数学北京市平谷区学年高一下学期期末质量检测数学试题.docx

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数学北京市平谷区学年高一下学期期末质量检测数学试题

2019-2020学年北京市平谷区高一第二学期期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．已知向量＝（4，2），＝（﹣1，m），若⊥，那么m的值为（　　）

A．B．﹣C．2D．﹣2

2．sin35°cos25°+cos35°sin25°的值等于（　　）

A．B．C．D．

3．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（　　）

A．2πB．8πC．12πD．16π

4．给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两个平面互相垂直；

②平行于同一平面的两个平面互相平行；

③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；

④平行于同一直线的两个平面互相平行，

其中正确命题的序号是（　　）

A．①B．②C．③D．④

5．化简向量+﹣﹣等于（　　）

A．B．C．D．

6．关于函数f（x）＝sin（x+φ）（x∈R），下列命题正确的是（　　）

A．存在φ，使f（x）是偶函数

B．对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数

C．存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数

D．对任意的φ，f（x）都不是奇函数

7．已知非零向量、满足||＝1，且（﹣）•（+）＝．那么||等于（　　）

A．B．C．D．

8．已知函数f（x）＝cos（x+），如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），那么|x1﹣x2|的最小值为（　　）

A．B．C．πD．2π

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

9．2cos215°﹣1等于　　．

10．已知sinα+cosα＝，且＜α＜π，那么sin2α等于　　，tanα等于　　．

11．在△ABC中，∠A＝90°，且•＝﹣1，那么边AB的长为　　．

12．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知a＝4，B＝，S△ABC＝6，那么b等于　　．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝3，b＝，c＝2，那么△ABC的最大内角的余弦值为　　．

14．已知△ABC，⊥，||＝2，||＝，如果P点是△ABC所在平面内一点，且＝+，那么•的值等于　　．

三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15．已知向量，．

（Ⅰ）若，共线，求x的值；

（Ⅱ）若，求x的值；

（Ⅲ）当x＝2时，求与夹角θ的余弦值．

16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，D，E分别是AB，AC的中点，且PE⊥平面ABC．求证：

（1）BC∥平面PDE；

（2）AB⊥平面PDE．

17．已知函数f（x）＝2sinxcosx+cos2x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．

（Ⅰ）求边c的值；

（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

19．已知0＜α＜，cosα＝．

（Ⅰ）求tanα的值；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）若0＜β＜且cos（α+β）＝﹣，求sinβ的值．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝3，PM＝2MD，AN＝2NB，

（Ⅰ）求证：

直线AM∥平面PNC；

（Ⅱ）在AB上是否存在一点E，使CD⊥平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣PDA的体积．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）

1．已知向量＝（4，2），＝（﹣1，m），若⊥，那么m的值为（　　）

A．B．﹣C．2D．﹣2

【分析】根据平面向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．

解：

向量＝（4，2），＝（﹣1，m），

若⊥，则•＝0，

即4×（﹣1）+2m＝0，

解得m＝2．

故选：

C．

2．sin35°cos25°+cos35°sin25°的值等于（　　）

A．B．C．D．

【分析】由已知结合两角和的正弦公式即可求解．

解：

sin35°cos25°+cos35°sin25°＝sin60°＝．

故选：

D．

3．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（　　）

A．2πB．8πC．12πD．16π

【分析】根据圆柱的底面半径和高求出圆柱的侧面积．

解：

圆柱的底面半径和高都是2，

那么圆柱的侧面积是S侧＝2π×2×2＝8π．

故选：

B．

4．给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两个平面互相垂直；

②平行于同一平面的两个平面互相平行；

③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；

④平行于同一直线的两个平面互相平行，

其中正确命题的序号是（　　）

A．①B．②C．③D．④

【分析】直接利用线面平行和线面垂直的判定和性质的应用求出结果．

解：

①垂直于同一平面的两个平面可能垂直，比如墙角，故错误；

②平行于同一平面的两个平面互相平行，正确；

③垂直于同一直线的两个平面互相平行，故错误；

④平行于同一直线的两个平面可能相交，故错误．

故选：

B．

5．化简向量+﹣﹣等于（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据向量加法、减法和数乘的几何意义进行运算即可．

解：

＝．

故选：

A．

6．关于函数f（x）＝sin（x+φ）（x∈R），下列命题正确的是（　　）

A．存在φ，使f（x）是偶函数

B．对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数

C．存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数

D．对任意的φ，f（x）都不是奇函数

【分析】根据三角函数f（x）＝sin（x+φ）的性质，即可判断所给命题的真假性．

解：

对于A，当φ＝+kπ，k∈Z时，函数f（x）＝sin（x+φ）是偶函数，所以A正确；

对于B，当φ＝kπ，k∈Z时，函数f（x）＝sin（x+φ）是奇函数，所以B错误；

对于C，不存在φ∈R，使函数f（x）＝sin（x+φ）既是奇函数，又是偶函数，所以C错误；

对于D，φ＝kπ，k∈Z时，函数f（x）＝sin（x+φ）是奇函数，所以D错误．

故选：

A．

7．已知非零向量、满足||＝1，且（﹣）•（+）＝．那么||等于（　　）

A．B．C．D．

【分析】直接利用向量的数量积公式化简求解即可．

解：

非零向量、满足||＝1，且（﹣）•（+）＝．

可得＝，

所以，所以||＝．

故选：

C．

8．已知函数f（x）＝cos（x+），如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），那么|x1﹣x2|的最小值为（　　）

A．B．C．πD．2π

【分析】计算f（x）的最小正周期T，则|x1﹣x2|的最小值为．

解：

f（x）的周期T＝＝4π，

由题意可知f（x1）为f（x）的最小值，f（x2）为f（x）的最大值，

∴|x1﹣x2|的最小值为＝2π．

故选：

D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

9．2cos215°﹣1等于　　．

【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果．

解：

2cos215°﹣1＝cos30°＝，

故答案为：

．

10．已知sinα+cosα＝，且＜α＜π，那么sin2α等于　﹣　，tanα等于　﹣2　．

【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得结果．

解：

∵sinα+cosα＝，且＜α＜π，∴|sinx|＞|cosx|，tanx＜﹣1．

把所给的等式平方可得1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣．

再根据sin2α＝＝＝﹣．

求得tanα＝﹣2，或tanα＝（舍去），

故答案为：

﹣；﹣2．

11．在△ABC中，∠A＝90°，且•＝﹣1，那么边AB的长为　1　．

【分析】根据直角三角形中三角函数的定义，可得cosB＝＝，由此结合题意算出||2＝1，解之即可得到边AB的长．

解：

∵△ABC中，∠A＝90°，

∴cosB＝＝

又∵，可得＝﹣

∴，即

化简得||2＝1，解之得||＝1，即边AB的长为1

故答案为：

1

12．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知a＝4，B＝，S△ABC＝6，那么b等于　2　．

【分析】由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理可求b的值．

解：

∵a＝4，B＝，S△ABC＝6＝acsinB＝，

∴c＝6，

∴由余弦定理可得b＝＝＝2．

故答案为：

2．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝3，b＝，c＝2，那么△ABC的最大内角的余弦值为　　．

【分析】先判断出∠A是最大角，再根据余弦定理即可求出．

解：

角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝3，b＝，c＝2，则∠A是最大角，

则cosA＝＝＝，

故答案为：

．

14．已知△ABC，⊥，||＝2，||＝，如果P点是△ABC所在平面内一点，且＝+，那么•的值等于　13　．

【分析】利用向量垂直与数量积的关系、以及向量的加法即可得出．

解：

∵⊥，||＝2，||＝，＝+，

∴，，

＝＝17，

，，

∴＝

又，

∴．

故答案为：

13．

三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15．已知向量，．

（Ⅰ）若，共线，求x的值；

（Ⅱ）若，求x的值；

（Ⅲ）当x＝2时，求与夹角θ的余弦值．

【分析】（Ⅰ）根据共线即可得出8+4x＝0，解出x即可；

（Ⅱ）先求出，根据即可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出x的值；

（Ⅲ）x＝2时，可得出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cosθ．

解：

（I）∵共线，

∴8+4x＝0，解得x＝﹣2；

（II），且，

∴，解得；

（III）当x＝2时，，

∴，，

∴．

16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，D，E分别是AB，AC的中点，且PE⊥平面ABC．求证：

（1）BC∥平面PDE；

（2）AB⊥平面PDE．

【分析】

（1）根据线面平行的判定定理即可证明BC∥平面PDE；

（2）根据线面垂直的判定定理即可证明AB⊥平面PDE．

【解答】证明：

（1）∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE∥BC，

∵BC⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，

∴BC∥平面PDE；

（2）∵PE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴PE⊥AB，

∵DE∥BC，AB⊥BC，

∴DE⊥AB，

∵PE∩DE＝E，

∴AB⊥平面PDE．

17．已知函数f（x）＝2sinxcosx+cos2x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

【分析】（I）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；

（II）由已知x的范围，结合正弦函数的性质即可求解；

（III）由已知可转化为y＝k与y＝f（x）的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解．

解：

（I）由，

得f（x）的最小正周期为π．

（II）因为，

所以，

所以．

从而．

所以当，即时，f（x）的最大值为2；

当，即时，f（x）的最小值为．

（III）由，得，而函数f（x）在上单调递增，

，在上单调递减，f（x）∈[1，2]，

所以若函数g（x）＝f（x）﹣k在上有两个不同的零点，则．

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．

（Ⅰ）求