一元二次方程 4.docx

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一元二次方程4

初三数学第23章一元二次方程复习讲义

一、一元二次方程的定义

方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c．

例1．求方程

x2+3=2

x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．

例2．若关于x的方程（m+3）

+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．

例3．若关于x的方程（k2-4）x2+

x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．

例4．若α是方程x2-5x+1=0的一个根，求α2+

的值．

1．关于

的一元二次方程

的一个根为1，则实数

的值是（）

A．

B．

或

C．

D．

2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程

的根，则这个三角形的周长是（　　）

Ａ．11Ｂ．11或13Ｃ．13Ｄ．11和13

二、一元二次方程的一般解法

基本方法有：

（1）配方法；

（2）公式法；　（3）　因式分解法。

联系：

①降次，即它的解题的基本思想是：

将二次方程化为一次方程，即降次．

②公式法是由配方法推导而得到．

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．

区别：

①配方法要先配方，再开方求根．

②公式法直接利用公式求根．

③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．

例1、用三种方法解下列一元二次方程

1、x2+8x+12=02、3x2-

x-6=0

用适当的方法解一元二次方程

1、x2-2x-2=02、2x2+1=2

x

3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+9

5、（x-1）2-2（x2-1）=0

注意：

选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法

三、判定一元二次方程的根的情况？

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，

1．△=b2-4ac>0

一元二次方程有两个不相等的实根；

2．△=b2-4ac=0

一元二次方程有两个相等的实数；

3．△=b2-4ac<0

一元二次方程没有实根．

例1、不解方程判断下列方程根的情况

1、x2-（1+2

）x+

+4=02、x2-2kx+（2k-1）=0

例2、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为

例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为

例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?

若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

四、一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1x2

x1+x2=-

x1x2=

例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2,则（x1-1）（x2-1）=

例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

（1）试推导x1+x2=-

，x1·x2=

；

（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

五、一元二次方程与实际问题的应用

步骤:

①审②设③列④解⑤答

应用题常见的几种类型：

1.增长率问题[增长率公式：

]

例1：

某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?

例2：

某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。

1、某工厂今年利润为a万元，比去年增长10%，去年的利润为万元。

2、某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价应为

3、

某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?

2.面积问题[提示：

面积问题一定要画图分析]

例：

一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。

已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽。

1、要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm，则依据题意列出的方程是_________．

2、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有能围成32m的木板。

求仓库的长与宽各是多少？

3.定价问题［提示：

单位利润×销量＝总利润］

例1：

某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。

为了扩大销售,增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。

经调查发现，如果每台电视机每降价10元，平均每天可多售出5台。

专卖店降价第一天，获利30000元。

问：

每台电视机降价多少元?

1、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：

“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：

如果每件童装降价4元，那平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？

2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？

每件商品应定价？

4.球赛问题（注：

单循环必须除2）

例：

某校初二年级组织象棋比赛，每两个参赛选手之间都必须赛一场，全年级共进行了28场比赛，问这次参赛的选手有几位？

1、新年到了，初三

（2）班同学每人都互发贺卡祝福对方，共发了132张贺卡，问全班多少人？

2、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？

5.倍增问题

例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几人？

例2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分干总数是91，每个支干长出多少小分支？

6.数位问题[123=1×100+2×10+3×1;十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：

10a+b]

例：

有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

1、一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a，那么这个两位数可表示为，若这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，这个新数可表示为。

2、一个两位数，十位数字比个位数字小2，如果把这个数的十位数字和个位数字对调，那么得到的新两位数与原来两位数的积为1855，若设十位为数字为X，则可列方程为：

3、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位是。

7.中考题选讲

1、如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。

问几秒后，点P和点Q的距离是10cm？

2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米

的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

3、云南省2006年至2007年茶叶种植面积与产茶面积情况如表所示，表格中的

、

分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积：

年　份

种植面积（万亩）

产茶面积（万亩）

2006年

2007年

合　计

（1）请求出表格中

、

的值；

（2）在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．（说明：

茶叶种植面积

产茶面积

未产茶面积）

4、2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．

（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？

（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与

（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：

一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

第22章一元二次方程复习题

一、选择题

1．下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=

；

④（a2+a+1）x2-a=0；④

=x-1．一元二次方程的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

2．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）

A．a≠0B．a≠3

C．a≠1且b≠-1D．a≠3且b≠-1且c≠0

3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（）

A．2B．3C．-2或3D．2或-3

4．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（）

A．k>0B．k<0C．k≥0D．k≤0

5．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（）

A．恒大于0B．恒小于0C．不小于0D．可能为0

6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：

（1）若x2=a2，则x=a；

（2）方程2x（x-1）=x-1的根是x=0；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为5．其中答案完全正确的题目个数为（）

A．0B．1C．2D．3

7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（）

A．500元B．400元C．300元D．200元

8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（）

A．100万个B．160万个C．180万个D．182万个

二、填空题

9．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．

10．已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_______．

11．若x=2-

，则x2-4x+8=________．

12．若（m+1）

+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．

13．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______．

14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．

15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．

三、计算题（每题9分，共18分）

16．按要求解方程：

（1）4x2-3x-1=0（用配方法）；

（2）5x2-

x-6=0（精确到0．1）

17．用适当的方法解方程：

（1）（2x-1）2-7=3（x+1）；

（2）（2x+1）（x-4）=5；

（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0．

18．若方程x2-2x+

（2-

）=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．

19．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．

（1）求方程的根；

（2）试判断△ABC的形状．

20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？

21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”．出租车司机说：

“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12）是多少元．

里程（公里）

0

3

x>6

价格（元）

N

【中考真题】

23.（2008襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的

，则平均每次降价（）

A．

B．

C．

D．

24.（2008威海）关于x的一元二次方程

的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

25．（2008四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

26．（200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于

的一元二次方程

的一个根为1，则方程的另一根为.

27.（2008江苏省淮安市）小华在解一元二次方程x2-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．

28．（2008东莞市）在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

顶尖教育一元二次方程单元测试卷

（考试时间：

120分，满分：

150分）

姓名成绩评定

一、选一选（每小题3分，共36分）

1．方程x2+4x=2的正根为（）

A．2-

B．2+

C．-2-

D．-2+

2．已知关于x的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（）

A.

B.

C.

D.

3.某商品两次价格上调后，单价价格从4.05元变为5元,则平均每次调价的百分率约为（）

A．9%B．10%C．11%D．12%

4.若使分式

的值为零，则x的取值为（）

A．1或-1B.-3或1C.-3D.-3或1

5．将方程3（2x2－1）=（x+

）（x－

）+3x+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为。

（）

A．5，3，5B．5，－3，－5C．7，

，2D．8，6，1

6．某商店卖出A、B两种价格不同的商品，商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以a元出售，则两种商品的原价分别是（）

A.（1+20%）2；a（1－20%）2B．

；

;a（1－20%）2

7．已知一个三角形的两边长是方程

的根，则第三边长y的取值范围是（）

A．y<8B.2

8．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这两位数是（）

A．16B．25C．52D．61

9．若n是

的根（

，则m+n等于（）

A．

B.-1C.

D.1

10．直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为（）

A．

D．7

11．如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的最大整数值

（）

（A）1.（B）2.（C）0.（D）－1

12．已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2－1）－2x+b（x2+1）=0的根的情况为（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

二、填一填（每小题3分，共30分）

13．方程（x-2）（x-3）=6的解为____________．

14．若x=2-

，则x2-4x+4=________．

15.若关于x的方程

有一根是2，则另一根为___________

16．已知一元二次方程有一个根为

，那么这个方程可以是____________（只需写一个）

17．某种型号的微机，原售价为7200元/台，经过连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次的百分率为____________________.

18.要给一副长30cm,宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm,则根据题意，列出方程是

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