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《整式的乘法》教案
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1.1 同底数幂的乘法
【出示目标】
1．掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质，并能运用其熟练地进行运算．
2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题．
【预习导学】
阅读教材P95－96“探究及例1”，独立完成下列问题：
【课前导入】
同底数幂的概念：
把下列式子化成同底数幂．
（－a）2＝__a2__；（－a）3＝__－a3__；（x－y）2__＝__（y－x）2；（x－y）3＝__－__（y－x）3.
乘方的意义：
an的意义是n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫做底数，n是指数．
思考：
根据幂的意义解答
52×53＝5×5×5×5×5＝5（5）；
32×34＝__3×3×3×3×3×3__＝3（6）；
a3·a4＝（a·a·a）·（a·a·a·a）＝a（7）；
am·an＝__am＋n__（m，n都是正整数）；
am·an·ap＝am＋n＋p（m，n，p都是正整数）；
同底数幂相乘，底数__不变__，指数__相加__．
【自学反馈】
计算：
（1）103·102·104；
（2）x5＋m·x2n＋1；
（3）（－x）2·（－x）3；（4）（a＋2）2（a＋2）3.
解：
（1）109；
（2）xm＋2n＋6；（3）－x5；（4）（a＋2）5.
【教师点拨】公式中的底数a具有广泛性，也可代表一个式子，如（a＋2）就可以看作一个整体．
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】计算：
（1）（－x）6·x10；
（2）－x6·（－x）10；
（3）10000×10m×10m＋3;（4）（x－y）3·（y－x）5.
解：
（1）原式＝x6·x10＝x16；
（2）原式＝－x6·x10＝－x16；
（3）原式＝104·10m·10m＋3＝102m＋7；
（4）原式＝－（x－y）3·（x－y）5＝－（x－y）8.
【教师点拨】应运用化归思想将之化为同底数的幂相乘，运算时要先确定符号．
【例2】 已知ax＝2，ay＝3（x，y为整数），求ax＋y的值．
解：
ax＋y＝ax·ay＝2×3＝6.
【教师点拨】ax＋y＝ax·ay，一般逆用公式有时可使计算简便．
活动2 跟踪训练
1．计算：
（1）a·a3·a5；
（2）x·x2＋x2·x；
（3）（－p）5·（－p）4＋（－p）6·p3;（4）（x＋y）2m（x＋y）m＋1；
（5）（x－y）3（x－y）2（y－x）;（6）（－x）6x7·（－x）8.
解：
（1）a9；
（2）2x3；（3）0；（4）（x＋y）3m＋1；（5）－（x－y）6；（6）x21.
【教师点拨】注意符号和运算顺序，第1小题中a的指数1千万别漏掉了．
2．已知xm＋n·xm－n＝x9，求m的值．
解：
4.5.
【教师点拨】左边进行同底数幂的运算后再对比右边指数．
3．已知am＝3，am＋n＝9，求an的值．
解：
an＝3.
【教师点拨】联想上题的解题思想，这题在以上基础上要用到一个整体思想，把an看作一个整体．
活动3 课堂小结
1．化归思想方法（也叫转化思想方法）是人们学习、生活、生产中的常用方法．当我们遇到新问题时，就应该想方设法地把新问题转化为原来熟知的问题，例如（－x）6·x10转化为x6·x10.
2．联想思维方法：
联想能力是五大思维能力之一，例如看到am＋n就要联想到am·an，它是公式的逆用．
3．a·a3·a5的计算中，不要把“a”的指数1给漏掉了．
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
14．1.2 幂的乘方
【出示目标】
1．理解幂的乘方法则．
2．运用幂的乘方法则计算．
【预习导学】
阅读教材P96－97“探究及例2”，理解幂的乘方法则，独立完成下列问题：
【课前导入】
乘方的意义：
52中，底数是__5__，指数是__2__，表示__有2个5相乘__；
（52）3的意义是：
__有3个52相乘__．
（1）根据幂的意义解答：
（52）3＝__52×52×52__（根据幂的意义）
＝__52＋2＋2__（根据同底数幂的乘法法则）
＝52×3
（am）2＝__am·am__
＝__a2m__（根据am·an＝am＋n）
（am）n＝__am·am·……·amn个am________（幂的意义）
＝__am＋m＋…＋mn个m________（同底数幂相乘的法则）
＝__amn__（乘法的意义）
（2）总结法则：
（am）n＝__amn__（m，n都是正整数）．幂的乘方，__底数__不变，__指数__相乘．
【教师点拨】通常我们在解决新问题时可将之转化为已知的问题来解决．
【自学反馈】
计算：
（1）（103）3；
（2）（x2）3；
（3）－（xm）5;（4）（a2）3·a5.
解：
（1）109；
（2）x6；（3）－x5m；（4）a11.
【教师点拨】遇到乘方与乘法的混算应先乘方再乘法．
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】 计算：
（1）[（－x）3]4；
（2）（－24）3； （3）（－23）4； （4）（－a5）2＋（－a2）5.
解：
（1）原式＝（－x）12＝x12；
（2）原式＝－212；
（3）原式＝212；
（4）原式＝a10－a10＝0.
【教师点拨】弄清楚底数才能避免符号错误，混合运算时首先确定运算顺序．
【例2】 若92n＝38，求n的值．
解：
依题意，得（32）2n＝38，即34n＝38.
∴4n＝8.∴n＝2.
【教师点拨】可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．
【例3】 已知ax＝3，ay＝4（x，y为整数），求a3x＋2y的值．
解：
a3x＋2y＝a3x·a2y＝（ax）3·（ay）2＝33×42＝27×16＝432.
【教师点拨】利用amn＝（am）n＝（an）m，可对式子进行灵活变形，从而使问题得到解决．
活动2 跟踪训练
1．计算：
（1）（－x3）5；
（2）a6·（a2）3·（a4）2；
（3）[（x－y）3]2； （4）x2x4＋（x2）3.
解：
（1）－x15；
（2）a20；（3）（x－y）6；（4）2x6.
【教师点拨】第（3）小题要将（x－y）看作一个整体，在计算中先确定运算顺序再计算．
2．填空：
108＝（__104__）2；b27＝（__b3__）9；
（ym）3＝（__y3__）m；p2n＋2＝（__pn＋1__）2.
3．若xmx2m＝3，求x9m的值．
解：
27.
【教师点拨】要将x3m看作一个整体．
活动3 课堂小结
1．审题时，要注意整体与部分之间的关系．
2．公式（am）n＝amn的逆用：
amn＝（am）n＝（an）m.
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
14．1.3 积的乘方
【出示目标】
1．理解积的乘方法则．
2．运用积的乘方法则计算．
【预习导学】
阅读教材P97－98“探究及例3”，理解积的乘方的法则，独立完成下列问题：
【课前导入】
（1）x5·x2＝__x7__，（x3）2＝__x6__，（a3）2·a4＝__a10__.
（2）下列各式正确的是（ D ）
A．（a5）3＝a8 B．a2·a3＝a6
C．x2＋x3＝x5D．x2·x2＝x4
（3）填空：
（2×3）3＝__216__，23×33＝__216__.
（－2×3）3＝__－216__，（－2）3×33＝__－216__.
（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）,\s\do4（（n）个））
＝（a·a·…·a,\s\do4（（n）个）））·（b·b·…·b,\s\do4（（n）个）））
＝__anbn__.
（4）总结法则：
（ab）n＝__anbn__（n是正整数）．
积的乘方等于积的__每一个因式__分别__乘方__，再把所得的幂__相乘__．
推广：
（abc）n＝__anbncn__.（n是正整数）
【教师点拨】积的乘方法则的推导实质是从整体到部分的顺序去思考的．
【自学反馈】
计算：
（1）（ab）4；
（2）（－2xy）3；
（3）（－3×102）3； （4）（2ab2）3.
解：
（1）a4b4；
（2）－8x3y3；（3）－2.7×107；（4）8a3b6.
【教师点拨】对于第
（2）、（3）小题中的符号可以先取号再乘方，也可以－2、－3作为整体看作一个因式．
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】 一个正方体的棱长为2×102毫米．
（1）它的表面积是多少？
（2）它的体积是多少？
解：
（1）依题意，得
6×（2×102）2＝6×（4×104）＝2.4×105；
（2）依题意，得
（2×102）3＝8×106.
【教师点拨】结果用科学记数法表示时a×10n中的a是整数位只有一位的数．
【例2】 计算：
（1）（x4·y2）3；
（2）（anb3n）2＋（a2b6）n；
（3）[（3a2）3＋（3a3）2]2.
解：
（1）原式＝x12y6；
（2）原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n；
（3）原式＝（27a6＋9a6）2＝（36a6）2＝1296a12.
【教师点拨】先乘方再乘除后加减的运算顺序．
【例3】 计算：
（1）（
）2008×（
）2009；
（2）0.12515×（215）3.
解：
（1）原式＝（
×
）2008×
＝1×
＝
；
（2）原式＝（
）15×（23）15＝（
×8）15＝1.
【教师点拨】反用（ab）n＝anbn可使计算简便．
活动2 跟踪训练
1．计算：
（1）－（－3a2b3）4；
（2）－（y2）3·（x3y5）3·（－y）6；
（3）（－b2）3[（－ab3）3]2；
（4）（2a2b）3－3（a3）2b3.
解：
（1）－81a8b12；
（2）－x9y27；（3）－a6b24；（4）5a6b3.
【教师点拨】可从里向外乘方也可从外向内乘方，但要注意符号问题．
2．计算：
（1）（－0.25）2008×（－4）2009；
（2）－2100×0.5100×（－1）2009－
.
解：
（1）－4；
（2）
.
3．计算：
（x2yn）2·（xy）n－1＝__xn＋3y3n－1__，（4a2b3）n＝__4na2nb3n__.
【教师点拨】在计算中如遇底数互为相反数指数相同的，可反用积的乘方法则使计算简便．
活动3 课堂小结
1．审题时，在研究问题的结构时，可按整体到部分的顺序去思考和把握．
2．公式（ab）n＝anbn（n为正整数）的逆用：
anbn＝（ab）n（n为正整数）．
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
14．1.4 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式与单项式乘多项式
【出示目标】
1．了解单项式与单项式，单项式与多项式的乘法法则．
2．运用单项式与单项式，单项式与多项式的乘法法则计算．
【预习导学】
阅读教材P98－99“思考及例4”，理解单项式与单项式乘方的法则，独立完成下列问题：
【课前导入】
乘法的交换律和结合律：
（ab）c＝（ac）b.
aman＝__am＋n__（m，n都是正整数）．
（am）n＝__amn__（m，n都是正整数）．
（ab）n＝__anbn__（n是正整数）．
a2－2a2＝__－a2__，a2·2a2＝__2a4__，（－2a2）2＝__4a4__.
（1）填空：
x2yz·4xy2＝（
×__4__）·x3y3z＝__2x3y3__z.
（2）总结法则：
单项式乘以单项式，把它们的__系数__、__相同的字母__分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的__指数__作为积的一个因式．
【教师点拨】单项式乘以单项式运用的乘法的交换律和结合律将数和同底数幂分别结合在一起．
【自学反馈】
计算：
（1）3x2·5x3；
（2）4y·（－2xy2）；
（3）（3x2y）3·（－4x）； （4）（－2a）3·（－3a）2.
解：
（1）15x5；
（2）－8xy3；（3）－108x7y3；（4）－72a5.
【教师点拨】确定运算顺序，先乘方再乘法，注意确定符号．
阅读教材P100“例5”，理解单项式与多项式的乘方法则，独立完成下列问题：
【课前导入】
乘法的分配律：
m（a＋b＋c）＝__am＋bm＋cm__.
（1）填空：
－2x（x2－3x＋2）＝－2x·（__x2__）＋（－2x）·（__－3x__）＋（－2x）·（__2__）＝__－2x3＋6x2－4x__.
（2）总结法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的__每一项__，再把所得的__积相加__．
【自学反馈】
计算：
（1）－5x（2x3－x－3）；
（2）
x（
x3－3x＋1）；
（3）（－2a2）（3ab2－5ab3）； （4）－3x2·（
xy－y2）－10x·（x2y－xy2）．
解：
（1）－10x4＋5x2＋15x；
（2）
x4－
x2＋
x；（3）－6a3b2＋10a3b3；
（4）－11x3y＋13x2y2.
【教师点拨】第（4）小题注意符号问题，括号前是负号去括号里面各项都要变号．
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】 计算：
（1）（－2x2）（－3x2y2）2；
（2）－6x2y·（a－b）3·
xy2·（b－a）2.
解：
（1）原式＝（－2x2）（9x4y4）＝－18x6y4；
（2）原式＝－6x2y·
xy2·（a－b）3·（a－b）2＝－2x3y3（a－b）5.
【教师点拨】先乘方再算单项式与单项式的乘法，（a－b）看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．
【例2】 解方程：
8x（5－x）＝19－2x（4x－3）．
解：
40x－8x2＝19－8x2＋6x，34x＝19，x＝
.
【教师点拨】解方程的过程中注意移项要变号．
活动2 跟踪训练
1．计算：
（1）3x2y（－2xy3）；
（2）3ab2c（2a2b）（－abc2）3.
解：
（1）－6x3y4；
（2）－6a6b6c7.
【教师点拨】注意确定符号，再计算．
2．解方程：
2x（7－2x）＋5x（8－x）＝3x（5－3x）－39.
解：
x＝－1.
3．先化简，再求值：
x2（3－x）＋x（x2－2x）＋1，其中x＝3.
解：
x2＋1，10.
【教师点拨】所谓的化简即去括号合并同类项．
活动3 课堂小结
1．单项式与单项式相乘：
积的系数等于各系数相乘，这部分为数的计算，应该先确定符号，再确定绝对值；积的字母部分等于相同字母不变，指数相加；单个的字母及其指数写下来；单项式与单项式相乘，积仍是单项式；单项式与单项式乘法法则的理论依据是乘法的交换律和结合律．
2．单项式与多项式相乘：
理论依据是乘法的分配律；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；计算时都要注意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的符号．
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
第2课时 多项式乘多项式
【出示目标】
1．了解多项式与多项式相乘的法则．
2．运用多项式与多项式相乘的法则进行计算．
【预习导学】
阅读教材P101“例6”，理解多项式乘以多项式的法则，独立完成下列问题：
【课前导入】
（1）（－3ab）·（－4b2）＝__12ab3__；
（2）－6x（x－3y）＝__－6x2＋18xy__；
（3）（2x2y）3·（－4xy2）＝__－32x7y5__；
（4）－5x（2x2－3x＋1）＝__－10x3＋15x2－5x__.
（1）看图填空：
大长方形的长是__a＋b__，宽是__m＋n__，面积等于__（a＋b）（m＋n）__．
图中四个小长方形的面积分别是__am，bm，an，bn__，由上述可得（a＋b）（m＋n）＝__am＋bm＋an＋bn__.
（2）总结法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的__每一项__乘另一个多项式的__每一项__，再把所得的__积__相加．
【教师点拨】以数形结合的方法解决数学问题更直观．
【自学反馈】
计算：
（1）（a－4）（a＋10）＝a·__a__＋a·__10__＋__－4__·a＋__－4__·10＝__a2＋6a－40__；
（2）（3x－1）（2x＋1）；
（3）（x－3y）（x＋7y）；
（4）（－3x＋
）（2x－
）．
解：
（2）6x2＋x－1；（3）x2＋4xy－21y2；（4）－6x2＋2x－
.
【教师点拨】一般用第一个多项式的项去和另一个多项式的每一项相乘，以免漏乘或重复．
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】
（1）（x＋1）（x2－x＋1）；
（2）（a－b）（a2＋ab＋b2）．
解：
（1）原式＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1；
（2）原式＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3.
【教师点拨】项数太多，就必须按照一定顺序坚定不移地进行下去．
【例2】 计算下列各式，然后回答问题：
（1）（a＋2）（a＋3）＝__a2＋5a＋6__；
（2）（a＋2）（a－3）＝__a2－a－6__；
（3）（a－2）（a＋3）＝__a2＋a－6__；
（4）（a－2）（a－3）＝__a2－5a＋6__.
从上面的计算中，你能总结出什么规律？
解：
（x＋m）（x＋n）＝x2＋（m＋n）x＋mn.
【教师点拨】这种找规律的问题要依照整体到部分的顺序，看哪些没变，哪些变了，是如何变的，从而找出规律．
活动2 跟踪训练
1．先化简，再求值：
（x－2y）（x＋3y）－（2x－y）（x－4y），其中：
x＝－1，
y＝2.
解：
－x2＋10xy－10y2，－61.
【教师点拨】第二个多项式乘以多项式的结果先用括号括起来，再去括号，这样避免出现符号问题，乘完要合并同类项．
2．计算：
（1）（x－1）（x－2）；
（2）（m－3）（m＋5）； （3）（x＋2）（x－2）．
解：
（1）x2－3x＋2；
（2）m2＋2m－15；（3）x2－4.
3．若（x＋4）（x－6）＝x2＋ax＋b，求a2＋ab的值．
解：
52.
【教师点拨】应先将等式两边计算出来，再对比各项，得出结果．
活动3 课堂小结
在多项式的乘法运算中，必须做到不重不漏，并注意合并同类项．
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
第3课时 整式的除法
【出示目标】
1．掌握同底数幂的除法运算法则及应用，了解零指数幂的意义．
2．单项式除以单项式的运算法则及其应用．
3．多项式除以单项式的运算法则及其应用．
【预习导学】
阅读教材P102及103“例7”，独立完成下列问题：
【课前导入】
根据同底数幂的乘法法则计算：
（__28__）·28＝216；（__52__）·54＝56；
（__113__）·116＝119；（__a4__）·a2＝a6.
【教师点拨】同底数幂的乘法法则公式am·an＝am＋n.
（1）填空：
216÷28＝__28__；56÷54＝__52__；
119÷116＝__113__；a6÷a2＝__a4__.
（2）从上述运算中归纳出同底数幂的除法法则：
am÷an＝__am－n__（a≠0，n、m为正整数，且m>n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
（3）∵am÷am＝1，而am÷am＝a__（m－m）__＝a__（0）__，∴a0＝__1__（a__≠__0）．
【教师点拨】此次a的取值范围是什么，为什么？
【自学反馈】
（1）a6÷a＝__a5__；
（2）（－1）0＝__1__；（3）（－ab）5÷（－ab）3＝__a2b2__.
【教师点拨】第
（1）小题中的a的指数为1，第（3）小题要将－ab看作一个整体．
阅读教材P102－103，独立完成下列问题：
（1）2a·4a2＝__8a3__；3xy·2x2＝__6x3y__；3ax2·4ax3＝__12a2x5__.
（2）8a3÷2a＝__4a2__；6x3y÷3xy＝__2x2__；12a2x5÷3ax2＝__4ax3__.
（3）从上述运算中归纳出单项式除以单项式法则：
单项式相除，把__相同字母__与__系数__分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的__字母__，则连同它的指数作为商的一个因式．
【教师点拨】主要根据乘除互为逆运算得出结果，再总结运算的规律（指数的运算）．
【自学反馈】
计算：
（1）3x4y2÷4x4y；
（2）（－
a3b4c）÷（－
ab2）．
解：
（1）
y；
（2）
a2b2c.
【教师点拨】首先确定符号，再运算；第
（2）小题x0＝1，系数与系数相除．
阅读教材P103，独立完成下列问题：
（1）m·（a＋b）＝__ma＋mb__；2xy·（3x2＋y）＝__6x3y＋2xy2__.
（2）（am＋bm）÷m＝__a＋b__；（6x3y＋2xy2）÷2xy＝__3x2＋y__.
（3）从上述运算中归纳出多项式除以单项式法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的__每一项分别__除以这个单项式，再把所得的__和相加__．
【教师点拨】主要根据乘除互为逆运算得出结果，再总结运算的规律（将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式）．
_
【合作探究】
活动1 学生独立完成
【例1】 计算：
（1）（－
a2b3c）÷（3ab）2；
（2）（x－y）5÷（y－x）3.
解：
（1）原式＝（－
a2b3c）÷9a2b2＝－
bc；
（2）原式＝－（y－x）5÷（y－x）3＝－（y－x）2＝－（y2－2xy＋x2）＝－x2＋2xy－y2.
【教师点拨】第
（1）小题直接利用同底数的除法法则求解，第
（2）小题先确定运算顺序（先乘方后乘除），第（3）小题要用到整体思想，将（x－y）看作一个整体，先化成同底数幂再运算．
【例2】 一种被污染的液体每升含有2.4×1013个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死4×1010个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？
（注：
15滴＝1毫升）
解：
依题意，得2.4×1013÷（4×1010）＝600. 600÷15＝40.
答：
需要这种杀菌剂40毫升．
【教师点拨】这类实际问题先列出算式，要把2.4×1013和4×1010看作单项式形式，其中2.4和4可当作系数．
【例3】 计算：
[（3a＋2b）（3a－2b）＋b（4b－4a）]÷2a.
解：
原式＝（9a2－4b2＋4b2－4ab）÷2a＝（9a2－4ab）÷2a＝
a－2b.
【教师点拨】注意运算顺序，先算括号里面的，再算多项式除以单项式．
活动2 跟踪训练
1．计算：
（1）（－
a5b6c2）÷（－
ab3）；
（2）7x4y3÷[（－7x4y2）÷（－
x3y）]；
（3）（－4a3b5c2）3÷（－ab2c2）3；（4）
（2a＋b）3÷
（2a＋b）2.
解：
（1）
a4b3c2；
（2）
x3y2；（3）64a6b9；（4）
a＋
b.
【教师点拨】先确定运算顺序，先乘方后乘除，再加减，有括号先算括号里面的，同级运算按从左到右的运算依次进行计算．
2．先化简再求值：
（a2b－2a
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