第1讲 相交线及三线八角提高班 2.docx

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第1讲相交线及三线八角提高班2

第1讲相交线及三线八角

知识点1对顶角和邻补角

对顶角

1.对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：

①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.

2.对顶角的性质：

对顶角相等.

邻补角

1.邻补角：

两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2.邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：

①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3.邻补角的性质：

两个角的和为180°.

【典例】

1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_________°．

【答案】解：

如图，

根据题意得：

∠AOC=60°，∠BOC=138°，

∵∠AOB=∠BOC-∠AOC=138°﹣60°=78°，∠1和∠AOB是对顶角，

∴∠1=∠AOB=78°，

故答案为：

78.

【方法总结】

由图可知直线a与量角器0刻度线之间的角度和直线b与量角器0刻度线之间的角度，两角的差即为直线a与直线b之间的角度.由对顶角相等可知∠1等于所求的直线a与直线b之间的角度，从而得解.

本题考查了角的度量、角计算、对顶角的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键．

2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O．

（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角；

（2）若∠AOC：

∠AOE=2：

1，∠EOD=90°，求∠BOC的度数.

【答案】解：

（1）∠BOE的对顶角为∠AOF，∠BOE的邻补角为∠AOE和∠BOF；

（2）∵∠EOD=90°，

∴∠COE=180°﹣∠EOD=90°.

∵∠AOC：

∠AOE=2：

1，

∴∠AOE=∠COE=30°，

∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=30°+90°=120°，

∴∠BOC=∠AOD=120°．

【方法总结】

本题主要考查了对顶角、邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解．

总结：

两条直线相交所形成的4个角中，只要知道其中一个，就可以求出另外3个.

【随堂练习】

1．（2018春•天心区校级期末）在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的2倍，那么这个外角是（　　）

A．150B．120°C．100°D．90°

【解答】解：

设与外角相邻的内角为x°，

∵一个三角形中，一个外角是其相邻内角的2倍，

∴这个外角为2x°

∴3x=180，

∴x=60，

即这个外角为120°，

故选：

B．

2．（2018春•秦都区期中）已知∠1与∠2互为对顶角，∠2与∠3互余，若∠3=45°，则∠1的度数是（　　）

A．45°B．90°C．135°D．45°或135°

【解答】解：

由题意可知：

∠1=∠2，

∵∠2+∠3=90°，

∴∠2=45°，

∴∠1=45°，

故选：

A．

3．（2018春•怀柔区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：

①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1=∠2；④∠1=∠3

其中正确的是（　　）

A．①③B．②④C．②③D．①④

【解答】解：

∠1和∠2不是对顶角，故①错误；

∠1和∠2互为邻补角，故②正确；

∠1和∠2不一定相等，故③错误；

∠1=∠3，故④正确；

故选：

B．

4．（2018春•贵阳期末）如图，下列各角中，是对顶角的一组是（　　）

A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠2和∠4D．）∠3和∠4

【解答】解：

根据对顶角的定义可知：

只有∠2和∠4的是对顶角，其它都不是．

故选：

C．

知识点2垂线

垂线

1.两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2.垂直的模型：

说法：

①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：

两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1.过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2.垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：

垂线段最短.

4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：

距离是长度，不是线段.

【典例】

1.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是_________________.

【答案】解：

理由是：

同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

故答案为：

同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2.如图,直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB,垂足为O.

（1）写出图中与∠1互为余角的角；

（2）若∠AOC：

∠2=3：

2，求∠1的度数．

【答案】解：

（1）∵EO⊥AB,

∴∠EOB=90°.

∴∠BOC与∠1互为余角.

∵∠2的对顶角为∠BOC，

∴∠2=∠BOC.

∴∠2与∠1互为余角.

∴与∠1互为余角的角是：

∠BOC，∠2；

（2）∵∠AOC：

∠2=3：

2，

∴设∠AOC=3x，则∠2=2x，

故3x+2x=180°，

解得：

x=36°，

则∠2=72°.

∵∠1和∠2互余，

∴∠1=90°-∠2=90°-72°=18°．

【方法总结】

总结：

在平面内过一点做已知直线的垂线具有存在性和唯一性，过一点作已知直线的两条垂线，这两条直线必重合.

方法：

找一个角的余角时，先找与它相邻的（从垂直和90°角入手），再找与它补相邻的，做到不重不漏.

3.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是________________.

【答案】3cm＜BD＜5cm

解：

∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，

∴BC＜BD＜AB，

即BD的长度的取值范围是大于3cm且小于5cm．

故答案为3cm＜BD＜5cm.

4.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点A到BC的距离是________cm，C到AB的距离是___________cm．

【答案】864.8

解：

如图，过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点B到AC的距离，

∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，

由三角形的面积公式，得

.

∴CD=6×8÷10=4.8（cm），

点A到BC的距离是6cm，

点B到AC的距离是8cm．

故答案为：

8，6、4.8．

【方法总结】

总结：

①直角三角形中，直角边的长可以看做是一个顶点到另一条直角边的距离；

②直角三角形中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高为

，即直角顶点到斜边的距离.

【随堂练习】

1．（2018春•禅城区期末）已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，PA=3cm，PB=3.5cm，PC=2cm，则点P到直线MN的距离（　　）

A．等于3cmB．等于2cmC．等于3.5cmD．不大于2cm

【解答】解：

当PC⊥MN时，PC是点P到直线MN的距离，即点P到直线l的距离2cm，

当PC不垂直于MN时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2cm，

综上所述：

点P到直线MN的距离不大于2cm，

故选：

D．

2．（2018春•隆尧县期末）如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE=10cm，CD=8cm，CF=12cm，则点C到AB的距离是_____．

【解答】解：

∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD=8cm，

∴点C到AB的距离是CD=8cm，

故答案为：

8cm．

知识点3三线八角

模型：

1.同位角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2.内错角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3.同旁内角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4.三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

【典例】

1.如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.

【答案】①②④

【解析】解：

图①中∠1和∠2是同位角，图②中∠1和∠2是同位角，图③中∠1和∠2不是同位角，图④中∠1和∠2是同位角，

故答案为①②④.

2.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．

（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？

请你全部写出来；

（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？

∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？

【答案】解：

（1）直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案.

如图所示：

同位角共有5对：

分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；

（2）∠4和∠5是直线c，d被直线b所截形成的同旁内角.

∠6和∠8是直线a，b被直线d所截形成的同旁内角，

故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．

【方法总结】

判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：

①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.

【随堂练习】

1．（2018春•鞍山期末）如图，下列说法错误的是（　　）

A．∠A与∠B是同旁内角B．∠1与∠3是同位角

C．∠2与∠A是同位角D．∠2与∠3是内错角

【解答】解：

由图可知：

∠1与∠3是同旁内角，故B说法错误，

故选：

B．

2．（2018春•拱墅区期末）已知直线l1，l2，l3，（如图），∠5的内错角是（　　）

A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4

【解答】解：

A、∠1与∠5是邻补角，故本选项错误；

B、∠2是∠5的内错角，故本选项正确；

C、∠3是∠5的同位角，故本选项错误；

D、∠4是∠1的内错角，不是∠5的内错角，故本选项错误；

故选：

B．

3．（2018•广州）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）

A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4

【解答】解：

∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，

故选：

B．

4．（2018春•武清区期中）如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．∠1和∠2是内错角B．∠1和∠4是内错角

C．∠1和∠5是同位角D．∠1和∠2是同旁内角

【解答】解：

A、∠1与∠2是同旁内角，故A错误；

B、∠1与∠4不是内错角，故B错误；

C、∠1与∠4是同位角，故C错误；

D、∠1与∠2是同旁内角，故D正确；

故选：

D．

综合运用

1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．

【答案】对顶角相等

解：

如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是：

对顶角相等．

故答案为：

对顶角相等．

2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.

【答案】AD

解：

根据垂线段最短可得AD最短，

故答案为AD.

3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．

【答案】AB

解：

∵AB⊥l1，

∴点A到直线l1的距离是线段AB的长度．

故答案为：

AB.

4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．

【答案】BE，DC

解：

∵BE⊥AD，垂足为点E，

∴点B到直线AD的距离是线段BE的长度，

∵AC与DC垂直于点C.

∴D到直线AB的距离是线段DC的长度．

故答案为BE，DC.

5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.

【答案】∠4和∠5,∠3和∠6

解：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

∵直线a、b被直线c所截，

∴互为同旁内角是∠4和∠5,∠3和∠6.

故答案为∠4和∠5,∠3和∠6.

6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.

【答案】内错角

解：

两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角成“Z”形，可看成是内错角．

故答案为：

内错角.

7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．

【答案】4

解：

∵OC⊥AB于点O，

∴∠1+∠AOE=90°，∠2+∠COD=90°，

即∠1与∠AOE互为余角，∠2与∠COD互为余角，

又∵∠1=∠2，

则∠1与∠COD互为余角，∠2与∠AOE互为余角．

所以共有4对．

故答案为：

4．

8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．

【答案】

解：

由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=76°.

∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE=∠BOD=38°.

∵∠DOF=90°，

∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=90°﹣38°=52°．

9.如图所示：

（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？

（2）与∠C是内错角的有哪些角？

它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？

【答案】

解：

（1）当直线DE与BC被AB所截时，∠EAB与∠B是同旁内角；

当直线AC与BC被AB所截时，∠BAC与∠B是同旁内角；

当直线AB与AC被BC所截时，∠C与∠B是同旁内角；

（2）当直线DE与BC被AC所截时，∠1与∠C是内错角．