苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算教案文解析版.docx

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算教案文解析版.docx

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苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算教案文解析版

１．集合的相关概念

（１）集合元素的三个特性：

确定性、无序性、互异性．

（２）元素与集合的两种关系：

属于，记为

；不属于，记为

.

（３）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法．

（４）五个特定的集合：

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N*或N＋

２．集合间的基本关系

表示

关系　　

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的任意一个元素都是集合B的元素

x∈A⇒x∈B

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，并且集合A与集合B不相等

A⊆B，且A≠B

AB或BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集

∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B

∅

３．集合的基本运算

表示

运算　

文字语言

符号语言

图形语言

记法

交集

所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合

{x|x∈A，且x∈B}

A∩B

并集

所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合

{x|x∈A，或x∈B}

A∪B

补集

全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合

{x|x∈U，且x∉A}

∁UA

４．集合关系与运算的常用结论

（１）若集合A中有n个元素，则A的子集有

个，真子集有２n—１个，非空子集有２n—１个．

（２）集合的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

（３）A⊆B⇔A∩B＝

⇔A∪B＝

.（考虑A是空集和不是空集两种情况）

（４）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

[小题体验]

１．（２0１8·江苏高考）已知集合A＝{0,１,２,8}，B＝{—１,１,6,8}，那么A∩B＝________.

答案：

{１,8}

２．已知全集U＝{１,２,３,４,５,6}，M＝{２,３,４}，N＝{４,５}，则∁U（M∪N）＝________.

答案：

{１,6}

３．设集合A＝{x|（x＋１）（x—２）＜0}，B＝{x|0≤x≤３}，则A∩B＝________.

答案：

{x|0≤x＜２}

４．设全集U＝N*，集合A＝{２,３,6,8,9}，集合B＝{x|x＞３，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是________．

答案：

{２,３}

１．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他形式）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．

２．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

３．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

４．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心．

５．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

[小题纠偏]

１．已知集合A＝{x∈N|x２—２x≤0}，则满足A∪B＝{0,１,２}的集合B的个数为________．

解析：

由A中的不等式解得0≤x≤２，x∈N，即A＝{0,１,２}．因为A∪B＝{0,１,２}，所以B可能为{0}，{１}，{２}，{0,１}，{0,２}，{１,２}，{0,１,２}，∅，共8个．

答案：

8

２．已知集合M＝{１,２}，N＝{３,４,５}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为________．

解析：

因为a∈M，b∈N，所以a＝１或２，b＝３或４或５．当a＝１时，若b＝３，则x＝４；若b＝４，则x＝５；若b＝５，则x＝6．同理，当a＝２时，若b＝３，则x＝５；若b＝４，则x＝6；若b＝５，则x＝7，由集合中元素的特性知P＝{４,５,6,7}，则P中的元素共有４个．

答案：

４

３．设集合A＝{x|y＝lg（—x２＋x＋２）}，B＝{x|x—a＞0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．

解析：

由题设条件得A＝{x|—x２＋x＋２＞0}＝{x|—１＜x＜２}，

B＝{x|x＞a}．

因为A⊆B，在数轴上表示出两集合如图所示，

故a≤—１．

答案：

（—∞，—１]

４．已知集合A＝{m＋２,２m２＋m}，若３∈A，则m的值为________．

解析：

由题意得m＋２＝３或２m２＋m＝３，

则m＝１或m＝—

.

当m＝１时，m＋２＝３且２m２＋m＝３，

根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝—

时，m＋２＝

，而２m２＋m＝３，满足题意．

故m＝—

.

答案：

—

[题组练透]

１．（易错题）已知集合A＝{１,２,４}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．

解析：

集合B中元素有（１,１），（１,２），（１,４），（２,１），（２,２），（２,４），（４,１），（４,２），（４,４），共9个．

答案：

9

２．若—１∈{a—１,２a＋１，a２—１}，则实数a的取值集合是________．

解析：

若a—１＝—１，解得a＝0，此时集合中的元素为—１,１，—１，不符合元素的互异性；

若２a＋１＝—１，解得a＝—１，此时集合中的元素为—２，—１，0，符合题意；

若a２—１＝—１，解得a＝0，不符合题意，

综上所述，a＝—１，故填{—１}．

答案：

{—１}

３．若集合A＝{x∈R|ax２—３x＋２＝0}中只有一个元素，则a＝________.

解析：

若集合A中只有一个元素，则方程ax２—３x＋２＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝

，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝（—３）２—8a＝0，得a＝

，

所以a的值为0或

.

答案：

0或

４．（易错题）已知集合A＝{１,２,３}，B＝{１，m}，若３—m∈A，则非零实数m的值是________．

解析：

由题意知，若３—m＝１，则m＝２，符合题意；若３—m＝２，则m＝１，此时集合B不符合元素的互异性，故m≠１；

若３—m＝３，则m＝0，不符合题意．

故m＝２．

答案：

２

[谨记通法]

与集合中元素有关问题的求解策略

（１）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．

（２）看这些元素满足什么限制条件．

（３）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

[典例引领]

１．已知集合M＝{１,２,３,４}，则集合P＝{x|x∈M且２x∉M}的子集有________个．

解析：

由题意，得P＝{３,４}，所以集合P的子集有２２＝４个．

答案：

４

２．已知集合A＝

，B＝

，则集合A，B的关系为________．

解析：

x＝

＋１＝

，∵n∈Z，∴２n为偶数，∴２n＋１为奇数，２n＋３为奇数，∴A＝B.

答案：

A＝B

３．（２0１9·无锡期中）已知集合A＝{0,１,２}，集合B＝

，且B⊆A，则实数x＝________.

解析：

∵B＝

且B⊆A，∴

＝２，∴x＝

.

答案：

[由题悟法]

判断集合间关系的３种方法

列举法

根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系

结构法

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断

数轴法

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系

[即时应用]

１．已知集合A＝{x|x２—３x＋２＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜５，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．

解析：

由x２—３x＋２＝0得x＝１或x＝２，

所以A＝{１,２}．

由题意知B＝{１,２,３,４}，所以满足条件的C可为{１,２}，{１,２,３}，{１,２,４}，{１,２,３,４}，故所求集合C的个数为４．

答案：

４

２．（２0１8·镇江二模）设集合A＝{２,４}，B＝{a２,２}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝________.

解析：

∵A＝{２,４}，B＝{a２,２}，且A＝B，∴a２＝４．又a＜0，∴a＝—２．

答案：

—２

３．（２0１9·海门中学测试）已知集合A＝{１,３，

}，B＝{２—x,１}．

（１）记集合M＝{１,４，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；

（２）是否存在实数x，使得B⊆A？

若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

解：

（１）由题可知

所以

故x＋y＝１9．

（２）假设存在实数x，使得B⊆A，则２—x＝３，或２—x＝

.

若２—x＝３，则x＝—１，不合题意；

若２—x＝

，则x＋

—２＝0，解得x＝１，不合题意．

故不存在实数x，使得B⊆A.

[锁定考向]

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．

常见的命题角度有：

（１）集合的运算；

（２）利用集合运算求参数；

（３）新定义集合问题．　　　　

[题点全练]

角度一：

集合的运算

１．设集合A＝{１,２,6}，B＝{２,４}，C＝{１,２,３,４}，则（A∪B）∩C＝________.

解析：

由题意知A∪B＝{１,２,４,6}，

所以（A∪B）∩C＝{１,２,４}．

答案：

{１,２,４}

２．（２0１9·汇龙中学检测）已知全集U＝{１,２,３,４,５}，集合A＝{１,３,４}，集合B＝{２,４}，则（∁UA）∪B＝________.

解析：

因为∁UA＝{２,５}，所以（∁UA）∪B＝{２,４,５}．

答案：

{２,４,５}

角度二：

利用集合运算求参数

３．（２0１9·苏州模拟）已知全集U＝{２,３，a２＋２a—３}，A＝{|２a—１|,２}，∁UA＝{５}，则实数a＝________.

解析：

由题意知，a２＋２a—３＝５，解得a＝—４或a＝２．当a＝—４时，|２a—１|＝9，而9∉U，所以a＝—４不满足题意，舍去；当a＝２时，|２a—１|＝３,３∈U，满足题意．故实数a的值为２．

答案：

２

角度三：

新定义集合问题

４．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝３x，x＞0}，则AB＝________.

解析：

因为A＝{x|0≤x≤２}，B＝{y|y＞１}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|１＜x≤２}，结合Venn图可知AB＝∁A∪B（A∩B）＝{x|0≤x≤１或x＞２}．

答案：

{x|0≤x≤１或x＞２}

[通法在握]

解集合运算问题４个技巧

看元素构成

集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键

对集合化简

有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决

数形结合

常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图

新定义型问题

以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决

[演练冲关]

１．（２0１8·南京高三年级学情调研）若集合P＝{—１,0,１,２}，Q＝{0,２,３}，则P∩Q＝________.

解析：

由已知可得，P∩Q＝{0,２}．

答案：

{0,２}

２．（２0１8·苏州检测）设集合A＝{（x，y）|y＝ax＋１}，集合B＝{（x，y）|y＝x＋b}，且A∩B＝{（２,５）}，则a＋b＝________.

解析：

因为A＝{（x，y）|y＝ax＋１}，B＝{（x，y）|y＝x＋b}，且A∩B＝{（２,５）}，所以５＝２a＋１，且５＝２＋b，解得a＝２，b＝３，所以a＋b＝５．

答案：

５

３．（２0１9·南京师大附中检测）设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈（A∪B）且x∉（A∩B）}．已知集合A＝{x|0＜x＜２}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.

解析：

因为A＝{x|0＜x＜２}，B＝{y|y≥0}，

所以A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0＜x＜２}，

所以A⊗B＝{x|x＝0或x≥２}．

答案：

{x|x＝0或x≥２}

４．（２0１8·泰州中学高三学情调研）已知全集I＝{１,２,３,４,５,6}，集合A＝{１,３,５}，B＝{２,３,6}，则（∁IA）∩B＝________.

解析：

因为全集I＝{１,２,３,４,５,6}，集合A＝{１,３,５}，所以∁IA＝{２,４,6}，又因为B＝{２,３,6}，所以（∁IA）∩B＝{２,6}．

答案：

{２,6}

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

１．（２0１8·徐州、连云港、宿迁三检）已知集合A＝{x|x＝２k＋１，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜５}，则A∩B＝________.

解析：

因为集合A＝{x|x＝２k＋１，k∈Z}为奇数集，B＝{x|0＜x＜５}，所以A∩B＝{１,３}．

答案：

{１,３}

２．定义：

满足任意元素x∈A，则|４—x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{１，a,7}是优集，则实数a的值为________．

解析：

依题意，当x＝１时，|４—x|＝３∈A，当x＝7时，|４—x|＝３∈A，所以a＝３符合条件．

答案：

３

３．（２0１8·如皋高三上学期调研）集合A＝{１,３}，B＝{a２＋２,３}，若A∪B＝{１,２,３}，则实数a的值为________．

解析：

∵A＝{１,３}，B＝{a２＋２,３}，且A∪B＝{１,２,３}，

∴a２＋２＝２，解得a＝0，即实数a的值为0．

答案：

0

４．（２0１8·盐城三模）已知集合A＝{１,２,３,４,５}，B＝{１,３,５,7,9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________．

解析：

因为A∩B＝{１,３,５}，所以C＝{１,３,５}，故集合C的子集的个数为２３＝8．

答案：

8

５．（２0１9·徐州期中）已知集合A＝{１,２,３,４,５}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，则集合B的子集个数是________．

解析：

∵集合A＝{１,２,３,４,５}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x＋y∈A}，

∴B＝{（１,２），（２,３），（１,３），（１,４）}，

∴集合B的子集个数是２４＝１6．

答案：

１6

6．（２0１9·南通中学检测）已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________．

解析：

因为A∩B＝A，所以A⊆B.

因为A＝{x|y＝

}＝{x|9—x２≥0}＝[—３,３]，

所以[—３,３]⊆[a，＋∞），所以a≤—３．

答案：

（—∞，—３]

二保高考，全练题型做到高考达标

１．（２0１8·常州调研）已知{１}⊆A⊆{１,２,３}，则这样的集合A有________个．

解析：

根据已知条件知符合条件的A为：

A＝{１}，{１,２}，{１,３}，{１,２,３}，

∴集合A有４个．

答案：

４

２．（２0１9·启东中学检测）已知集合A＝{x|0＜x≤6}，B＝{x∈N|２x＜３３}，则集合A∩B的元素个数为________．

解析：

因为A＝{x|0＜x≤6}，B＝{x∈N|２x＜３３}＝{0,１,２,３,４,５}，所以A∩B＝{１,２,３,４,５}，即A∩B的元素个数为５．

答案：

５

３．已知a≤１时，集合{x|a≤x≤２—a}中有且只有３个整数，则实数a的取值范围是________．

解析：

因为a≤１，所以２—a≥１，所以１必在集合中．

若区间端点均为整数，则a＝0，集合中有0,１,２三个整数，所以a＝0符合题意；

若区间端点不为整数，则区间长度２＜２—２a＜４，解得—１＜a＜0，此时，集合中有0,１,２三个整数，所以—１＜a＜0符合题意．

综上，实数a的取值范围是（—１,0].

答案：

（—１,0]

４．已知集合A＝{x|１≤x＜５}，B＝{x|—a＜x≤a＋３}，若B⊆（A∩B），则实数a的取值范围为________．

解析：

因为B⊆（A∩B），所以B⊆A.

１当B＝∅时，满足B⊆A，此时—a≥a＋３，即a≤—

.

２当B≠∅时，要使B⊆A，则

解得—

＜a≤—１．　

由１２可知，实数a的取值范围为（—∞，—１]．

答案：

（—∞，—１]

５．（２0１8·通州中学高三测试）设U＝R，A＝（a，a＋１），B＝[0,５），若A⊆∁UB，则实数a的取值范围是________．

解析：

因为∁UB＝（—∞，0）∪[５，＋∞），又A⊆∁UB，所以a＋１≤0或a≥５，解得a≤—１或a≥５．

答案：

（—∞，—１]∪[５，＋∞）

6．（２0１9·淮阴中学检测）设全集U为实数集R，已知集合A＝

，B＝{x|１≤x≤２}，则图中阴影部分所表示的集合为________．

解析：

由题意知，集合A＝

，阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B＝

∩{x|１≤x≤２}＝

.

答案：

7．设集合A＝{x|x２—x—２≤0}，B＝{x|x＜１，且x∈Z}，则A∩B＝________.

解析：

依题意得A＝{x|（x＋１）（x—２）≤0}＝{x|—１≤x≤２}，因此A∩B＝{x|—１≤x＜１，x∈Z}＝{—１,0}．

答案：

{—１,0}

8．（２0１9·海安中学检测）已知集合M＝

，N＝{y|y＝

}，则（∁RM）∩N＝________.

解析：

因为M＝

＝（—∞，0）∪（２，＋∞），N＝{y|y＝

}＝[0，＋∞），所以∁RM＝[0,２]，（∁RM）∩N＝[0,２]．

答案：

[0,２]

9．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U（A∪B）＝{１,３}，A∩（∁UB）＝{２,４}，则B＝________.

解析：

因为全集U＝{１,２,３,４,５,6,7,8,9}，

由∁U（A∪B）＝{１,３}，

得A∪B＝{２,４,５,6,7,8,9}，

由A∩（∁UB）＝{２,４}知，{２,４}⊆A，{２,４}⊆∁UB.

所以B＝{５,6,7,8,9}．

答案：

{５,6,7,8,9}

１0．已知集合A＝{x|４≤２x≤１6}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a—b的取值范围是________．

解析：

集合A＝{x|４≤２x≤１6}＝{x|２２≤２x≤２４}＝{x|２≤x≤４}＝[２,４]，因为A⊆B，所以a≤２，b≥４，所以a—b≤２—４＝—２，即实数a—b的取值范围是（—∞，—２]．

答案：

（—∞，—２]

１１．（２0１9·启东检测）已知集合A＝{x|a≤x≤a＋３}，B＝{x|x２＋x—6≤0}，

（１）当a＝0时，求A∪B，A∩∁RB；

（２）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．

解：

（１）当a＝0时，A＝{x|0≤x≤３}，又B＝{x|—３≤x≤２}，

所以∁RB＝{x|x＜—３或x＞２}，

所以A∪B＝{x|—３≤x≤３}，A∩∁RB＝{x|２＜x≤３}．

（２）因为A∩B＝A，所以A⊆B，

所以

解得—３≤a≤—１，

所以实数a的取值范围为[—３，—１]．

１２．（２0１8·南京高三部分学校联考）已知集合A＝{x|x２—４x—５≤0}，B＝{x|２x—6≥0}，M＝A∩B.

（１）求集合M；

（２）已知集合C＝{x|a—１≤x≤7—a，a∈R}，若M∩C＝M，求实数a的取值范围．

解：

（１）由x２—４x—５≤0，得—１≤x≤５，所以A＝[—１,５]．

由２x—6≥0，得x≥３，所以B＝[３，＋∞）．

所以M＝[３,５]．

（２）因为M∩C＝M，所以M⊆C，

则

解得a≤２．

故实数a的取值范围为（—∞，２]．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

１．已知集合A＝{x|x２—２0１9x＋２0１8＜0}，B＝{x|log２x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是________．

解析：

由x２—２0１9x＋２0１8＜0，解得１＜x＜２0１8，故A＝{x|１＜x＜２0１8}．

由log２x＜m，解得0＜x＜２m，故B＝{x|0＜x＜２m}．由A⊆B，可得２m≥２0１8，

因为２１0＝１0２４,２１１＝２0４8，所以整数m的最小值为１１．

答案：

１１

２．对于集合M，定义函数fM（x）＝

对于两个集合A，B，定义集合AΔB＝{x|fA（x）·fB（x）＝—１}．已知A＝{２,４,6,8,１0}，B＝{１,２,４,8,１２}，则用列举法写出集合AΔB＝________.

解析：

由题意知，要使fA（x）·fB（x）＝—１，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{１,6,１0,１２}，所以AΔB＝{１,6,１0,１２}．

答案：

{１,6,１0,１２}

３．已知集合A＝{x|１＜x＜３}，集合B＝{x|２m＜x＜１—m}．

（１）当m＝—１时，求A∪B；

（２）若A⊆B，求实数m的取值范围；

（３）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

解：

（１）当m＝—１时，B＝{x|—２＜x＜２}，

则A∪B＝{x|—２＜x＜３}．

（２）由A⊆B知

解得m≤—２，

即实数m的取值范围为（—∞，—２]．

（３）由A∩B＝∅，得

１若２m≥１—m，即m≥

时，B＝∅，符合题意；

２若２m＜１—m，即m＜

时，需

或

得0≤m＜

或∅，即0≤m＜

.

综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞）．