二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．函数的自变量x的取值范围是．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的长为．
11．反比例函数（）的图象经过点A，B（2,y1），C（3,y2），则y1y2．（填“<,=,>”）
12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC=2∠AOB，如果∠BAC=40°，那么∠ACB的度数是．
13．连结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．
14．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数表达式_______．
15．两个函数和（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式的解集．
16．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”．若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，则这个等腰三角形底角的余弦值等于．
三、解答题（本题共68分，第17~23题，每小题5分，第24题7分，第25，26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：
．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．
（1）求证：
△ABC∽△ADE；
（2）如果AC=8，BC=6，CD=3，求AE的长．
19．二次函数上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
3
0
0
m
…
（1）直接写出此二次函数的对称轴；
（2）求b的值；
（3）直接写出表中的m值，m=；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此二次函数的图象．
20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2，，求的值．
21．如图，是的外接圆，圆心O在的外部，，，求的半径．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线经过点A．
（1）求曲线的表达式；
（2）直线y=ax+3（a≠0）与曲线围成的封闭区域为图象G．
当时，直接写出图象G上的整数点个数是；（注：
横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界．）
当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．
23．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：
点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．如图，点P是上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．AB=6cm．
小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）下表是点P是上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：
AP/cm
0
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
PC/cm
0
1.21
2.09
2.69
m
2.82
0
AC/cm
0
0.87
1.57
2.20
2.83
3.61
6.00
经测量m的值是（保留一位小数）．
在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度
和的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出
（1）中所确定的函数图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为cm（保留一位小数）．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；
（2）判断并证明：
直线DE与⊙O的位置关系；
（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．
（1）求∠BAE的度数；
（2）连结BD，延长AE交BD于点F．
求证：
DF=EF；
直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．
28．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．
（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；
（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．
平谷区2019～2020学年度第一学期期末质量监控试卷评分标准
初三数学2020年1月
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
A
C
C
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．x≠1；10．6；11．>；12．20°；13.；
14．答案不唯一，如：
；15．；16．．
三、解答题（本题共68分，第17~23题，每小题5分，第24题7分，第25，26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解：
=4
=5
18．
（1）证明：
∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED=∠C=90°．1
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE．2
（2）解：
∵AC=8，BC=6，
∴AB=10．3
∵△ABC∽△ADE，
∴．4
∴AE=4．5
19．解：
（1）对称轴x=1．1
（2）∵二次函数的图象经过点（1,-1），
∴．2
（3）m=3．3
（3）如图．5
20．解：
（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，1
∴∠EAB=∠B=25°．
∴∠CAE=40°．2
（2）∵∠C=90°，
∴．
∵CE=2，
∴AE=3．3
∴AC=．4
∵EA=EB=3，
∴BC=5．
∴，
∴．5
21．解：
连结AO，交BC于点D，练结BO．
∵AB=AC，
∴．1
又∵AO是半径，
∴AO⊥BC，BD=CD．2
∵，
∴．3
在中，，
∵，AB=4，
∴．4
设半径为r．
在中，
∵，
∴，
∴．5
∴的半径为4．
22．解：
（1）∵A（1,1），
∴k=1．1
∴．2
（2）3；3
．5
23．解：
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．1
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=≈0.75．
∴AE=40．2
∵AB=57，
∴BE=17．3
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=17．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°．
∴DF=CF=17．4
∴BC=EF=30－17=13．5
答：
教学楼BC高约13米．
24．解：
（1）3.0；1
AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）3
（2）如图（答案不唯一，和
（1）问相对应）；5
（3）2.3或4.27
25．
（1）如图．1
（2）判断：
直线DE是⊙O的切线．2
证明：
连结OD，交BC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．3
∴．
∴OD⊥BC于F．
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE于D．
∴直线DE是⊙O的切线．4
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=10，BC=8，
∴AC=6．5
∵∠BOF=∠ACB=90°，
∴OD∥AC．
∵O是AB中点，
∴OF==3．
∵OD==5，
∴DF=2．
∵DE∥BC，OD∥AC，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∵∠ODE=90°，
∴平行四边形CFDE是矩形．
∴CE=DF=2．6
26．解：
（1）；1
（2）∵；
∴．2
（3）当抛物线过点P（4,0）时，，3
∴．
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
当抛物线过点时，a=1，
此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．
∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，
∴．5
当抛物线开口向下时，．6
综上所述，当或时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．
27．
（1）解：
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．1
∵∠ABE=90°－60°=30°
∴∠BAE=75°．2
（2）证明：
∴∠DAF=15
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