小学数学及奥数知识点归纳1.docx

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小学数学及奥数知识点归纳1

小学数学及奥数知识点归纳

1．和差倍问题【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】

已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数

公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系

公式①（和－差）÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数

②（和＋差）÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数

和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数和－小数=大数

差÷（倍数-1）=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数

关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数

2．年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

3．归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量；

4．植树问题基本类型

①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；

②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树；

③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；

④封闭曲线上植树。

基本公式棵数=段数＋1棵距×段数=总长

棵数=段数－1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长

关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

5．鸡兔同笼问题

基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式

①把所有鸡假设成兔子：

鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：

兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题找出总量的差与单位量的差。

6．盈亏问题

基本概念一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

基本思路先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．

基本题型①一次有余数，另一次不足；基本公式：

总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；基本公式：

总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；基本公式：

总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点对象总量和总的组数是不变的。

关键问题确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题

基本思路假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题确定两个不变的量。

基本公式生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

8．周期循环与数表规律

周期现象事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题确定循环周期。

闰年一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

平年一年有365天；①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9．平均数

基本公式①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：

根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

10．抽屉原理

抽屉原则一如果把（n1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：

把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

①4=400②4=310③4=220④4=211

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：

总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

①k=[n/m]1个物体：

当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：

当n能被m整除时。

理解知识点[X]表示不超过X的最大整数。

例：

4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

11．定义新运算

基本概念定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序；

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12．数列求和

等差数列在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念首项：

等差数列的第一个数，一般用表示；

项数：

等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：

数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：

表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：

这一数列全部数字的和，一般用sn表示．

基本思路等差数列中涉及五个量：

a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式通项公式：

an=（n－1）d；通项＝首项＋（项数一1）×公差；

数列和公式：

sn=（a1an）×n÷2；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数公式：

n=（an-a1）÷d＋1；项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差公式：

d=（an-a1）÷（n－1）；公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13．二进制及其应用

十进制用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。

所以234=200304=2×1003×104。

二进制用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。

十进制化成二进制①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。

14．加法、乘法原理和几何计数

加法原理如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：

m1m2......mn种不同的方法。

关键问题确定工作的分类方法。

基本特征每一种方法都可完成任务。

乘法原理如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：

m1×m2×.......×mn种不同的方法。

关键问题确定工作的完成步骤。

基本特征每一步只能完成任务的一部分。

直线一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：

没有端点，没有长度。

线段直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

线段特点：

有两个端点，有长度。

射线把直线的一端无限延长。

射线特点：

只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：

总数＝123…（点数一1）；

②数角规律=123…（射线数一1）；

③数长方形规律：

个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：

个数=1×12×23×3…行数×列数

15．质数与合数

质数一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

合数一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式N=a1^r1×a2^r2×a3^r3×......×an^rn，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1

求约数个数的公式P=（r11）×（r21）×（r31）×……×（rn1）

互质数如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16．约数与倍数

约数和倍数若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

②几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

③几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

④几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：

12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：

1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：

1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：

6，记作（12，18）=6；

求最大公约数基本方法

①分解质因数法：

先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

②短除法：

先找公有的约数，然后相乘。

③辗转相除法：

每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：

12的倍数有：

12、24、36、48……；

18的倍数有：

18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：

36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

②两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法①短除法求最小公倍数；②分解质因数的方法

17．数的整除

基本概念和符号

整除如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

常用符号整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

整除判断方法

①能被2、5整除：

末位上的数字能被2、5整除。

②能被4、25整除：

末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

③能被8、125整除：

末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

④能被3、9整除：

各个数位上数字的和能被3、9整除。

⑤能被7整除：

A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

B.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

⑥能被11整除：

A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

B.奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

C．次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

⑦能被13整除：

A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

B.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

整除的性质

①如果a、b能被c整除，那么（ab）与（a-b）也能被c整除。

②如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

③如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

④如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18．余数及其应用

基本概念对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

余数的性质①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

19．余数、同余与周期

同余的定义

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（modm），读作a同余于b模m。

同余的性质

①自身性：

a≡a（modm）；

②对称性：

若a≡b（modm），则b≡a（modm）；

③传递性：

若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）；

④和差性：

若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac≡bd（modm），a-c≡b-d（modm）；

⑤相乘性：

若a≡b（modm），c≡d（modm），则a×c≡b×d（modm）；

⑥乘方性：

若a≡b（modm），则an≡bn（modm）；

⑦同倍性:

若a≡b（modm），整数c，则a×c≡b×c（modm×c）；

关于乘方的预备知识

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=cd则MB=Mcd=Mc×Md

被3、9、11除后的余数特征

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n（mod9）或（mod3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）；

费尔马小定理如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（modp）。

20．分数与百分数的应用

基本概念与性质

分数把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

分数的性质分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

分数单位把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法

①逆向思维方法：

从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

②对应思维方法：

找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法：

把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。

最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。

常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

④假设思维方法：

为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维方法：

在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。

有以下三种情况：

A、分量发生变化，总量不变。

B、总量发生变化，但其中有的分量不变。

C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：

用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：

总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：

一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21．分数大小的比较

基本方法

①通分分子法：

使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法：

使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

③基准数法：

确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：

当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：

当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。

（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：

把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：

用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：

用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：

利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：

确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

22．分数拆分

将一个分数单位分解成两个分数单位之和的公式

①1/n=1/（n1）1/n（n1）；

②1/n=a/n（ab）b/n（ab），其中a,b为n的两个因数。

23．完全平方数

完全平方数特征

①末位数字只能是：

0、1、4、5、6、9；反之不成立。

②除以3余0或余1；反之不成立。

③除以4余0或余1；反之不成立。

④约数个数为奇数；反之成立。

⑤奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

⑥奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

⑦两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式a^2-b^2=（ab）（a-b）

完全平方和公式（ab）^2=a^2b^22ab

完全平方差公式（a-b）^2=a^2b^2-2ab

24．比和比例

比两个数相除又叫两个数的比。

比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

比值比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

比例表示两个比相等的式子叫做比例。

a:

b=c:

d或

比例的性质两个外项积等于两个内项积（交叉相乘），ad=bc。

正比例若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。

反比例若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。

比例尺图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

25．综合行程

基本概念行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题顺水行程=（船速水速）×顺水时间逆水行程=（船速-水速）×逆水时间

顺水速度=船速水速逆水速度=船速-水速

静水速度=（顺水速度逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题关键确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要方法画线段图法

基本题型已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

26．工程问题

基本公式

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评合久必分，分久必合。

27．逻辑推理

基本方法简介

①条件分析—假设法：

假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。

例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

②条件分析—列表法：

当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。

列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。

③条件分析——图表法：

当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。

例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。

④逻辑计算：

在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

⑤简单归纳与推理：

根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。

28．几何面积

基本思路在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法

1.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。

（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29．时钟问题—快慢表问题

基本思路

①按照行程问题中的思维方法解题；

②不同的表当成速度不同的运动物体；

③路程的单位是分格（表一周为60分格）；

④时间是标准表所经过的时间；

⑤合理利用行程问题中的比例关系；

30．立体图形