15多边形与平行四边形要点.docx
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15多边形与平行四边形要点
多边形与平行四边形
一、知识要点概述
1、多边形的定义：
在平面内由n（n≥3）条线段首尾顺次连接所构成的图形叫n边形．
2、n边形的内角和定理：
n边形的内角和等于（n－2）·180°．
3、n边形的外角和定理：
任意一个n边形的外角和都等于360°．
4、n边形的对角线：
①n边形不相邻两顶点的连线段叫n边形的对角线．
②从n边形一个顶点出发可作（n－3）条对角线，n边形一共有
条对角线．
5、平行四边形的定义、判定和性质
名称
性质
判定
平
行
四
边
形
1、两组对边分别平行且相等．
1、两组对边分别平行的四边形（定义）
2、两组对角分别相等．
2、两组对边分别相等的四边形．
3、两条对角线互相平分．
3、一组对边平行且相等的四边形．
4、S=ab（a、b分别表示底和这一底上的高）
4、两组对角分别相等的四边形．
5、是中心对称图形（对称中心是对角线交点）
5、两条对角线互相平分的四边形．
二、典型例题剖析
例1、一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
例2、已知某多边形的内角和与外角和之比为9︰2，求这个多边形的边数．
例3、凸多边形的n个内角与某一个外角的总和为1450°，求n及某一外角的度数．
例4、一个k边形有k条对角线，求此多边形的内角和．
例5、如图，在□ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且BE=DF．求证：
∠AEC=∠AFC．
例6、如图，在□ABCD中，延长AD至F，使DF=AD，连BF交CD于E．求证：
点E平分CD与BF．
例7、如图，在△ABC中，∠C=90°，CF是斜边上的高，AT平分∠CAB交CF于D，过D作DE//AB交BC于E．求证：
CT=BE．
例8、在□ABCD中，AE=CF，BM=DN．求证：
四边形EMFN为平行四边形．
例9、如图，BD是□ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：
四边形AECF为平行四边形．
例10、如图，在□ABCD中，E、F分别为BC、AB上的点，且AE=CF，AE、CF交于G．求证：
DG平分∠AGC．
一、填空题．
1、一个凸n边形的内角中恰有四个钝角，则n的最大值是（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
2、一个凸n边形的n个内角中，至多存在锐角的个数是（ ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3、一个凸n边形，除了一个内角外，其余（n－1）个内角的和是1993°，则n的值是（ ）
A．12 B．13
C．14 D．以上都不对
4、四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，满足a2＋b2＋c2＋d2=2ab＋2cd，则这个四边形一定是（ ）
A．两组角分别相等的四边形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
5、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．若AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40，则S□ABCD为（ ）
A．24 B．36
C．40 D．48
6、如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F．若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．10 B．12
C．14 D．16
二、填空题．
7、若凸n边形有且仅有三个内角是钝角，则n的最大值是__________．
8、过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（m－k）n=__________．
9、如图，ABCD是平行四边形，E在AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF．如果△BEF的面积为2cm2，则□ABCD的面积是__________．
10、如图，□ABCD中，BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，CE=2，DF=1，∠EBF=60°，则□ABCD的面积为__________．
11、已知□ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足．若DE=5，DF=8，则BE＋BF的长为__________．
三、解答题．
12、在凸四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=90°，∠BCD=∠CDA=120°．求
的值．
13、某单位的办公室地板由三种正多边形的小木块铺成，设这三种正多边形的边数分别为x、y、z．求
的值．
14、有一个凸十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小．
15、如图，M、N分别为□ABCD的BC、CD边上的点，且MN//BD．求证：
S△AND=S△ABM．
16、如图，△ABC是正三角形．在AB、BC边上分别取点E、D，使AE=BD，过点D、E分别作DF//CE，EF//CD，EF交DF于F点，延长FE交AC于G．求证：
△AGF≌△EAC．
17、如图，以□ABCD的BC、CD为边向形内侧作等边△BCE和等边△CDF．求证：
△AEF为等边三角形．
18、如图，△ABC中，∠C=90°，点M在BC上且BM=AC，点N在AC上且AN=MC，AM与BN相交于点P．求证：
∠BPM=45°．
19、如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是正三角形．求四边形AEFD的面积．
解：
选C．由（n－2）·180°=720°，解得n=6．
分析：
根据多边形内角和公式与题设条件列方程来计算多边形的边数或角的大小是此类问题的常用方法．
解：
设这个多边形的边数为n，则可列方程（n－2）·180°︰360°=9︰2，
即（n－2）︰2=9︰2，
解得n=11．
故这个多边形的边数为11．
分析：
涉及多边形的外角问题，一是注意多边形的每一个外角与它相邻的内角是邻外角；二是注意任意多边形的外角之和恒为360°．
解：
∵1450°=8×180°＋10°，
由n－2=8得n=10．
故这多边形的边数是10，某一外角的度数是10°．
解：
由题意得
k（k－3）=k，
∴k（k－5）=0．
∵k≠0，∴k=5．
故其内角和为（5－2）×180°=540°．
分析：
常可根据平行四边形的对角相等、邻角互补来证角的相等或互补．
证明：
∵四边形ABCD是□，
∴AD
BC．
又∵BE=DF，
∴AF
CE，
∴四边形AECF是□，
∴∠AEC=∠AFC．
分析：
用平行四边形对角线互相平分的性质证线段相等或线段的倍分问题是十分简便的常用方法．
解：
连结BD、CF．
由□ABCD得AD
BC．
又∵AD=DF，A、D、F共线，
∴DF
BC，
∴四边形BCFD是□．
又∵E为BF与CD的交点，
∴E平分BF与CD．
分析：
CT与BE无法直接比较，作DG//CB构造出平行四边形，从而线段BE进行转化，利用平行四边形对线段和角进行转化是解题中的一种重要的基本技能，应注意掌握．
证明：
过D作DG//CB交AB于G．
∵DE//AB，
∴四边形DEBG是□，
∴DG=BE，∠3=∠B．
在Rt△ABC与Rt△AFC中，易知∠4=∠B，
∴∠3=∠4．
又∵∠1=∠2，AD=AD，
∴△ADC≌△ADG，
∴DG=CD．
又在Rt△ACT与Rt△ADF中，由∠1=∠2，
∴∠5=∠7．
又∵∠6=∠7，
∴∠5=∠6，
∴CD=CT，
∴BE=CT．
证明：
证法1：
由□ABCD得AD
BC，
由AD//BC得∠1=∠2，
由AD=BC及AE=CF得ED=BF．
又∵BM=DN，
∴△EDN≌△FBM（SAS），
∴EN=FM，∠3=∠4，故∠5=∠6（等角的补角相等），
∴EN//FM．
由EN
FM知四边形EMFN是平行四边形．
证法2：
同证法1得△EDN≌△FBM，
∴EN=MF，∠1=∠2．
又∵BM=DN，
∴BM＋MN=DN＋MN，
即DM=BN．
由
（1）知ED=BF，
∴△DEM≌△BFN（SAS），
∴EM=FN，
∴四边形ENFM是□．证法1：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB
CD，∠1=∠2，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴AE=CF．
又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
证法2：
连结AC交BD于点O．
∵四边形ABCD为□，
∴AO=CO．
又∵∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO=90°，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AECF为□．
说明：
运用四边形对角线互相平分来判定其为平行四边形也是一种常用的思路．平行四边形的四个判定定理，再加上用定义进行判定，这五种方法应根据题设条件灵活运用．
证明：
连DE、DF，过D点作DN⊥CF于N，作DM⊥AE于M，
易知S△ADE=
S□ABCD，S△DCF=
S□ABCD，
∴S△ADE=S△DCF，
∴
AE·DM=
CF·DN．
又∵AE=CF，
∴DM=CN，
∴DG平分∠AGC，C到角两边距离相等的点在角的平分线上．
答案：
1、C 2、B 3、C 4、C 5、D 6、B
1、若选8，则有四个外角为钝角，这是不可能的．
2、凸n边形的n个外角中至多存在3个钝角，即至多存在三个内角为锐角．
3、1993°=11×180°＋13°，即n边形的内角和应为12×180°，故n=14．
4、由a2＋b2＋c2＋d2=2ab＋2cd得（a－b）2＋（c－d）2=0，∴a=b，c=d，两组邻边相等．
5、设BC=x，则CD=20－x．由4x=6（20－x）得x=12，
∴S□ABCD=4x=48．
6、易知△AOE≌△COF，AE=CF，OE=OF，
∴四边形EFCD的周长=EF＋AB＋BC=3＋4＋5=12．
答案：
7、6 8、125 9、9cm2
10、
11、
解析：
7、由已知n边形有n－3个外角是非锐角，而这n－3个角的和又小于360°，
故n－3≤3，∴n≤6．
8、m=10，n=3，k=5，
∴（m－k）n=125．
9、由S△BEF=2知S△AEF=1，
由S△AEB=3知S△ECB=1.5，
∴S△ABC=4.5，S□ABCD=9cm2．
10、由题知：
∠D=120°，∠A=∠C=60°，BC=4，AF=3，BF=
，
∴S□ABCD=BC×BF=
11、当∠A为锐角时，如图，设AB=a，BC=b，由面积关系5a=8b．
又a＋b=26得a=16，b=10，
，
∴F在CB的延长线上，BF=
－10，BE＋BF=6＋
．
当∠D为锐角时，AE=
，CF=
，BE＋BF=AB＋AE＋BC＋CF=26＋
．
12、解：
如图，设AD=CD=1，延长AD、BC交于E，则△CDE为等边三角形，
且∠ABC=30°，则AE=2，AB=
，BC=3．
S△ABE=
，S△ABD=
=S△BDE．
又S△BCD=
S△BDE，
13、解：
设正x，y，z边形的各内角分别为α，β，γ．在拼花过程中三种多边形顶角拼于一点O时，有α＋β＋γ=360°，
14、解：
由题意，设此十一边形各个内角中有a个60°角，b个90°角，c个120°角，d个150°角，
消去d得：
3a＋2b＋c=1．
∵a、b、c、d均为非负整数，
∴a=b=0，c=1，d=10．
即这个凸十一边形有一个内角为120°，其余十个内角均为150°．
15、证明：
连结DM、BN，
由□ABCD得AD//BC，AB//CD，
则S△AND=S△BDN，S△ABM=S△DBM．
又∵MN//BD，
∴S△BDN=S△DBM，
∴S△AND=S△ABM．
16、解：
易知：
ECDF为□，△AEG为等边三角形，有EF=CD，
∴FG=EF＋EG=DC＋AE=DC＋BD=BC=AC．
而AE=AG，∠CAE=∠FGA=60°，
∴△AGF≌△EAC（SAS）．
17、证明：
由□ABCD知∠ABC=∠ADC，∠ABE=∠ABC－60°，∠ADF=∠ADC－60°，
∴∠ABE=∠ADF．
又AB=CD=DF，AD=BC=BE，
∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF．
∵∠BCF=180°－∠FCD－∠ADC=180°－2×60°－∠ADF=60°－∠ADF，
又∠BCF=∠BCE－∠ECF=60°－∠ECF，
∴∠ADF=∠ECF．
又AD=BC=CE，DF=CF，
∴△ECF≌△ADF（SAS），
∴AF=EF，
∴AE=EF=AF，
即△AEF是等边三角形．
18、证明：
如图，过点M作ME
AN，
连结EN、BE，则四边形AMEN为□，
得NE=AM，ME⊥BC，∠1=∠2．
∵ME=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，∴BE=AM=NE，∠3=∠4．
∵∠1＋∠3=90°，∴∠2＋∠4=90°且BE=NE，
∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°．
∵AM//NE，∴∠BPM=∠BNE=45°．
19、解：
由△DBF≌△ABC，△EFC≌△ABC，
得AD=AB=EF，DF=AC=AE，
故四边形AEFD是□．
又∠BAC=90°，∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，∠ADF=∠AEF=30°，
F到AD的距离为2，故S□AEFD=3×2=6．
20、解：
（1）DE//BC，DE=BC，DE⊥AC．
（2）略．
（3）连BE．
由△PMA≌△EMB得PA=BE，∠MPA=∠MEB，PA//BE//DC，PA=DC=BE，四边形DEBC是平行四边形，DE//BC，DE=BC．
又∠ACB=90°，则BC⊥AC，∴DE⊥AC．
（4）DE//BC，DE=BC．
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