明摸了10张，一定能中奖吗？
可能性大吗？
小红摸了1张，一定中奖吗？
可能性大不大？
三、定量刻画事件发生的可能性——概率。
从知道事件发生的可能性有大小之分，到具体刻画其可能性的特征量——概率，是从定性描述到定量刻画的重要过渡。
教学时，要通过大量丰富的生活实例，让学生经历猜测、试验操作、收集与分析结果、合理表达的过程、体验、认可事件发生的可能性，在此基础上，会求一些简单事件发生的可能性。
例4从一只装有5个红球和5个黑球的纸盒中摸出一球，摸到红球的可能性有多大？
例5在一只装有若干球的纸盒中，摸到一个红球的概率为
，可以怎么放球？
实际教学中，对于概率的基本概念深浅的把握，古典概率与几何概率的理解，概率题目难易的设计，大量重复试验的必要性与教学时间有限的矛盾，老师们有不同程度的困惑、无措；教材编写资源不足，学生缺乏生活积累和知识经验，老师们也会或多或少的迷茫、无助。
相信通过我们观看讲座、讨论交流、体会反思、实践探索，问题会迎刃而解。
专家解惑
编者按：
今天我们进行了本次研修的第一次《在线研讨》。
老师们积极参入，踊跃发言，发了大量的帖子——总数多达57998个。
我们将对老师讨论的热点话题分期进行集中解答。
谈谈“螺旋上升”
省课程专家云鹏
关于教材体系中倡导“螺旋式上升”的问题，在昨天的作业中大家从不同的角度谈的比较多，也很深刻。
但在今天的《在线研讨》中，又有许多老师谈到这一问题。
下面我想结合前面认识比较统一的《关于四边形性质的探索与证明采取合并教学（边探索、边证明）还是分开教学（全部探索完以后再证明）》谈一下自己对“螺旋式上升”的认识。
1．就《四边形》整章知识而言，无论从学生的认识水平，还是考虑到提高学习效率，虽然各有利弊，本人倾向于合并（理由看简报第五期）。
2．合并后从教学的角度怎么整合。
在我们所看到的作业中发现，有人试图这样处理：
“以平行四边形为例，平行四边形的性质：
（1）平行四边形的两组对边分别相等；
（2）平行四边形的两条对角线互相平分；
（3）平行四边形的两组对角分别相等.
在学习这几条性质的时候，我们可以将这几条性质转化成证明题的形式加以探索。
如：
（1）已知：
在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC
求证：
AB=CD，AD=BC.
（2）已知：
在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC且对角线AC，BD相交于点O.求证：
OA=OC，OB=OD.
（3）已知：
在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC.
求证：
∠A=∠C，∠B=∠D.
我们认为这不叫合并，是吞并。
应当是：
（1）已知：
在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC你能发现什么结论（先探索），你能证明你的结论吗？
（再证明）。
上面的处理方法若再考虑学困生的话还应再细致一点：
①你发现了一个什么结论（耐心听，关注学生考虑问题的角度：
边，角，对角线！
）？
②你是怎么发现的，理由是什么（鼓励他说：
说理）？
③你能证明你的结论吗（别忘了夸赞：
证明）？
这中间，学生能回答到第几个问题都应鼓励。
如此处理虽然对优秀生来说有一种被卡住的感觉，但他的好处是，给学困生一个探究问题的机会，如此，既培养了学困生探究问题的能力，又能解决他们眼高手低的问题。
当然，当学生的能力有所提高后，就应放手让学生们畅所欲言，充分展示他们的探索结果……后者的好处是：
更能激发学生的学习热情。
就整章内容的处理也是如此：
类比三角形（这里的前提是学生已经学习了证明一、证明二）去猜想，四边形应从哪些角度（不再细述，对老师的引导水平要求较高）去研究，理出框架。
再逐个（单元）分解.
把一个大家比我认识还要深刻的内容罗里罗嗦说出来，意在消除大家因落脚点不同而引发的歧义。
同时，按照这一思路也想对其他的是否需要螺旋式上升的问题（例如，函数的问题，概率的问题，）提供一个思考问题的方法：
先把事情方方面面想明白，其它问题自会迎刃而解。
例如北师版初一下学期《变量之间的关系》一章要求达到什么程度,老师们是否把它拔高了？
可能性的问题,作者是否把学生看低了?
等等.
因时间仓促，加之参加在线研讨后到现在还在晕（我于2009年7月26日才被逼拥有QQ，网上聊天为零，过去仅会用电脑打一份中考试卷），但愿我没有把大家说得更晕。
热点聚焦
权——想说爱你不容易
济宁学院附属中学 丁传亮
省课程专家姜仲平推荐，推荐理由：
一个看似不难的知识点，为何那么些学生学不好？
究竟难在哪里？
丁老师从五个方面给予了深刻的剖析，尤其值得大家参考借鉴的是他同时给出的四条对策；如果我们都能这样不断及时的进行教学反思，将为成为一个研究型教师奠定坚实的基础；其功底扎实，行文流畅，也实难可贵。
指导教师崔月勇推荐，推荐理由：
对症下药才能药到病除。
丁老师先透彻地分析了加权平均数难学的原因，然后提出了具体的解决办法，对这部分内容进行了深刻的反思。
更难能可贵的是，他能把自己的所思所想表达地这么清楚。
摘要：
加权平均数是教学的难点。
原因有教师自身因素、学生阅读能力、学生思维定势、统计量的选择、百分数的出现增加了理解的难度五方面的因素。
我认为加权平均数是教学的难点。
在我19年前刚刚参加工作时，担任初三的教学，当时统计初步属于初三的内容。
我觉得统计是最容易学的，有什么难点，记住公式会用就可以了。
事实上学生接受起来并不容易，考试时两极分化比较严重。
也就是说，有些学生并没能真正掌握。
现在的教材统计中加权平均数比原来又增加了一些实际应用的题目，难度自然就加强了。
所以，教学时更要引起重视。
下面我从两个方面谈谈如何科学而有效的处理这一难题。
一、原因分析
1.教师自身因素
有些老师认为平均数计算直接代入公式就可，老师不讲学生也会，有何难。
这种认识必然导致老师的松懈心理，引不起重视，学生就会学的糊里糊涂，吃了夹生饭，消化不良的毛病难治了。
所以，在一定程度上讲，有时是我们老师加大了加权平均数的难度。
2.学生阅读能力
在鲁教版教材中，加权平均数是在七年级下册学习的，对于七年级的学生，阅读是他们的薄弱环节，现在的孩子在电视电脑方面付出的较多，阅读理解能力普遍下降。
而加权平均数更多的是应用问题，应用恰恰是我们学生学习的薄弱环节。
从2002年山东省中考来看，学生的应用能力普遍较差，特别是利润打折问题。
七年过去了，我们教材中已知把这些应用作为重点去处理，培养学生的应用意识，然而学生进步不太大，这也是他们认知特点决定的。
锦上添花易，脱胎换骨难。
3.学生思维定势
对于加权平均数，由于数据中既有我们研究的数据，也有权数，学生在区分时，有一定的难度。
特别是由上下两行表格提供的条件。
学生更是难以区分，习惯上总认为上面的是数据下面的是权。
思维定势，给我们的教学带来了难度。
4.统计量的选择
在统计中，学生学习了平均数、众数、中位数这三种特征量之后，对于一个问题，选择哪种特征量去说明，有一定的难度。
而有时又只能选择一个合适的去说明，其余的起不到作用。
象我们今天嘉宾中张老师提出的开放型问题，难度就更大了。
学生不好去抉择。
所以，特征量的选择导致本部分的又一难点。
5.百分数的出现增加了理解的难度
在鲁教版中位数这节中，分两课时完成，第二课时重点研究比例问题和百分数问题这些都是学生难以接受的，特别是百分数作为权，更对他们刚刚建立”权”的认识一次大的冲击。
二、应对策略
1.细化概念：
应让学生真正理解加权平均数的概念：
在讲加权平均数时，我首先给学生提出一个问题，你知道我们济宁市比较景气的山推公式股份中日本占多少吗？
有些学生提出百分之五十一？
接着乘胜追击，为什么他必须占百分之五十以上。
从而学生对于股份制中，股份的多少就是权的多少明确了。
然后类比我们求平均数的简化公式，这里的数据的个数就叫做权，权就体现了这个数据的重要程度。
学生自然就容易理解了。
2.分析对象：
对于学生的思维定势，我的做法是这样的。
我引导学生从研究对象入手，比如：
某公司销售部有营销人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下表：
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人 数
1
1
3
5
3
2
本题有两组数据，公司目的是为了制定某种商品的月销售定额，所以研究对象为每人销售件数。
从而权数也随之确定。
3.明确应用：
加权平均数，直接运算的在课本中出现了三种类型。
一是公式型：
即直接代入公式进行计算，本题只要分清数据和权数代入即可，不再多谈。
二是比例型：
如鲁教版76页例1、一家广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A，B，C三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测 试 成 绩
A
B
C
创 新
72
85
67
综合知识
50
74
70
语 言
88
45
67
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4︰3︰1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？
讲课时我是这样处理的：
用多媒体只出示第一个问题。
学生容易得到。
解:
A的平均成绩为（72+50+88）=70分，
B的平均成绩为（85+74+45）=68分，
C的平均成绩为（67+70+67）=68分。
然后提出问题“如果根据这三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
”你认为是否合理？
你认为如何录取？
在讨论过程中，一定要注意给学生留有充足的时间。
使学生真正明确题目中数据的含义。
接着再出示问题
（2）学生就易于解决了。
三是百分比型：
这是最难的一种，如鲁教版78页某校规定学生的体育成绩由三部分组成：
早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%，小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是多少？
对于这个问题难点是学生不知道20%这个数据如何运用。
我采用了先让学生讨论，能否转为为上面的问题。
显然理解为总份数为100，三项成绩分别占20，30，50。
从而得到解决，也便于理解。
在此基础上，将式子一转化就得到下面的结果：
解：
小颖这学期的体育成绩是92×20%+80×30%+84×50%=84.4（分）．
答:
小颖这学期的体育成绩是84.4分．
从而得到第二种比较简单的方法，同时学生也不会感到太难。
另外一种，就是公式的变式升华
加权平均数除上面三种直接运用外，还常常会用到变式运用。
如：
下表是某班部分学生的一次语文测验的成绩分配表：
成绩/分
50
60
70
80
90
人数/人
2
3
x
7
2
根据上表，若成绩的平均数是72，计算x的值．
本题首先要明确权，然后将数据代入即可得到一个关于x的方程。
4.正确选择
老师教学时，一定要使学生明确中位数、众数、平均数的含义，都是反映一组数据的集中趋势。
但是它们反映的角度不同，可以结合实例分析其描述数据的不同含义。
以上是我的一点粗浅看法，不对之处，敬请指导。
“加权平均数”是教学难点
济南舜耕中学 李以观
省课程专家褚爱华推荐，推荐理由：
我赞同李老师的观点。
平均数教学中尤其以加权平均数的求法最难，不仅概念本身比较难于理解，而且什么时候使用加权平均数的计算公式、怎样能准确运算，对于初学者也有困难.李老师结合自己多年的教学经验和对统计知识的高层次理解，深入浅出的给我们分析了难点成因及教学建议，推荐给大家学习。
指导教师迟麦英推荐，推荐理由：
每次拜读李老师的文章，都有收获。
能抓住问题的实质，巧妙解决。
加权平均数是教学难点，有这样几个原因：
1.初中学生对于数学符号的理解还比较肤浅，而加权平均数的定义中数学符号较多，实际上有很多学生看不懂。
2．加权平均数在应用起来往往和定义不完全一致，也导致一部分学生困惑。
在基本定义中“权”是某个数据出现的次数，但是我们在应用时也有应用频率的时候，当然“权”有时体现了某个数据的“重要程度”，还有时“权”是某个数据出现的概率。
这些内容有的是综合程度比较强，有的是学生不够熟悉，还有的是“权”比较“隐蔽”。
例如：
“一段山路，某人下坡时速度为a千米每小时，上坡时速度为b千米每小时，求这个人往返一趟的平均速度。
”
题目中的两个速度的“权”重不同就是一部分学生不好理解的。
3．加权平均数中的“权”的理解比较抽象，特别是在它体现在所谓“重要性”和“概率”上时，更使一部分学生困惑。
克服难点没有捷径可走，还是老生常谈，引导学生理解概念，多举学生身边的常见的、熟悉的事例。
先引导学生对基本形式的定义有一定的了解，再去引申，不要操之过急。
当一组数据中的某些数重复出现几次时，那么它们的平均数的表示形式发生了一定的变化。
例如，某人射击十次，其中2次射中10环，3次射中8环，4次射中7环，一次射中9环，那么他平均射中的环数为
（10×2+9×1+8×3+7×4）×
=8.1
其中的“权”就是某个数据出现的频数。
这里，7，8，9，10这四个数是射击者射中的几个不同环数，但它们出现的频数不同，分别为4，3，l，2。
数据的频数越大，表明它对整组数据的平均数影响越大。
实际上，频数起着权衡数据的作用，称之为权数或权重，上面的平均数称为加权平均数，不难看出，各个数据的权重之和恰为10，即数据的总数。
其实更应该提倡写成10×
+9×
+8×
+7×
的形式，使“权”重之和为1。
教学中要与后续学习要求尽可能一致。
再举个例子：
你的期中考试成绩是80分，期末考试成绩是90分，老师要计算总的平均成绩，就按照期中成绩40％、期末成绩60％的比例来算，所以你的平均成绩是：
80×40％+90×60％＝86.
加权平均是一种比较特殊的平均方法，是为了体现出各次试验之间的差异，比如在第二个例子中的百分比，就是为了体现期末考试与期中考试的或难度差异，或重要性差异等。
总之，要引导学生充分认识在加权平均数中，除了一组数据中某一个数的频数称为权重外，权重还有更广泛的含义。
教学中可结合学生实际多举一些生动的例子，体现加权平均数的应用价值。
例如，对于一些对体育比较感兴趣的学生，或恰好又有体育盛会在当地召开，就可以举一些与体育比赛成绩统计有关的例子。
在一些体育比赛项目中，也要用到权重的思想.比如在跳水比赛中，每个运动员除完成规定动作外，还要完成一定数量的自选动作，而自选动作的难度是不同的，两位选手由于所选动作的难度系数不同，尽管完成各自动作的质量相同，但得分也是不相同的，难度系数大的运动员得分应该高些，难度系数实际上起着权重的作用。
突破“加权平均数”这一教学难点的途径
高密市井沟镇田庄中学曹世荣
省级专家孟伯谨推荐理由：
突破加权平均数教学难点的的关键是“权”的含义，曹老师紧紧围绕这一关键阐述了自己的对这一问题的认识并提出了可操作性的建议，可供大家参考、借鉴。
指导教师张小梅推荐理由：
能够帮助学生理解“权”的意义，值得学习和借鉴。
一、通过实例理解权的概念
例1九年级一班某次数学测试成绩如下：
60分的5人，70分的6人，80分的12人，90分的15人；九年级二班某次数学测试成绩如下：
60分的6人，70分的5人，80分的15人，90分的12人。
⑴这两个班的平均成绩是否一样？
⑵如果两个班的平均成绩不一样，请你说明为什么两个班的人数相同，测试成绩均是只有60分、70分、80分、90分这四种分数，但是他们的平均成绩却不相同？
例2甲校在期末考核学生的体育成绩时，将早锻炼及体育课外活动表现、体育理论测试、体育技能测试按照2:
3:
5的比例来确定学生的体育成绩。
小颖的上述成绩分别为92分、80分、84分；
乙校在期末考核学生的体育成绩时，将早锻炼及体育课外活动表现、体育理论测试、体育技能测试按照3:
2:
5的比例来确定学生的体育成绩。
小丽的上述成绩分别为92分、80分、84分。
请问这两个同学体育的综合成绩是否相同？
请说明你的理由。
通过以上两个例题利用对比教学帮助学生认识什么是权，以及了解权在实际生活中的作用。
认识权的意义之后学生再去计算加权平均数时就不容易出错了。
二、编制问题加深对加权平均数的理解
某校八年级一班在某一周的卫生检查中的得分为：
星期一90分、星期二95分、星期三90分、星期四85分、星期五90分；八年级二班在某一周的卫生检查中的得分为：
星期一90分、星期二95分、星期三90分、星期四90分、星期五85分。
请你设计一个方案使二班的平均成绩高？
3、说明加权平均数与算术平均数的区别：
算术平均数实际上是权相同情况下的加权平均数。
精打细算精心设计
临淄区金山中学于宪亮
课程专家汤华财推荐，推荐理由：
于老师在统计教学中能够从学生的实际出发设计活动，采取学生喜闻乐见的活动形式，方法得当，发挥学生的主动性，激发学生的学习积极性与学习热情，有效地提高了课堂学习效果，解决了课堂时间短与统计活动时间长的矛盾，保障了活动效果。
指导教师杨静霞推荐：
于老师的“两精”、“四抓”，较好地概括出了提高课堂利用率，进而提高教学质量的有效途径，对于解决“课堂时间短与统计活动时间长”这一矛盾肯定非常有效。
从这篇文章中，我们还看到于老师肯用功、善钻研、扎实的教学水平。
统计教学中，我们遇到这样一个矛盾：
为激发学生学习统计的兴趣，获得统计活动的体验，就要鼓励学生亲自调查、收集、整理、分析获得的数据，而大量的这些活动，往往是重复性很强很枯燥的，如果占用“一寸光阴一寸金”的课堂时间，真让老师心疼！
我认真反思自己教学19年来教学《统计》这一部分的经验教训，总结起来八个字：
精打细算精心设计。
1.抓课前。
统计知识往往比较简单，没有函数、方程知识等难理解，因此，老师们可以早计划，早安排，一是组织预习，将课本上学生可以自己看懂、自己解决的问题先自行解决；二是提前安排一些收集、整理数据的活动；三是把一些重复性很强的计算提前安排课下进行。
如：
教学频数分布直方图这一节，就可以安排学生自学，把调查的部分过程放到课下，老师课堂上只适当点拨、强调几个步骤就可以了，其他时间，可以安排学生做适量练习。
再如：
方差的计算量很大，可以在课前选部分学生事先完成计算，课堂上直接要结果即可，老师可以把精力投入到方差意义的理解上。
2．抓小组。
组织学习小组，分工合作，既能减少个人时间的付出，时间上做到了经济，又能让学生在合作的氛围中互学互助，经历整个统计过程，同时有利于提高学生参与活动的兴趣和积极性。
如：
我在教学频数分布直方图时，为调查初中二年级学生喜欢的体育项目，把全班分成4个组，分别调查各班的数据，课堂上，由组长汇报调查结果，然后把各个小组的数据加起来，就得到了各小组的频数。
再如：
教学众数、中位数一节时，我把全班分成六个组，分别走向商场、鞋店、十字路口（调查单位时间内各种车的数量）、家庭（调查烟民的年龄、职业）等等，收到了很好的效果。
3．抓现代化教学手段。
特别是近几年，条件好了，教学统计知识时，我注意了尽量用电脑、计算器解决统计图的制作，平均数、方差等的计算，收到了省时、省力、高效的效果。
如：
教学各种统计图，我在EXCEL表中，输入数据，利用里面的统计图表向导功能，现场制作各种统计图，学生特别感兴趣，课下还纷纷向我请教使用方法呢。
另外，一些统计的网站上面也有好多我们可利用的资源，浏览一下，收益很大。
4．抓学生兴趣。
统计这部分有些知识是枯燥的，如：
计算平均数、制作频数分布图、求众数、中位数，等等，有的也很难理解，原因是学生的生活经验太少，如鞋店里如何统计卖出鞋的品种、号码、数量等等，我的体会是加强统计思想和活动背景的教学，多带领学生实地调查和参观，激发学生学习的兴趣，如：
我带领学生访问过鞋店，访问过从事统计工作的学生家长，到过田间实际测量麦穗的长度，开展“假如我是市长”等活动，组织学生体会通过统计作出决策的统计的作用等等，收到了很好的效果。
教学难点“加权平均数”的教学策略
山东大学附属中学 董会丽
省专家团队邱军推荐，推荐理由：
根据学生的兴趣点创设情境，让学生经历统计的过程，在过程中引发冲突，产生思维碰撞的火花和继续探究的欲望，在质疑解疑中，逐步形成“权”的认识和理解，轻松突破难点。
用问题串串起一个个知识点，同时也是对学生思维和方法的引导，由浅入深，由表及里，大有“拨开云雾终见天日”的感觉。
谢谢董老师提供了这样一个精彩的教学设计，我想只要我们用心思考，苦心钻研，精心预设，细心启发，耐心指导，一定会“让学生水到渠成的扎根、发芽”，让他们的成长不会延期。
指导教师谢经汤推荐，推荐理由：
对“加权平均数”是教学难点的成因分析的非常到位（共4条），这是亮点之一，就突破难点的方法策略描述的更加具体、到位，列举的事例也比较恰当、实用，这是亮点之二，具有非常强的借鉴意义，值得推荐。
在北师版八年级上第八章第一节《平均数》的教学中，我认为加权平均
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