精品高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题17直线方程与圆的方程练习理.docx

精品高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题17直线方程与圆的方程练习理.docx

《精品高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题17直线方程与圆的方程练习理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精品高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题17直线方程与圆的方程练习理.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

精品高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题17直线方程与圆的方程练习理

17　直线方程与圆的方程

1.已知三点A（1,-2）,B（a,-1）,C（-b,0）共线,则+（a>0,b>0）的最小值为（）.

A.11B.10C.6D.4

解析▶由题意知,kAB=kBC,所以2a+b=1,所以+=3++=3+（2a+b）=3+4++≥7+2=11,当且仅当a=,b=时等号成立,故选A.

答案▶A

2.圆（x-2）2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是（）.

A.（x-）2+（y-1）2=4

B.（x-）2+（y-）2=4

C.x2+（y-2）2=4

D.（x-1）2+（y-）2=4

解析▶设所求圆的圆心为（a,b）,则所以所以所求圆的方程为（x-1）2+（y-）2=4,故选D.

答案▶D

3.若圆x2+y2+4x-2y-a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2,则实数a=（）.

A.±2B.-2C.±4D.4

解析▶圆的标准方程为（x+2）2+（y-1）2=5+a2,则圆心坐标为（-2,1）,半径r=.

所以圆心到直线x+y+5=0的距离为=2.

由1+

（2）2=5+a2,得a=±2,故选A.

答案▶A

4.已知AB为圆C:

x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为. 

解析▶圆心C（0,1）,设∠PCA=α,|PC|=m,则|PA|2=m2+1-2mcosα,|PB|2=m2+1-2mcos（π-α）=m2+1+2mcosα,∴|PA|2+|PB|2=2m2+2.

又点C到直线y=x-1的距离d==,即m的最小值为,∴|PA|2+|PB|2的最小值为2（）2+2=6.

答案▶6

能力1

▶会用直线方程判断两条直线的位置关系

【例1】已知直线l1:

（3+m）x+4y=5-3m与l2:

2x+（m+5）y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析▶若l1∥l2,则（3+m）（5+m）=4×2,解得m=-1或m=-7,经检验,当m=-1时,l1与l2重合,∴m=-7,故“l1∥l2”是“m<-1”的充分不必要条件,故选A.

答案▶A

（1）当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.

（2）在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

设a∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析▶若两条直线平行,则=≠,解得a2=1,且a≠-1,所以a=1,即“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的充要条件,故选C.

答案▶C

能力2

▶会结合平面几何知识求圆的方程

【例2】若圆心在y轴上且通过点（3,1）的圆与x轴相切,则该圆的方程是（）.

A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0

C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0

解析▶设圆心为（0,b）,半径为r,则r=|b|,故圆的方程为x2+（y-b）2=b2.

∵点（3,1）在圆上,∴9+（1-b）2=b2,解得b=5.

∴圆的方程为x2+y2-10y=0,故选B.

答案▶B

确定圆心位置的方法:

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上;

（2）圆心在任一弦的中垂线上;（3）两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

点P（4,-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是（）.

A.（x-2）2+（y+1）2=1

B.（x-2）2+（y+1）2=4

C.（x+4）2+（y-2）2=4

D.（x+2）2+（y-1）2=1

解析▶设圆上任一点为Q（x0,y0）,PQ的中点为M（x,y）,则解得

因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即（2x-4）2+（2y+2）2=4,化简得（x-2）2+（y+1）2=1,故选A.

答案▶A

能力3

▶会用几何法求直线与圆中的弦长问题

【例3】若直线l:

y=kx+1被圆C:

x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是（）.

A.x=0

B.y=1

C.x+y-1=0

D.x-y+1=0

解析▶依题意,直线l:

y=kx+1过定点P（0,1）,圆C:

x2+y2-2x-3=0化为标准方程为（x-1）2+y2=4,故圆心为C（1,0）,半径r=2,则易知定点P（0,1）在圆内,由圆的性质可知当PC⊥l时,此时直线l:

y=kx+1被圆C:

x2+y2-2x-3=0截得的弦长最短.因为kPC==-1,所以直线l的斜率k=1,即直线l的方程是x-y+1=0,故选D.

答案▶D

有关弦长问题的两种求法:

如图所示,

设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:

|AB|=2

若斜率为k的直线与圆相交于A（xA,yA）,B（xB,yB）两点,则|AB|=·=·,其中k≠0.特别地,当k=0时,|AB|=|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|

过点（2,0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积取最大值时,直线l的斜率为. 

解析▶由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线方程为y=k（x-2）,即kx-y-2k=0,当△AOB面积取最大值时,OA⊥OB,此时圆心O到直线l的距离d=1,由点到直线的距离公式得d==1,∴k=±.

答案▶　±

能力4

▶会用数形结合解决直线和圆中的最值问题

【例4】已知P是直线l:

3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B为切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值是（）.

A.B.2C.D.2

解析▶圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1,圆心为C（1,1）,半径r=1.根据对称性可知,四边形PACB的面积为2S△APC=2××|PA|×r=|PA|=,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,当|PC|最小时,圆心到直线l:

3x-4y+11=0的距离d===2,所以四边形PACB面积的最小值为==,故选C.

答案▶C

解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:

（1）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.

（2）研究图形的形状、位置关系、性质等.

已知两点A（0,-3）,B（4,0）,若点P是圆C:

x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为（）.

A.6B.C.8D.

解析▶如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,此时△ABP的面积最小.

直线AB的方程为+=1,

即3x-4y-12=0,圆心C（0,1）到直线AB的距离d==,|AB|=5,

所以△ABP面积的最小值为×5×=,故选B.

答案▶B

一、选择题

1.直线l经过点A（1,2）,在x轴上的截距的取值范围是（-3,3）,则其斜率k的取值范围是（）.

A.-1

C.k<-1或k>D.k<-1或k>

解析▶设直线l的斜率为k,则直线方程为y-2=k（x-1）,令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-.

由-3<1-<3,得k<-1或k>,故选D.

答案▶D

2.已知圆C:

（x-a）2+y2=1与抛物线y2=-4x的准线相切,则a的值是（）.

A.0B.2C.0或1D.0或2

解析▶圆心坐标为（a,0）,准线方程为x=1,所以|a-1|=1,解得a=0或a=2,故选D.

答案▶D

3.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是（）.

A.2B.8C.D.

解析▶直线方程6x+my-14=0可化为3x+y-7=0,所以两条平行直线之间的距离d==2,故选A.

答案▶A

4.过点A（1,-1）,B（-1,1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）.

A.（x-3）2+（y+1）2=4

B.（x+3）2+（y-1）2=4

C.（x-1）2+（y-1）2=4

D.（x+1）2+（y+1）2=4

解析▶　AB的垂直平分线为y=x,直线y=x与x+y-2=0的交点是（1,1）,即圆的圆心坐标为（1,1）,故半径r==2,故选C.

答案▶C

5.若过点（3,1）作圆（x-1）2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为（）.

A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0

C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0

解析▶由过点（3,1）作圆（x-1）2+y2=r2的切线有且只有一条,得点（3,1）在圆上,代入可得r2=5,圆的方程为（x-1）2+y2=5,则得过点（3,1）的切线方程为（x-1）（3-1）+y（1-0）=5,即2x+y-7=0,故选B.

答案▶B

6.已知过原点的直线l与圆C:

x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B,且线段AB的中点D的坐标为（2,）,则弦长|AB|为（）.

A.2B.3C.4D.5

解析▶圆C:

x2+y2-6x+5=0,整理得其标准方程为（x-3）2+y2=4,

∴圆C的圆心坐标为（3,0）,半径为2.

∵线段AB的中点为D（2,）,

∴|CD|==,

∴|AB|=2|AD|=2=2,故选A.

答案▶A

7.已知圆O1的方程为x2+（y+1）2=6,圆O2的圆心坐标为（2,1）.若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,则圆O2的方程为（）.

A.（x-2）2+（y-1）2=6

B.（x-2）2+（y-1）2=22

C.（x-2）2+（y-1）2=6或（x-2）2+（y-1）2=22

D.（x-2）2+（y-1）2=36或（x-2）2+（y-1）2=32

解析▶设圆O2的方程为（x-2）2+（y-1）2=r2（r>0）,因为圆O1的方程为x2+（y+1）2=6,

所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0,

所以圆心O1到直线AB的距离d=.

由d2+22=6,得=2,

所以r2-14=±8,r2=6或r2=22.

故圆O2的方程为（x-2）2+（y-1）2=6或（x-2）2+（y-1）2=22,故选C.

答案▶C

8.已知圆C的方程为（x-1）2+y2=r2（r>0）,若p:

1≤r≤3;q:

圆C上至多有3个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p是q的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析▶圆心C（1,0）到直线x-y+3=0的距离d==2,当r=1时,圆上恰有一个点到直线的距离为1;当1

答案▶A

9.已知圆E经过A（0,1）,B（2,0）,C（0,-1）三点,且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为（）.

A.+y2=

B.+y2=

C.+y2=

D.+y2=

解析▶根据题意,设圆E的圆心坐标为（a,0）（a>0）,半径为r,

所以解得

故圆E的标准方程为+y2=,故选C.

答案▶C

10.已知直线l:

x+y-1=0被圆O:

x2+y2=r2（r>0）所截得的弦长为,交点为M,N,且直线l':

（1+2m）x+（m-1）y-3m=0过定点P,若PM⊥PN,则|MN|的取值范围为（）.

A.[2-,2+]

B.[2-,2+]

C.[-,+]

D.[-,+]

解析▶由题意知,2=,解得r=2.

因为直线l':

（1+2m）x+（m-1）y-3m=0,

所以点P的坐标为（1,1）.

设MN的中点为Q（x,y）,则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2,化简可得+=,所以点Q的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为.又|MN|=2|PQ|,所以|MN|的取值范围为[-,+],故选D.

答案▶D

二、填空题

11.已知点A（-2,0）,P为圆C:

（x+4）2+y2=16上任意一点,若在x轴上存在点B满足2|PA|=|PB|,则点B的坐标为. 

解析▶设B（a,0）,P（x,y）,则2=,整理得到3x2+3y2+（16+2a）x+16-a2=0.又P（x,y）在圆C:

（x+4）2+y2=16上,则x2+y2+8x=0,从而解得a=4.故点B的坐标为（4,0）.

答案▶（4,0）

12.已知圆C1:

x2+y2=1与圆C2:

（x-2）2+（y-4）2=1,过动点P（a,b）分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN（M、N分别为切点）,若PM=PN,则的最小值是. 

解析▶在Rt△PMC1与Rt△PNC2中,PM=PN,MC1=NC2=1,所以Rt△PMC1与Rt△PNC2全等,所以PC1=PC2,则点P在线段C1C2的垂直平分线上,根据C1（0,0）,C2（2,4）可求得其垂直平分线的方程为x+2y-5=0.因为表示P（a,b）,Q（5,-1）两点间的距离,所以最小值就是点Q到x+2y-5=0的距离,利用点到直线的距离公式可求出最小值为.

答案▶

三、解答题

13.已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的一个焦点为（,0）,A为椭圆C的右顶点,以A为圆心的圆A与直线y=x相交于P,Q两点,且·=0,=3,求椭圆C的标准方程和圆A的方程.

解析▶设T为线段PQ的中点,连接AT,

则AT⊥PQ.

∵·=0,即AP⊥AQ,

∴|AT|=|PQ|.

又=3,则|OT|=|PQ|,

∴=,即=.

由c=,得a2=4,b2=1,

故椭圆C的标准方程为+y2=1.

又|AT|2+|OT|2=a2=4,则|AT|2+4|AT|2=4,|AT|=,r=|AP|=,

故圆A的方程为（x-2）2+y2=.