福建省泉州市学年高二上学期期末考试数学文试题.docx
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福建省泉州市学年高二上学期期末考试数学文试题
泉州市2017-2018学年度上学期高中教学质量跟踪监测
高二文科教学（必修5+选修1-1）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列抛物线中，准线方程为
的是（）
A．
B．
C．
D．
2.若
是实数，则
是
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.若等差数列
中，
则
（）
A．
B．
C．
D．
或
4.下列关于命题的说法正确的是（）
A．若
是真命题，则
也是真命题
B．若
是真命题，则
也是真命题
C.“若
则
”的否命题是“
则
”
D．“
”的否定是“
”
5.若双曲线的中心在原点，离心率
，左焦点是
，则
的渐近线的距离是（）
A．
B．
C.
D．
6.设
满足约束条件
则
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
7.在
中，内角
所对的边分别为
，若
成等差数列，且满足
，则
的形状为（）
A．等腰直角三角形B．直角非等腰三角形C.等边三角形D．等腰钝角三角形
8.若函数
的导函数
的图像如图所示，则下列说法正确的是（）
A．
是
的一个极值点B．
和
都是
的极值点
C.
和
都是
的极值点D．
，
，
都不是
的极值点
9.若命题“
”为真命题，则
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
10.过椭圆
内一点
引一条恰好被
点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（）
A．
B．
C.
D．
11.《张丘建算经》中载有如下叙述：
“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：
“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走
天，共走了
里，问最后一天行走的距离是多少？
”依据上述记载，计算第
天行走距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数）．（）
A．
里B．
里C.
里D．
里
12.若定义在
的函数
的导数
满足
，且
，则下列结论一定成立的是（）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若
，则
的最小值为．
14.若数列
的前
项和
则
．
15.双曲线
的左、右焦点分别为
，以
为直径的圆与双曲线右支的一个交点为
，若
则双曲线的离心率为．
16.据气象部门报道，台风“天秤”此时中心位于
地，并以
千米每小时的速度向北偏西
的方向移动，假设距中心
千米以内的区域都将受到台风影响.已知
地在
地的正西方向，
地在
地的正西方向，若
小时后
，
两地均恰好受台风影响，则
的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知抛物线
的顶点在坐标原点，焦点在
轴上，且过点
.
（I）求
的标准方程；
（Ⅱ）若
为坐标原点，
是
的焦点，过点
且倾斜角为
的直线
交
于
，
两点，求
的面积.
18.已知等差数列
的前
项和是
，等差数列
的各项均为正数，且
.
（I）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和.
19.如图，在梯形
中，
对角线
.
（I）求
的长；
（Ⅱ）若
求梯形
的面积.
20.已知函数
（I）当
时，求
的单调区间；
（Ⅱ）若函数
在
上单调递增，试求出
的取值范围.
21.椭圆
的左、右焦点分别是
，且点
在
上，抛物线
与椭圆
交于四点
（I）求
的方程；
（Ⅱ）试探究坐标平面上是否存在定点
，满足
?
（若存在，求出
的坐标；若不存在，需说明理由.）
22.已知函数
（I）若
，求
在
处的切线方程；
（II）证明：
对任意正数
，函数
和
的图像总有两个公共点.
试卷答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12：
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.（I）依题意可设抛物线的方程是
因为抛物线
过点
，所以
，解得
，
所以抛物线
的方程
（Ⅱ）法一：
由（I）得，焦点
，依题意知直线
的方程是
，
联立方程
化简，得
设
则
，
利用弦长公式得
.
点
到直线
的距离
，
所以
的面积为
.
法二：
由（I）得，焦点
，依题意知直线
的方程是
，
联立方程
化简，得
设
则
，
采用割补法，则
的面积为
法三：
由（I）得，焦点
，依题意知直线
的方程是
，
联立方程
化简，得
设
由韦达定理，得
.
利用抛物线定义，得
点
到直线
的距离
，
所以
的面积为
.
18.（I）由
解得
所以
因为
所以
因为
是各项均为正数的等比数列，
所以
所以
（Ⅱ）
所以
所以
19.（I）因为
所以
所以
由
得：
解得：
（Ⅱ）法一：
由余弦定理，得
即
解得：
或
（舍去）.
在
中，由余弦定理，得
即：
解得
又梯形的高
所以
法二：
同法一求得
，
又
故
故
20.（I）当
时，函数
令
即
解得
令
解得
或
所以当
时，函数
的单调递增区间是
，
单调递减区间是
和
.
（Ⅱ）法一：
函数
在
上单调递增，
等价于
在区间
恒成立，
等价于
在区间
恒成立.
等价于
令
因为
所以函数
在区间
上单调递增，
故
所以
的取值范围是
法二：
函数
在
上单调递增，
等价于
在区间
恒成立，
令
则命题等价于
在区间
恒成立.
（1）当
时，由
解得
（2）当
时因为函数图像的对称轴
此时只有满足
，解得
.
综上所述
的取值范围是
21.（I）依题意有：
所以
所以椭圆
的方程为：
（Ⅱ）法一：
由于椭圆和抛物线都关于
轴对称，故它们的交点也关于
轴对称，不妨设
，则
若存在点
满足条件，则点
心在
轴上，设
，
联立
则
，
由于
所以
又
所以
则
即
故坐标平面上存在定点
，满足
法二：
由于椭圆和抛物线都关于
轴对称，故它们的交点也关于
轴对称，不妨设
，则
的中心
依题意，只要探究
的垂直平分线
和
轴的交点是否为定点.
联立
则
，
所以，直线
：
令
得：
为定值，
故坐标平面上存在定点
，满足
.
22.（I）
时，则
在
处的切线的斜率
又
时，
即切点
，
所以
在
处的切线方程为：
，即
（Ⅱ）法一：
记
则
（已知
）.
因为
有意义，
所以
所以
在
单调递减，在
单调递增，
故
记
因为
所以
在
单调递增，在
单调递减，
故
故
恒成立，即
又
时，
时，
，
故
在
和
各有一个零点，
即
和
的图像在
和
各有且只有一个公共点.
法二：
函数
和
的图像总有两个公共点，等价于
总有两个实数根.
显示
不是该方程的根.
当
时，
记
则
再记
因为
所以
在
单调递增，在
单调递减
所以
即
从而
在
和
均单调递增，
又
时，
时，
时，
，
又
时，
时，
时，
，
的草图如图：
故对任意的正数
，直线
与
的图像总有两个公共点，
即方程
总有两个根，
即函数
和
的图像总有两个公共点，命题得证.
A
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