互感和理想变压器.docx

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互感和理想变压器

第八章含耦合电感和理想变压器的电路分析

本章学习耦合电感元件和理想变压器元件，它们属于多端元件。

实际电路中，如收音机、电视机中使用的中周、振荡线圈，整流电路中使用的变压器等都是耦合电感元件与变压器元件。

§8-1耦合电感的伏安关系

一、磁链和电感量

当L通过i产生磁通「，对N匝线圈产生的磁链为：

：

=N，定义自电感：

L二一二N—。

ii

关联条件下，电感两端的电压：

u=-L-di

dtdtdt

、互感：

见P.195图8-1

1.若线圈1中通以变化电流ii:

「11:

自感磁通；J:

互感磁通（耦合磁通）一般地，「11一・。

当「11「21，全耦合。

屮

自感磁链：

=1二M11=L111~自感量

2.若圈2中通以变化的电流i2:

「22:

自感磁通；「12:

互感磁通（耦合磁通）一般地，「22-「12。

当「22「12，全耦合。

屮

自感磁链：

^22=N222一L222~自感量

i2

屮

互感磁链：

=2讪「12-M12旦〜互感量

i2

通过电磁场理论可以证明：

M12=M21=M-0

3.互感电压的产生

当线圈1通变化的电流i1，在线圈2产生互感磁链21，从而产生

U21与*21之间符合右手螺旋法则。

同理，当线圈2通电流，在线圈1产生互感磁链'-；12，从而产生感

应电压，称为互感电压，记作：

U12。

,d即12Mdi2

U〔2IVI12

dtdt

U12与*12之间符合右手螺旋法则。

注意：

1）U12、U21的实际方向与两线圈的绕向有关；

2）若感应线圈两端接上负载，将有电流流过。

三、耦合系数

由于互感磁通只是总磁通的一部分，互感磁通与自感磁通的比值<1。

两线圈靠得越近，k就越接近于-"E

11—-!

L|L2

'-11二L,1，'-21二Mb;-二L2i2，'-12二Mi?

/.k=—M—:

;1

L1L2

当k=1时，称为全耦合；当k=0时，称为无耦合。

"U无耦合

一般地：

传输功率或信号（或变压器），K值越大越好；仪表间的磁场干扰，K值越小越好，必要时要加以屏蔽。

四、互感电压

对于两个相耦合的线圈，一个线圈的电流发生变化，将在另一线圈上产生感应电压，互感电压的大小为：

di1di2

U21=M，U12=M

dtdt

由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两种情况，因此在同一线圈上的互感电压与自感电压可能彼此相加，也可能彼此相减。

这与两个线圈的相对绕向、位置和电流参考方向有关。

当两个施感电流同时作用:

二口仆±U|2

屮2=U22士U21

1.U21与；21“关联方向”时:

有：

P.196图8-2A

Idh+di2dtdt_1di?

di1

U2_L2M

dtdt

2.U12与「12“非关联方向”时:

dii

U21=-M-

有:

上式为

dt

di2

u-2--M-

dt

di-di2

u-二L-M-

dtdt

-di-,di2

u2=-M—+L2—、dt2dt

可见，列写VAR时，需要考虑M前的正负号。

为简化分析（用原模型分析不方便，往往不知道线圈的绕向），需要引入“同名端”的概念

五、互感线圈的同名端

若两线圈分别加上变化的电流i-及i2:

P.-97图8-2B

-）当电流i-和i2分别从-、2端流入：

图（a）

线圈-的磁通亠二讣•「-2

线圈2的磁通「2「2-•「22

2）当电流i-和i2分别从-、2端流入：

图（c）

线圈-的磁通「-八---「-2

线圈2的磁通「2「22-「2-

显然：

当电流从-与2端（或-与2）流入时，产生的磁通相互增强；而当电流从-与-端（或-与2）同时流入，产生的磁通相互削弱。

为此，我们将-与2或-与2称为同名端，用“※”、“•”、“★”或“△”表示，而将-与2、-与2称为异名端。

同名端的判定：

方法一：

“直流法”。

当S合上瞬间，电压表V

-）上正下负（正偏转）=-与2为同名端

2）上负下正（反偏转）--与2为同名端

方法二：

“交流法”

U；一山2

当有效值U37i-U2二1与2为同名端

当有效值U3U1U^1与2为同名端

▲互感电压前的“+”、“一”号的问题

当U1与ii,U2与i2取关联方向，且两施感电流对同名端方向一致时,M前取“+”号，反之取“―”号。

如：

di1di2

u^L1-M-

11dtdt

di2di〔

U2=L2+M

i22dtdt

又如:

11lz

•IMI—_•

di1di2

5=L1…M

11dtdt

di2-dii

u?

=L2—M

.dtdt

六、互感线圈的串并联

1.串联

1）顺接

二=u1u^（L1L22M）L顺-

dtdt

•••等效电感L顺二L1L22M

在正弦电路中

U1二j（XL1Xm）I二jC'L

U2二j（XL2Xm）I二j（L2M）1

U二Ui『2=j.（LiL22M）I、j（XLiXl22Xm）*

2）反接

U=j；：

;■Li11-jM12

L丄2-M2

L1L22M

L1L2-M2

二等效电感^LiL22M

2

（同侧取“-

总之'当两互感线圈并联时'等效电感：

‘■lL%咼

异侧取“+”）

作业：

P.2178-1

§8-2含耦合电感元件电路的计算方法

L；上的互感电压大小为：

Um;=j‘MI；

同理UM2=j*'MI；

对回路；和2列KVL方程：

R；I；+j©L；I；+j^MI2+R2（l；-12）=Us

]r2（12-I；）+jaL212+jaMI；+R312=0

整理得：

r***

|（R；+R2+2L；）I；—（R2—jcoM）l2=Us

〔-（R2-j^M）I；+（R2+R3+jmL2）12=0可以解出I；和I：

。

缺点：

按上法容易漏jM一项，或搞错前面的“+”、“—”号。

二、把互感电压作为受控源的计算方法

在正弦稳态分析时，可以把各互感电压作为受控源看待，并在正

确标定其极性后，用正弦稳态分析方法进行分析。

总结：

P.20；中的划线。

（RR2jL）Ij-R212=Us-j■M12

-R111（R2R3j丄2）12--jM11

即：

（RiR2jL）I；-（R2-jM）l：

二Us

1•*

-（R2-jM）I；（R2R3j■L2）12=0

这与前面方法的结果完全一样。

三、耦合电感的去耦等效电路（互感消去法）

dt

而在图B中:

根据等效电路的概念可知，应使（；）式与

（2）式两式前面的系数分别相等，即：

=La*LbLa=-M

M二Lb=■Lb二M

L*丄〔Lc=L2—M

上图A为公共点为同名端的耦合电感。

如果公共端为异名端，女口下图C所示，其去耦等效电路如图D。

举例：

例：

u=5000、.2cos104tV，求各支路电流。

i

*□

R=50"

M=25mH‘

L2=25mHTC=1»F

I1

解：

去耦等效电路如下图:

j（L^M）

I1

j（L^M）

Ic

R1

[尺+2^—M）+jco（L2—M）]l：

—jcoj—M）I：

=U

1

—j（L2—M）I：

[j（L2—M）j（M）]I：

=0

IoC

得：

I：

=0

I：

=11.04.—83.6A

或用戴维南定理求（略）。

例：

求图a电路的输入阻抗。

利用互感消去法，可得图b所示去耦等效电路。

这样，可根据般混联的电路计算方法求得该电路的输入阻抗为：

Zj二jM

R：

R2j‘（L：

L2-2M）

O-

M

-

■-2

R2

Hu

[R：

j（L：

-M）][R2j（L^M）]

耦合线圈（即耦合电感）一般用L：

、L2和M来表征。

分析含耦合电感元件电路时，必须考虑互感电压，故使用网孔电流法比较方便。

对于有公共端钮的耦合电感常用去耦等效电路，把一个有互感的电路转化

为一般无互感的电路来分析。

例：

图示电路，Us：

=12.0V，US2=10.53.1V，R：

，R2=5门，

X：

=-3「，XL1=6门，XL2=61，XM=2-'。

求流经R2的电流I：

。

jXL14jXM塔jXL2

a

⑻

b

jXL1RjXM

Ri

+

Usi

Ii

+

s2

（b）

解：

用戴维南定理，先求

a、b处的开路电压，如图b。

Usi—Us2

120-1053.1

c

I1二

R1jXL1jX

12-（6j8）

j2=2/-90A4j3

4j6-j3

Uoc二jXMnjXchUs2=j22/-90-j32/-901053.1

=4j8=8.9463.43V

再求ab端口的入端阻抗。

如果两互感线圈无公共节点，则必须用“加电压求电流”（端口激励——响应）的方法，本例两互感线圈有公共节点，采用互感消去法要简捷得多，去耦电路如下：

1

.————■—

1jXM

f~7

乙

-J

=-jXC

<

«—

R

b

（c）

j（Xl2-Xm）

j（Xl^Xm）a

[Rj（XL1-Xm）]（jXMjXc）

乙「（XL2—Xm）R1j（XL1-XM）jXMjXc

二j4（4j4）（—j）=0.16j2.88'.1

J4+j3J

Uoc

戴维南等效电路如图d

I28946443"5134.25A

乙R20.16j2.885

应当指出，在应用戴维南定理求解含互感的电路时，不可将有互

感的两线圈分开，如本例中不能将（a）图中的cb处将网络分割开来。

例：

P.2188-6

例：

已知：

R1=3^,R2=5',Li=75.',L2=-12.5',.M=6^,

U-500V。

求K打开和闭合时的I。

jcoM[Ri

Ui

R2

jL）

解：

1）K打开时，两个线圈顺接，故有：

2）K闭合时:

U=（R+jcoL1）l+j^Mh

JwM「+（R2+j«>L2）l：

=0

1U500

1.52-75.96A

R1R2j（L1L22M）35j（7.512.56）

I=——

（R1

U

2

（jM）R2jL2

=7.79/-51.50A

I；=3.47150.30A

本题也可用互感消去法（课后练习）

作业：

P.2188-8、思考8-9

§8—3空芯变压器电路的分析

一、空心变压器的结构与特点

1.结构：

空心变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上并具有互感的线圈组成。

它没有铁心变压器产生的各种损耗，常用于高频电路。

2.特点：

其耦合系数较小，属于松耦合。

二、分析方法

1.支路法、网孔法。

2.当两线圈“完全隔离时”，可加一根电流为“0”的线，再用互感消去法。

如P.208例8—7

（2）。

3.反映阻抗法。

三、空心变压器电路的分析

空心变压器的电路如图：

原边回路阻抗：

乙4=R|jL

副边回路阻抗：

乙2二R22jX22二R2jL2ZL二（R2Rl）j（■L2Xl）

列回路方程：

乙1I1ZmI^Ui

Zm11Z2212=0

互感阻抗：

Zm=j'M=jXM

于是有等效电路:

电阻，Rii必为正；次级回路的电抗反映到初级回路仍为电抗，但符号相反，即：

如果次级回路为感抗，反映到初级回路为容抗；如果次级回路为容抗，反映到初级回路为感抗（容感互变）。

P.206

以在计算次级电流I;时，初级电流产生的互感电压可以用一个等效电压源来替代。

如图8-17（c），其等效电源电压为：

2

在次级回路增加了一个阻抗Z22-AL，称为初级回路阻抗在次乙1

级回路内的反映阻抗，它相当于等效电源内阻抗。

★建立了反映阻抗的概念，空心变压器的计算可对初级、次级回路分别计算，而不必建立方程联立求解。

[JZl=Rl+jXL

卜）;2.副边短路（即

Zl=0）;3.副边接电容C。

求原边线圈的输入阻抗乙解：

原、副边等效电路如下：

图中：

乙1

Z22

=&j

=R2+jX^Z^=3+RL）屮2“2原边

丿M

zii-

Z22

性阻抗时，X；为感性阻抗。

这里若取C使丄X2，则Xi0，那么

WC

就将副边的容抗反映到原边成了感抗。

例：

P.206例8-6（反映阻抗法）

例：

P.208例8-7（互感消去法，划线）

例：

P.218习题8-10

作业：

P.2188-9,8-11。

§8-4理想变压器

一、理想变压器的伏安关系

1.电路符号

理想变压器是一种理想化的互感耦合元件，电路符号为:

ii

—■

i2

■——

+

+

U1且”

u2N2

在全耦合时，有:

NrHN12N221

4.理想变压器功率平衡方程

5（圳住）+业（切2住）=0（见P.210例8-9上面的文字）

例：

P.210例8-9

二、理想变压器的阻抗变换性质

理想变压器除了可以用来变换电压和电流，还可以用来变换阻抗。

即副边负载经过理想变压器，折合到原边的负载变为n2ZL。

可见，改变n,可在原边得到不同的入端阻抗。

在工程中，常用理想变压器变换阻抗的性质来实现匹配，使负载获得最大功率。

当n1,阻抗变换后增大；

当n：

：

：

1，阻抗变换后减小。

例:

图示电路，已知Us=220V,R=100「,ZL=3・j3」,n=10。

求：

12

Us2200

11--

R1Zl100300j300

图示参考方向下：

1：

=丄I：

n

・・12—nI〔二4.4.一36.9A

法二：

戴维南定理。

移去Zl,副边线圈开路,

11

…I:

I2=0

n

Zi2Zl

例：

P.211例8-10（两种方法求I；〜变换阻抗法和戴维南等效电路法）

例：

P.212例8-11

例：

求下列情况下，图示电路中的

1）ab两端短路；

2）ab两端开路。

U：

、U：

禾口I：

、I：

。

Ii

2k?

Q-

解：

i）T

5.0

Uab=0,•

+

5.0

二0

Ii2000

=2.5mA

a

2

*+

Ui

I；=nI；=丄2.5=0.833

3

mA

2）12=0

Ui=5.0V

Uii

n,Ui=nU2U2,U2=3Ui=i5V

3

U2

例：

图示电路，求5“电阻的功率及电源发出的功率。

Q-

25Q

[]5Q

+

（）160V

解:

1:

525Q

160V

P160发=16

20A

26

+

O

（）160V

W

3200W

6

P5"（

160）2

53）

=4005=2000

作业:

O

6Q