第1讲 相交线及三线八角提高班 2.docx

1、第1讲 相交线及三线八角提高班 2第1讲 相交线及三线八角 知识点1 对顶角和邻补角对顶角1. 对顶角的模型：1和2是对顶角，3和4是对顶角.特点：成对出现；两个角有公共的顶点；角的两边互为反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：1和3是邻补角，1和4是邻补角，2和3是邻补角，2和4是邻补角，特点：成对出现；两个角有公共的顶点；两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180.【典例】1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合

2、，发现表示60的点在直线a上，表示138的点在直线b上，则1=_【答案】解：如图，根据题意得：AOC=60，BOC=138，AOB=BOC-AOC=13860=78，1和AOB是对顶角，1=AOB=78，故答案为：78.【方法总结】由图可知直线a与量角器0刻度线之间的角度和直线b与量角器0刻度线之间的角度，两角的差即为直线a与直线b之间的角度.由对顶角相等可知1等于所求的直线a与直线b之间的角度，从而得解.本题考查了角的度量、角计算、对顶角的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O（1）写出BOE的对顶角和邻补角；（2）若AOC：AOE=2：1，EOD=

3、90，求BOC的度数.【答案】解：（1）BOE的对顶角为AOF，BOE的邻补角为AOE和BOF；（2）EOD=90，COE=180EOD=90.AOC：AOE=2：1，AOE=COE=30，AOD=AOE+EOD=30+90=120，BOC=AOD=120【方法总结】本题主要考查了对顶角、邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180求解总结：两条直线相交所形成的4个角中，只要知道其中一个，就可以求出另外3个. 【随堂练习】1（2018春天心区校级期末）在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的2倍，那么这个外角是（）A150 B120 C100 D90【解答】解：设与外角相

4、邻的内角为x，一个三角形中，一个外角是其相邻内角的2倍，这个外角为2x3x=180，x=60，即这个外角为120，故选：B2（2018春秦都区期中）已知1与2互为对顶角，2与3互余，若3=45，则1的度数是（）A45 B90 C135 D45或135【解答】解：由题意可知：1=2，2+3=90，2=45，1=45，故选：A3（2018春怀柔区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：1和2互为对顶角；1和2互为邻补角；1=2；1=3其中正确的是（）A B C D【解答】解：1和2不是对顶角，故错误；1和2互为邻补角，故正确；1和2不一定相等，故错误；1=3，故正确；故选：B4（2018春

5、贵阳期末）如图，下列各角中，是对顶角的一组是（）A1和2 B1和3 C2和4 D）3和4【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有2和4的是对顶角，其它都不是故选：C知识点2 垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和

6、垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.【典例】1.如图，OMNP，ONNP，所以ON与OM重合，理由是_.【答案】解：理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直故答案为：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.如图,直线AB，CD相交于点O，EOAB,垂足为O.（1）写出图中与1互为余角的角；（2）若AOC：2=3：2，求1的度数【答案】解：

7、（1）EOAB,EOB=90.BOC与1互为余角.2的对顶角为BOC，2=BOC.2与1互为余角.与1互为余角的角是：BOC，2；（2）AOC：2=3：2，设AOC=3x，则2=2x，故3x+2x=180，解得：x=36，则2=72.1和2互余，1=90-2 =90-72=18【方法总结】总结：在平面内过一点做已知直线的垂线具有存在性和唯一性，过一点作已知直线的两条垂线，这两条直线必重合.方法：找一个角的余角时，先找与它相邻的（从垂直和90角入手），再找与它补相邻的，做到不重不漏.3.如图所示，ADBD，BCCD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是_.【答案】3cmBD5cm

8、解：ADBD，BCCD，AB=5cm，BC=3cm，BCBDAB，即BD的长度的取值范围是大于3cm且小于5cm故答案为3cmBD5cm.4.如图，BCAC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是_cm，点A到BC的距离是_cm，C到AB的距离是_cm【答案】8 6 4.8解：如图，过点C作CDAB于点D，则线段CD的长即为点B到AC的距离，BCAC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，由三角形的面积公式，得. CD=6810=4.8（cm），点A到BC的距离是6cm，点B到AC的距离是8cm故答案为：8，6、4.8【方法总结】总结：直角三角形中，直角边的长

9、可以看做是一个顶点到另一条直角边的距离；直角三角形中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.【随堂练习】1（2018春禅城区期末）已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，PA=3cm，PB=3.5cm，PC=2cm，则点P到直线MN的距离（）A等于 3cm B等于 2cm C等于 3.5cm D不大于 2cm【解答】解：当PCMN时，PC是点P到直线MN的距离，即点P到直线l的距离2cm，当PC不垂直于MN时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2cm，综上所述：点P到直线MN的距离不大于2cm，故选：D2（2018春隆

10、尧县期末）如图，CDAB，点E、F在AB上，且CE=10cm，CD=8cm，CF=12cm，则点C到AB的距离是_【解答】解：CDAB，点E、F在AB上，CD=8cm，点C到AB的距离是CD=8cm，故答案为：8cm知识点3 三线八角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角如1与8，2与5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角如1与6，4与5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都

11、在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角如1与5，4与6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.【典例】1.如图，图中1与2是同位角的序号是_.【答案】【解析】解：图中1和2是同位角，图中1和2是同位角，图中1和2不是同位角，图中1和2是同位角，故答案为.2.如图，已知直线a，b被

12、直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题（1）在图中的19这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）4和5是什么位置关系的角？6和8之间的位置关系与4和5的相同吗？【答案】解：（1）直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案.如图所示：同位角共有5对：分别是1和5，2和3，3和7，4和6，4和9；（2）4和5是直线c，d被直线b所截形成的同旁内角.6和8是直线a，b被直线d所截形成的同旁内角，故6和8之间的位置关系与4和5的相同【方法总结】判断一对角是不是同位角、内错

13、角或同旁内角有两种方法：按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.【随堂练习】1（2018春鞍山期末）如图，下列说法错误的是（）AA与B是同旁内角 B1与3是同位角 C2与A是同位角 D2与3是内错角【解答】解：由图可知：1与3是同旁内角，故B说法错误，故选：B2（2018春拱墅区期末）已知直线l1，l2，l3，（如图），5的内错角是（）A1 B2 C3 D4【解答】解：A、1与5是邻补角，故本选项错误；

14、B、2是5的内错角，故本选项正确；C、3是5的同位角，故本选项错误；D、4是1的内错角，不是5的内错角，故本选项错误；故选：B3（2018广州）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则1的同位角和5的内错角分别是（）A4，2 B2，6 C5，4 D2，4【解答】解：1的同位角是2，5的内错角是6，故选：B4（2018春武清区期中）如图所示，下列说法正确的是（）A1和2是内错角 B1和4是内错角 C1和5是同位角 D1和2是同旁内角【解答】解：A、1与2是同旁内角，故A错误；B、1与4不是内错角，故B错误；C、1与4是同位角，故C错误；D、1与2是同旁内角，故D正确；故选：D 综合运用1.如

15、图是一把剪刀，其中1=2，其理由是_【答案】对顶角相等解：如图是一把剪刀，其中1=2，其理由是：对顶角相等故答案为：对顶角相等2.如图，线段AD、AE、AF分别是ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_.【答案】AD解：根据垂线段最短可得AD最短，故答案为AD.3.如图所示，ABl1，ACl2，则点A到直线l1的距离是线段_的长度【答案】AB解：ABl1，点A到直线l1的距离是线段AB的长度故答案为：AB.4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BEAD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_的长度，点D到直线AB的距离是线

16、段_的长度【答案】BE，DC解：BEAD，垂足为点E，点B到直线AD的距离是线段BE的长度，AC与DC垂直于点C.D到直线AB的距离是线段DC的长度故答案为BE，DC.5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是_.【答案】4和5, 3和6解：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是4和5, 3和6.故答案为4和5, 3和6.6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成_.【答案】内错角解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角成“Z”形

17、，可看成是内错角故答案为：内错角.7.如图，OCAB于点O，1=2，则图中互余的角有_对【答案】4解：OCAB于点O，1+AOE=90，2+COD=90，即1与AOE互为余角，2与COD互为余角，又1=2，则1与COD互为余角，2与AOE互为余角所以共有4对故答案为：48.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，AOC=76，DOF=90，求EOF的度数【答案】解：由对顶角相等，得BOD=AOC=76.OE平分BOD，DOE=BOD=38.DOF=90，EOF=DOFDOE=9038=529.如图所示：（1）与B是同旁内角的有哪些角？（2）与C是内错角的有哪些角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？【答案】解：（1）当直线DE与BC被AB所截时，EAB与B是同旁内角；当直线AC与BC被AB所截时，BAC与B是同旁内角；当直线AB与AC被BC所截时，C与B是同旁内角；（2）当直线DE与BC被AC所截时，1与C是内错角